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随机过程被定义为随机变量的集合，定义在一个共同的概率空间上。

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等楖率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

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数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|The Radon–Nikodym Theorem

3.4.1 Lebesgue decomposition Let $\lambda, \mu$ be two finite measures on a measurable space $(\Omega, \mathcal{F})$. Then, there exists a non-negative function $f \in$ $L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ and a measure $\nu$ singular to $\mu$ (i.e. such that there exists a set $S \in \mathcal{F}$ with $\mu(S)=0$ and $\nu(\Omega \backslash S)=0$ ) such that
$$
\lambda(A)=\int_{A} f \mathrm{~d} \mu+\nu(A), \quad \text { for all } A \in \mathcal{F}
$$

Proof Consider a linear functional $F x=\int x \mathrm{~d} \lambda$, acting in the space $L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \lambda+\mu)$. The estimate
$$
|F x| \leq \sqrt{\lambda(\Omega)} \sqrt{\int_{\Omega}|x|^{2} \mathrm{~d} \lambda} \leq \sqrt{\lambda(\Omega)}|x|_{L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \lambda+\mu)}
$$
shows that $F$ is well-defined and bounded. Therefore, there exists a function $y \in L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \lambda+\mu)$ such that $F x=\int_{\Omega} x y \mathrm{~d}(\lambda+\mu)$. Taking $x=1_{A}, A \in \mathcal{F}$, we see that
$$
\lambda(A)=\int_{A} y \mathrm{~d} \lambda+\int_{A} y \mathrm{~d} \mu .
$$
This in turn proves that $y \geq 0,(\lambda+\mu)$ a.e., and $y \leq 1, \lambda$ a.e. Let $S={\omega \mid y(\omega)=1} \in \mathcal{F}$. By $(3.23), \mu(S)=0$. Rewriting $(3.23)$ in the form $\int_{\Omega}(1-y) 1_{A} \mathrm{~d} \lambda=\int_{\Omega} y 1_{A} \mathrm{~d} \mu$, we see that for any non-negative measurable function $x$ on $\Omega, \int_{\Omega}(1-y) x \mathrm{~d} \lambda=\int_{\Omega} y x \mathrm{~d} \mu$. Define $f(\omega)=\frac{y(\omega)}{1-y(\omega)}$ on $S^{\mathrm{C}}$, and zero on $S$. If $A \in \mathcal{F}$, and $A \subset S^{\complement}$, we may take $x=1_{A} \frac{1}{1-y}$ to see that $\lambda(A)=\int_{A} f \mathrm{~d} \mu$. Also, let $\nu(A)=\lambda(S \cap A)$. Thus, $\nu\left(S^{\mathrm{C}}\right)=0$, i.e. $\mu$ and $\nu$ are singular. Moreover,
$$
\lambda(A)=\lambda\left(A \cap S^{\mathbf{C}}\right)+\lambda(A \cap S)=\int_{A \cap S^{\mathrm{c}}} f \mathrm{~d} \mu+\nu(A)=\int_{A} f \mathrm{~d} \mu+\nu(A) .
$$
Finally, $f$ belongs to $L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$, since it is non-negative and $\int_{\Omega} f \mathrm{~d} \mu=$ $\int_{S^{0}} f \mathrm{~d} \mu=\lambda\left(S^{\mathrm{C}}\right)<\infty .$
3.4.2 The Radon-Nikodym Theorem Under assumptions of 3.4.1, suppose additionally that $\mu(A)=0$ for some $A \in \mathcal{F}$ implies that $\lambda(A)=0$. Then $\nu=0$; i.e. $\lambda$ is absolutely continuous with respect to $\mu$.

Proof We know that $\mu(S)=0$, so that $\nu(S)=\lambda(S)=0$. On the other hand, $\nu\left(S^{\mathbf{C}}\right)=0$ so that $\nu=0$.

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Examples of discrete martingales

3.5.1 Definition Let $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ be a probability space and let $\mathcal{F}{n,} n \geq$ 1 , be an increasing sequence of $\sigma$-algebras of measurable sets: $\mathcal{F}{n} \subset$ $\mathcal{F}{n+1} \subset \mathcal{F}$; such a sequence is called a filtration. A sequence $X{n}, n \geq 1$ of random variables $X_{n} \in L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ is termed a martingale if $X_{n}$ is $\mathcal{F}{n}$ measurable and $\mathbb{E}\left(X{n} \mid \mathcal{F}{n-1}\right)=X{n-1}$ for all $n \geq 1$. To be more specific, we should say that $X_{n}$ is a martingale with respect to $\mathcal{F}_{n}$ and

$\mathbb{P}$. However, $\mathcal{F}{n}$ and $\mathbb{P}$ are often clear from the context and for simplicity we omit the phrase “with respect to $\mathcal{F}{n}$ and $\mathbb{P}^{\prime \prime}$. Similarly, a sequence $X_{n} \in L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}), n \geq 1$ is termed a submartingale (with respect to $\mathcal{F}{n}$ and $\left.\mathbb{P}\right)$ if $X{n}$ are $\mathcal{F}{n}$ measurable and $\mathbb{E}\left(X{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right) \geq X{n}, n \geq 1$. If $-X_{n}$ is a submartingale, $X_{n}$ is called a supermartingale. Filtrations, martingales, supermartingales and submartingales indexed by a finite ordered set are defined similarly.
3.5.2 Exercise Show that $X_{n}, n \geq 1$, is a submartingale iff there exists a martingale $M_{n}, n \geq 1$, and a previsible sequence $A_{n}, n \geq 1$ (i.e. $A_{1}=0$ and $A_{n+1}, n \geq 1$, is $\mathcal{F}{n}$ measurable) such that $A{n+1} \geq$ $A_{n}$ (a.s.) and $X_{n}=M_{n}+A_{n}$. This decomposition, called the Doob decomposition, is unique in $L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$.
3.5.3 Sum of independent random variables If $X_{n}, n \geq 1$ are $(\mathrm{mu}-$ tually) independent random variables, and $E X_{n}=0$ for $n \geq 1$, then $S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}$ is a martingale with respect to $\mathcal{F}{n}=\sigma\left(X{1}, \ldots, X_{n}\right)$. Indeed, by 3.3.1 (h)-(i), $\mathbb{E}\left(S_{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right)=\mathbb{E}\left(X{n+1}+S_{n} \mid \mathcal{F}{n}\right)=\mathbb{E}\left(X{n+1} \mid \mathcal{F}{n}\right)+$ $S{n}=E X_{n+1} 1_{\Omega}+S_{n}=S_{n}$, since $X_{n+1}$ is independent of $\sigma\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)$.

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Convergence of self-adjoint operators

3.6.1 Motivation In the previous section we have already encountered examples of theorems concerning convergence of conditional expectations. In Theorem $3.3 .1$ point $(\mathrm{m})$ and in Exercise $3.3 .8$ we saw that if the $\sigma$-algebra $\mathcal{G}$ is fixed, then the conditional expectation with respect to this $\sigma$-algebra behaves very much like an integral. In this section we devote ourselves to a short study of theorems that involve limit behavior

of conditional expectation $E\left(X \mid \mathcal{F}{n}\right)$ where $X$ is fixed and $\mathcal{F}{n}$ is a family of $\sigma$-algebras. This will lead us in a natural way to convergence theorems for martingales presented in Section 3.7.

If $\mathcal{F}{n}$ is a filtration in a probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, then $L^{1}\left(\Omega, \mathcal{F}{n}, \mathbb{P}\right)$ is a non-decreasing sequence of subspaces of $L^{1}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, and $L^{2}\left(\Omega, \mathcal{F}{n}, \mathbb{P}\right)$ is a non-decreasing sequence of subspaces of $L^{2}(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. If $X$ is a square integrable random variable, then the sequence $X{n}=E\left(X \mid \mathcal{F}{n}\right)$ of conditional expectations of $X$ is simply the sequence of projections of $X$ onto this sequence of subspaces. Thus, it is worth taking a closer look at asymptotic behavior of a sequence $x{n}=P_{n} x$, where $x$ is a member of an abstract Hilbert space $\mathbb{H}$ and $P_{n}$ are projections on a non-decreasing sequence of subspaces $\mathbb{H}{n}$ of this space. In view of Theorem 3.1.18, the assumption that $\mathbb{H}{n}$ is a non-decreasing sequence may be conveniently expressed as $\left(P_{\mathrm{n}} x, x\right) \leq\left(P_{\mathrm{n}+1} x, x\right) \leq(x, x)$.

As an aid in our study we will use the fact that projections are selfadjoint operators (see 3.1.19). Self-adjoint operators are especially important in quantum mechanics, and were extensively studied for decades. Below, we will prove a well-known theorem on convergence of self-adjoint operators and then use it to our case of projections. Before we do that, however, we need to introduce the notion of a non-negative operator and establish a lemma.

随机过程代写

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|The Radon–Nikodym Theorem

3.4.1 Lebesgue 分解 Letλ,μ是可测空间上的两个有限测度(Ω,F). 那么，存在一个非负函数F∈ 大号1(Ω,F,μ)和一个措施ν单数μ（即存在一个集合小号∈F和μ(小号)=0和ν(Ω∖小号)=0) 使得
λ(一种)=∫一种F dμ+ν(一种), 对全部 一种∈F

证明考虑一个线性泛函FX=∫X dλ, 作用于空间大号2(Ω,F,λ+μ). 估计
|FX|≤λ(Ω)∫Ω|X|2 dλ≤λ(Ω)|X|大号2(Ω,F,λ+μ)
表明F是明确且有界的。因此，存在一个函数是∈大号2(Ω,F,λ+μ)这样FX=∫ΩX是 d(λ+μ). 服用X=1一种,一种∈F, 我们看到
λ(一种)=∫一种是 dλ+∫一种是 dμ.
这反过来又证明了是≥0,(λ+μ)ae，和是≤1,λ让小号=ω∣是(ω)=1∈F. 经过(3.23),μ(小号)=0. 重写(3.23)在表格中∫Ω(1−是)1一种 dλ=∫Ω是1一种 dμ，我们看到对于任何非负可测函数X在Ω,∫Ω(1−是)X dλ=∫Ω是X dμ. 定义F(ω)=是(ω)1−是(ω)在小号C, 和零小号. 如果一种∈F， 和一种⊂小号∁，我们可以取X=1一种11−是看到那个λ(一种)=∫一种F dμ. 另外，让ν(一种)=λ(小号∩一种). 因此，ν(小号C)=0， IEμ和ν是单数。而且，
λ(一种)=λ(一种∩小号C)+λ(一种∩小号)=∫一种∩小号CF dμ+ν(一种)=∫一种F dμ+ν(一种).
最后，F属于大号1(Ω,F,μ), 因为它是非负的并且∫ΩF dμ= ∫小号0F dμ=λ(小号C)<∞.
3.4.2 Radon-Nikodym 定理 在 3.4.1 的假设下，另外假设μ(一种)=0对于一些一种∈F暗示λ(一种)=0. 然后ν=0; IEλ是绝对连续的μ.

证明 我们知道μ(小号)=0， 以便ν(小号)=λ(小号)=0. 另一方面，ν(小号C)=0以便ν=0.

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Examples of discrete martingales

3.5.1 定义让(Ω,F,磷)是一个概率空间，让Fn,n≥1 , 是一个递增序列σ- 可测集的代数：Fn⊂ Fn+1⊂F; 这样的序列称为过滤。一个序列Xn,n≥1随机变量Xn∈大号1(Ω,F,磷)被称为鞅，如果Xn是Fn可测量和和(Xn∣Fn−1)=Xn−1对全部n≥1. 更具体地说，我们应该说Xn是关于的鞅Fn和

磷. 然而，Fn和磷通常从上下文中可以清楚地看出，为简单起见，我们省略了“关于Fn和磷′′. 同样，一个序列Xn∈大号1(Ω,F,磷),n≥1被称为亚鞅（关于Fn和磷)如果Xn是Fn可测量和和(Xn+1∣Fn)≥Xn,n≥1. 如果−Xn是一个亚鞅，Xn称为超鞅。由有限有序集索引的过滤、鞅、超鞅和亚鞅的定义类似。
3.5.2 练习 证明Xn,n≥1, 是亚鞅当且仅当存在鞅米n,n≥1, 和一个可预见的序列一种n,n≥1（IE一种1=0和一种n+1,n≥1， 是Fn可测量的）使得一种n+1≥ 一种n(as) 和Xn=米n+一种n. 这种分解称为 Doob 分解，在大号1(Ω,F,磷).
3.5.3 独立随机变量之和 IfXn,n≥1是(米在−最终）独立随机变量，和和Xn=0为了n≥1， 然后小号n=∑一世=1nX一世是关于的鞅Fn=σ(X1,…,Xn). 事实上，到 3.3.1 (h)-(i)，和(小号n+1∣Fn)=和(Xn+1+小号n∣Fn)=和(Xn+1∣Fn)+ 小号n=和Xn+11Ω+小号n=小号n， 自从Xn+1独立于σ(X1,…,Xn).

数学代写|随机过程作业代写Stochastic Processes代考|Convergence of self-adjoint operators

3.6.1 动机 在上一节中，我们已经遇到了有关条件期望收敛的定理示例。定理3.3.1观点(米)并在运动中3.3.8我们看到，如果σ-代数G是固定的，那么关于这个的条件期望σ-代数的行为非常像积分。在本节中，我们致力于对涉及极限行为的定理进行简短的研究

有条件的期望和(X∣Fn)在哪里X是固定的并且Fn是一个家庭σ-代数。这将引导我们以一种自然的方式收敛于第 3.7 节中提出的鞅的收敛定理。

如果Fn是概率空间中的过滤(Ω,F,磷)， 然后大号1(Ω,Fn,磷)是子空间的非递减序列大号1(Ω,F,磷)， 和大号2(Ω,Fn,磷)是子空间的非递减序列大号2(Ω,F,磷). 如果X是一个平方可积随机变量，那么序列Xn=和(X∣Fn)的条件期望X只是投影的序列X到这个子空间序列上。因此，值得仔细研究序列的渐近行为Xn=磷nX， 在哪里X是抽象希尔伯特空间的成员H和磷n是对非递减子空间序列的投影Hn这个空间的。鉴于定理 3.1.18，假设Hn是一个非递减序列，可以方便地表示为(磷nX,X)≤(磷n+1X,X)≤(X,X).

作为我们研究的辅助，我们将使用投影是自伴算子这一事实（见 3.1.19）。自伴随算子在量子力学中尤为重要，并且被广泛研究了几十年。下面，我们将证明一个著名的自伴算子收敛定理，然后将其用于我们的投影案例。然而，在我们这样做之前，我们需要引入非负运算符的概念并建立一个引理。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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