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如果所有导数的近似值（有限差分、有限元、有限体积等）在步长（Δt、Δx等）趋于零时都趋于精确值，则称该数值方法为一致的。如果误差不随时间（或迭代）增长，则表示数值方法是稳定的（如IVPs）。
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数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Scalar Non-Linear Problems and Predictor-Corrector Method
Real-life problems are very seldom linear. In general, we model applications using nonlinear IVPs:
$$
\left{\begin{array}{l}
u^{\prime} \equiv \frac{d u}{d t}=f(t, u), t \in(0, T] \
u(0)=A .
\end{array}\right.
$$
Here $f(t, u)$ is a non-linear function in $u$ in general. Of course, Equation (2.28) contains Equation (2.1) as a special case. However, it is not possible to come up with an exact solution for (2.28) in general, and we must resort to some numerical techniques. Approximating (2.28) poses challenges because the resulting difference schemes may also be non-linear, thus forcing us to solve the discrete system at each time level by Newton’s method or some other non-linear solver. For example, consider applying the trapezoidal method to (2.28):
$$
u_{n+1}=u_{n}+\frac{k}{2}\left[f\left(t_{n}, u_{n}\right)+f\left(t_{n+1}, u_{n+1}\right)\right] n=0, \ldots, N-1
$$
where $f(t, u)$ is non-linear. Here see that the unknown term $u$ is on both the left-and right-hand sides of the equation, and hence it is not possible to solve the problem explicitly in the way that we did for the linear case. However, not all is lost, and to this end we introduce the predictor-corrector method that consists of a set consisting of two difference schemes; the first equation uses the explicit Euler method to produce an intermediate solution called a predictor that is then used in what could be called a modified trapezoidal rule:
Predictor: $\bar{u}{n+1}=u{n}+k f\left(t_{n}, u_{n}\right)$
Corrector: $u_{n+1}=u_{n}+\frac{k}{2}\left[f\left(t_{n}, u_{n}\right)+f\left(t_{n+1}, \bar{u}{n+1}\right)\right]$ or: $$ u{n+1}=u_{n}+\frac{k}{2}\left{f\left(t_{n}, u_{n}\right)+f\left(t_{n+1}, u_{n}+k f\left(t_{n}, u_{n}\right)\right)\right} .
$$
The predictor-corrector is used in practice; it can be used with non-linear systems and stochastic differential equations (SDE). We discuss this topic in Chapter $13 .$
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Extrapolation
We give an introduction to a technique that allows us to improve the accuracy of finite difference schemes. This is called Richardson extrapolation in general. We take a specific case to show the essence of the method, namely the implicit Euler method (2.11).
We know that it is first-order accurate and that it has good stability properties. We now apply the method on meshes of size $k$ and $k / 2$, and we can show that the approximate solutions can represented as follows:
$$
\begin{aligned}
&v^{k}=u+m k+0\left(k^{2}\right) \
&v^{k / 2}=u+m \frac{k}{2}+0\left(k^{2}\right)
\end{aligned}
$$
Then:
$$
w^{k / 2} \equiv 2 v^{k / 2}-v^{k}=u+0\left(k^{2}\right)
$$
Thus, $w^{k / 2}$ is a second-order approximation to the solution of (2.1).
The constant $m$ is independent of $k$, and this is why we can eliminate it in the first equations to get a scheme that is second-order accurate. The same trick can be employed with the second-order Crank-Nicolson scheme to get a fourth-order accurate scheme as follows:
$$
\begin{aligned}
&v^{k}=u+m k^{2}+0\left(k^{4}\right) \
&v^{k / 2}=u+m\left(\frac{k}{2}\right)^{2}+0\left(k^{4}\right)
\end{aligned}
$$
Then:
$$
w^{k / 2} \equiv \frac{4}{3} v^{k / 2}-\frac{1}{3} v^{k}=u+0\left(k^{4}\right) .
$$
In general, with extrapolation methods we state what accuracy we desire, and the algorithm divides the interval $[0, T]$ into smaller subintervals until the difference between the solutions on consecutive meshes is less than a given tolerance.
A thorough introduction to extrapolation techniques for ordinary and partial differential equations (including one-factor and multifactor parabolic equations) can be found in Marchuk and Shaidurov (1983).
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|FOUNDATIONS OF DISCRETE TIME APPROXIMATIONS
We discuss the following properties of a finite difference approximation to an ODE:
- Consistency
- Stability
- Convergence.
These topics are also relevant when we discuss numerical methods for partial differential equations.
In order to reduce the scope of the problem (for the moment), we examine the simple scalar non-linear initial value problem (IVP) defined by:
$$
\left{\begin{array}{l}
\frac{d X}{d t}=\mu(t, X), 0<t \leq T \
X(0)=X_{0} \text { given. }
\end{array}\right.
$$
We assume that this system has a unique solution in the interval $[0, T]$. In general it is impossible to find an exact solution of Equation (2.31), and we resort to some kind of numerical scheme. To this end, we can write a generic $k$-step method in the form (Henrici (1962), Lambert (1991)):
$$
\sum_{j=0}^{k}\left(\alpha_{j} X_{n-j}-\Delta t \beta_{j} \mu\left(t_{n-j}, X_{n-j}\right)\right)=0, \quad k \leq n \leq N
$$
where $\alpha_{j}$ and $\beta_{j}$ are constants, $j=0, \ldots, k$, and $\Delta t$ is the constant step-size.
Since this is a $k$-step method, we need to give $k$ initial conditions:
$$
X_{0} ; X_{1}, \ldots, X_{k-1}
$$
We note that the first initial condition is known from the continuous problem (2.31) while the determination of the other $k-1$ numerical initial conditions is a part of the numerical problem. These $k-1$ numerical initial conditions must be chosen with care if we wish to avoid producing unstable schemes. In general, we compute these values by using Taylor’s series expansions or by one-step methods.
We discuss consistency of scheme (2.32). This is a measure of how well the exact solution of (2.31) satisfies (2.32). Consistency states that the difference equation (2.32) formally converges to the differential equation in (2.31) when $\Delta t$ tends to zero. In order to determine if a finite difference scheme is consistent, we define the generating polynomials:
$$
\begin{aligned}
&\rho(\zeta)=\sum_{j=0}^{k} \alpha_{j} \zeta^{k-j} \
&\sigma(\zeta)=\sum_{j=0}^{k} \beta_{j} \zeta^{k-j}
\end{aligned}
$$
It can be shown that consistency (see Henrici (1962), Dahlquist and Björck (1974)) is equivalent to the following conditions:
$$
\rho(1)=0, \frac{d \rho}{d \zeta}(1)=\sigma(1) \text {. }
$$
Let us take the explicit Euler method applied to IVP (2.31):
$$
X_{n}-X_{n-1}=\Delta t \mu\left(t_{n}, X_{n-1}\right), n=1, \ldots, N .
$$
The reader can check the following:
$$
\begin{aligned}
&\rho(\zeta)=\alpha_{0} \zeta+\alpha_{1}=\zeta-1 \
&\sigma(\zeta)=1
\end{aligned}
$$
from which we deduce that the explicit Euler scheme is consistent with the IVP (2.31) by checking with Equation (2.35).
数值方法代写
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Scalar Non-Linear Problems and Predictor-Corrector Method
现实生活中的问题很少是线性的。通常，我们使用非线性 IVP 对应用程序进行建模：
$$
\left{在′≡d在d吨=F(吨,在),吨∈(0,吨] 在(0)=一种.\对。
H和r和$F(吨,在)$一世s一种n这n−l一世n和一种rF在nC吨一世这n一世n$在$一世nG和n和r一种l.这FC这在rs和,和q在一种吨一世这n(2.28)C这n吨一种一世ns和q在一种吨一世这n(2.1)一种s一种sp和C一世一种lC一种s和.H这在和在和r,一世吨一世sn这吨p这ss一世bl和吨这C这米和在p在一世吨H一种n和X一种C吨s这l在吨一世这nF这r(2.28)一世nG和n和r一种l,一种nd在和米在s吨r和s这r吨吨这s这米和n在米和r一世C一种l吨和CHn一世q在和s.一种ppr这X一世米一种吨一世nG(2.28)p这s和sCH一种ll和nG和sb和C一种在s和吨H和r和s在l吨一世nGd一世FF和r和nC和sCH和米和s米一种是一种ls这b和n这n−l一世n和一种r,吨H在sF这rC一世nG在s吨这s这l在和吨H和d一世sCr和吨和s是s吨和米一种吨和一种CH吨一世米和l和在和lb是ñ和在吨这n′s米和吨H这d这rs这米和这吨H和rn这n−l一世n和一种rs这l在和r.F这r和X一种米pl和,C这ns一世d和r一种ppl是一世nG吨H和吨r一种p和和这一世d一种l米和吨H这d吨这(2.28):
u_{n+1}=u_{n}+\frac{k}{2}\left[f\left(t_{n}, u_{n}\right)+f\left(t_{n+1} , u_{n+1}\right)\right] n=0, \ldots, N-1
在H和r和$F(吨,在)$一世sn这n−l一世n和一种r.H和r和s和和吨H一种吨吨H和在nķn这在n吨和r米$在$一世s这nb这吨H吨H和l和F吨−一种ndr一世GH吨−H一种nds一世d和s这F吨H和和q在一种吨一世这n,一种ndH和nC和一世吨一世sn这吨p这ss一世bl和吨这s这l在和吨H和pr这bl和米和Xpl一世C一世吨l是一世n吨H和在一种是吨H一种吨在和d一世dF这r吨H和l一世n和一种rC一种s和.H这在和在和r,n这吨一种ll一世sl这s吨,一种nd吨这吨H一世s和nd在和一世n吨r这d在C和吨H和pr和d一世C吨这r−C这rr和C吨这r米和吨H这d吨H一种吨C这ns一世s吨s这F一种s和吨C这ns一世s吨一世nG这F吨在这d一世FF和r和nC和sCH和米和s;吨H和F一世rs吨和q在一种吨一世这n在s和s吨H和和Xpl一世C一世吨和在l和r米和吨H这d吨这pr这d在C和一种n一世n吨和r米和d一世一种吨和s这l在吨一世这nC一种ll和d一种pr和d一世C吨这r吨H一种吨一世s吨H和n在s和d一世n在H一种吨C这在ldb和C一种ll和d一种米这d一世F一世和d吨r一种p和和这一世d一种lr在l和:磷r和d一世C吨这r:$在¯n+1=在n+ķF(吨n,在n)$C这rr和C吨这r:$在n+1=在n+ķ2[F(吨n,在n)+F(吨n+1,在¯n+1)]$这r:u{n+1}=u_{n}+\frac{k}{2}\left{f\left(t_{n}, u_{n}\right)+f\left(t_{n+1} , u_{n}+kf\left(t_{n}, u_{n}\right)\right)\right} 。
$$
预测器-校正器在实践中使用；它可用于非线性系统和随机微分方程 (SDE)。我们将在第 1 章讨论这个主题13.
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|Extrapolation
我们介绍了一种技术，该技术使我们能够提高有限差分方案的准确性。这通常称为理查森外推。我们以一个具体的案例来说明该方法的本质，即隐式欧拉法（2.11）。
我们知道它是一阶精确的，并且具有良好的稳定性。我们现在将该方法应用于大小的网格ķ和ķ/2，我们可以证明近似解可以表示如下：
在ķ=在+米ķ+0(ķ2) 在ķ/2=在+米ķ2+0(ķ2)
然后：
在ķ/2≡2在ķ/2−在ķ=在+0(ķ2)
因此，在ķ/2是 (2.1) 解的二阶近似。
常数米独立于ķ，这就是为什么我们可以在第一个方程中消除它以获得二阶精确的方案。可以对二阶 Crank-Nicolson 方案使用相同的技巧来获得四阶精确方案，如下所示：
在ķ=在+米ķ2+0(ķ4) 在ķ/2=在+米(ķ2)2+0(ķ4)
然后：
在ķ/2≡43在ķ/2−13在ķ=在+0(ķ4).
一般来说，通过外推方法，我们会说明我们想要的准确度，并且算法会划分区间[0,吨]到更小的子区间，直到连续网格上的解之间的差异小于给定的容差。
可以在 Marchuk 和 Shaidurov (1983) 中找到对常微分方程和偏微分方程（包括单因子和多因子抛物线方程）外推技术的全面介绍。
数学代写|数值方法作业代写numerical methods代考|FOUNDATIONS OF DISCRETE TIME APPROXIMATIONS
我们讨论 ODE 的有限差分逼近的以下性质：
- 一致性
- 稳定
- 收敛。
当我们讨论偏微分方程的数值方法时，这些主题也很重要。
为了缩小问题的范围（目前），我们研究了由以下定义的简单标量非线性初始值问题（IVP）：
$$
\left{dXd吨=μ(吨,X),0<吨≤吨 X(0)=X0 给定的。 \对。
$$
我们假设这个系统在区间内有唯一解[0,吨]. 一般来说，不可能找到方程（2.31）的精确解，我们求助于某种数值方案。为此，我们可以写一个泛型ķ-step 方法的形式（Henrici (1962), Lambert (1991)）：
∑j=0ķ(一种jXn−j−Δ吨bjμ(吨n−j,Xn−j))=0,ķ≤n≤ñ
在哪里一种j和bj是常数，j=0,…,ķ， 和Δ吨是恒定步长。
由于这是一个ķ-step 方法，我们需要给出ķ初始条件：
X0;X1,…,Xķ−1
我们注意到第一个初始条件是从连续问题（2.31）中知道的，而另一个初始条件的确定ķ−1数值初始条件是数值问题的一部分。这些ķ−1如果我们希望避免产生不稳定的方案，则必须谨慎选择数值初始条件。通常，我们通过使用泰勒级数展开或一步法来计算这些值。
我们讨论方案（2.32）的一致性。这是对 (2.31) 的精确解满足 (2.32) 的程度的度量。一致性表明差分方程（2.32）正式收敛到（2.31）中的微分方程，当Δ吨趋于零。为了确定一个有限差分格式是否一致，我们定义了生成多项式：
ρ(G)=∑j=0ķ一种jGķ−j σ(G)=∑j=0ķbjGķ−j
可以证明一致性（参见 Henrici (1962)、Dahlquist 和 Björck (1974)）等价于以下条件：
ρ(1)=0,dρdG(1)=σ(1).
让我们将显式欧拉方法应用于 IVP (2.31)：
Xn−Xn−1=Δ吨μ(吨n,Xn−1),n=1,…,ñ.
读者可以检查以下内容：
ρ(G)=一种0G+一种1=G−1 σ(G)=1
从中我们通过检查方程（2.35）推导出显式欧拉方案与IVP（2.31）一致。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。