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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域，它基于一个假设，即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点，深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上，这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。
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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Moser’s Theorem
Riemannian manifolds. We begin by restricting our attention to data subspaces which are Riemannian submanifolds of $\mathbb{R}^{D}$. Riemannian manifolds provide a generalization of the notion of a smooth surface in $\mathbb{R}^{3}$ to higher dimensions. As first clarified by Gauss in the two-dimensional case and by Riemann in the general case, it turns out that intrinsic features of the geometry of a surface, such as the lengths of its curves or intrinsic distances between its points, etc., can be given in terms of the so-called metric tensor ${ }^{2} \mathrm{~g}$, without referring to the particular way the the surface is embedded in $\mathbb{R}^{3}$. A space whose geometry is defined in terms of a metric tensor is called a Riemannian manifold (for a rigorous definition, see, e.g., $[12,16,2])$.
The Gauss/Riemann result mentioned above states that if the intrinsic curvature of a Riemannian manifold $\left(M, \mathbf{g}_{M}\right)$ is not zero in an open set $U \in M$, it is not possible to find
a map from $M$ into $\mathbb{R}^{d}$ that preserves the distances between the points of $U$. Thus, there exists a local obstruction, namely, the curvature, to the existence of distance-preserving maps. It turns out that no such local obstruction exists for volume-preserving maps. The only invariant is a global one, namely, the total volume. ${ }^{3}$ This is the content of Moser’s theorem on volume-preserving maps, which we state next.
Theorem 3.2.1 (Moser [18]) Let $\left(M, \mathbf{g}{M}\right)$ and $\left(N, \mathbf{g}{N}\right)$ be two closed, connected, orientable, $d$-dimensional differentiable manifolds that are diffeomorphic to each other. Let $\tau_{M}$ and $\tau_{N}$ be volume forms, i.e., nowhere vanishing $d$-forms on these manifolds, satisfying $\int_{M} \tau_{M}=$ $\int_{N} \tau_{N}$. Then, there exists a diffeomorphism $\phi: M \rightarrow N$ such that $\tau_{M}=\phi^{*} \tau_{N}$, i.e., the volume form on $M$ is the same as the pull-back of the volume form on $N$ by $\phi .^{4}$
The meaning of this result is that, if two manifolds with the same “global shape” (i.e., two manifolds that are diffeomorphic) have the same total volume, one can find a map between them that preserves the volume locally. The surfaces of a mug and a torus are the classical examples used for describing global, topological equivalence. Although these objects have the same “global shape” (topology/smooth structure) their intrinsic, local geometries are different. Moser’s theorem states that if their total surface areas are the same, one can find a map between them that preserves the areas locally, as well, i.e., a map that sends all small regions on one surface to regions in the other surface in a way that preserves the areas.
Using this theorem, we now show that it is possible to find density-preserving maps between Riemannian manifolds that have the same total volume. This is due to the fact that if local volumes are preserved under a map, the density of a distribution will also be preserved.
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Dimensional Reduction
These results were formulated in terms of so-called closed manifolds, i.e., compact manifolds without boundary. The practical dimensionality reduction problem we would like to address, on the other hand, involves starting with a $d$-dimensional data submanifold $M$ of $\mathbb{R}^{D}$ (where $d<D)$, and dimensionally reducing to $\mathbb{R}^{d}$. In order to be able to do this diffeomorphically, $M$ must be diffeomorphic to a subspace of $\mathbb{R}^{d}$, which is not generally the case for closed manifolds. For instance, although we can find a diffeomorphism from a hemisphere (a manifold with boundary, not a closed manifold) into the plane, we cannot find one from the unit sphere (a closed manifold) into the plane. This is a constraint on all dimensional reduction algorithms that preserve the global topology of the data space, not just density preserving maps. Any algorithm that aims to avoid “tearing” or “folding” the data subspace during the reduction will fail on problems like reducing a sphere to $\mathbb{R}^{2.5}$
Thus, in order to show that density preserving maps into $\mathbb{R}^{d}$ exist for a useful class of $d$-dimensional data manifolds, we have to make sure that the conclusion of Moser’s theorem and our corollary work for certain manifolds with boundary, or for certain non-compact manifolds, as well. Fortunately, this is not so hard, at least for a simple class of manifolds that is enough to be useful. In proving his theorem for closed manifolds, Moser [18] first gives a proof for a single “coordinate patch” in such a manifold, which, basically, defines a compact manifold with boundary minus the boundary itself. Not all $d$-dimensional manifolds with boundary (minus their boundaries) can be given by atlases consisting of a single coordinate patch, but the ones that can be so given cover a wide range of curved Riemannian manifolds, including the hemisphere and the Swiss roll, possibly with punctures. In the following, we will assume that $M$ consists of a single coordinate patch.
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Intuition on Non-Uniqueness
Note that the results above claim the existence of volume (or density) preserving maps, but not uniqueness. In fact, the space of volume-preserving maps is very large. An intuitive way to see this is to consider the flow of an incompressible fluid in $\mathbb{R}^{3}$. The fluid may cover the same region in space at two given times, but the fluid particles may have gone through significant shuffling. The map from the original configuration of the fluid to the final one is a volume preserving diffeomorphism, assuming the flow is smooth. The infinity of ways a fluid can move shows the infinity of ways of preserving volume.
Distance-preserving maps may also have some non-uniqueness, but this is parametrized by a finite-dimensional group, namely, the isometry group of the Riemannian manifold under consideration. ${ }^{6}$ The case of volume-preserving maps is much worse, the space of volumepreserving diffeomorphisms being infinite-dimensional. Since the aim of this chapter is to describe a manifold-learning method that preserves volumes/densities, we are faced with the following question: Given a data manifold with intrinsic dimension $d$ that is diffeomorphic to a subset of $\mathbb{R}^{d}$, which map, in the infinite-dimensional space of volume-preserving maps from this manifold to $\mathbb{R}^{d}$, is the “best”? In Section 3.4, we will describe an approach to this problem by setting up a specific optimization procedure. But first, let us describe a method for estimating densities on submanifolds.
流形学习代写
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Moser’s Theorem
黎曼流形。我们首先将注意力限制在数据子空间上，这些数据子空间是RD. 黎曼流形提供了光滑表面概念的一般化R3到更高的维度。正如高斯在二维情况下和黎曼在一般情况下首先阐明的那样，表面几何的内在特征，例如曲线的长度或点之间的内在距离等，可以用所谓的度量张量给出2 G, 没有提到表面嵌入的特定方式R3. 其几何由度量张量定义的空间称为黎曼流形（对于严格的定义，请参见，例如，[12,16,2]).
上面提到的高斯/黎曼结果表明，如果黎曼流形的本征曲率(米,G米)在开集中不为零在∈米, 找不到
一张地图米进入Rd保留点之间的距离在. 因此，保距图的存在存在一个局部障碍，即曲率。事实证明，保体地图不存在这样的局部障碍。唯一的不变量是全局变量，即总体积。3这就是 Moser 定理关于保体积映射的内容，我们接下来会说明。
定理 3.2.1 (Moser [18]) 令 $\left(M, \mathbf{g} {M}\right)一种nd\left(N, \mathbf{g} {N}\right)b和吨在这Cl这s和d,C这nn和C吨和d,这r一世和n吨一种bl和,d−d一世米和ns一世这n一种ld一世FF和r和n吨一世一种bl和米一种n一世F这lds吨H一种吨一种r和d一世FF和这米这rpH一世C吨这和一种CH这吨H和r.大号和吨\tau_ {M}一种nd\tau_{N}b和在这l在米和F这r米s,一世.和.,n这在H和r和在一种n一世sH一世nGd−F这r米s这n吨H和s和米一种n一世F这lds,s一种吨一世sF是一世nG\int_{M} \tau_{M}=\ int_ {N} \ tau_ {N}.吨H和n,吨H和r和和X一世s吨s一种d一世FF和这米这rpH一世s米\phi: M \rightarrow Ns在CH吨H一种吨\tau_{M}=\phi^{*} \tau_{N},一世.和.,吨H和在这l在米和F这r米这n米一世s吨H和s一种米和一种s吨H和p在ll−b一种Cķ这F吨H和在这l在米和F这r米这nñb是\phi .^{4}$
这个结果的意思是，如果两个具有相同“全局形状”的流形（即，两个微分同胚的流形）具有相同的总体积，则可以在它们之间找到一个局部保留体积的映射。杯子和圆环的表面是用于描述全局拓扑等价的经典例子。尽管这些对象具有相同的“全局形状”（拓扑/光滑结构），但它们内在的局部几何形状是不同的。Moser 定理指出，如果它们的总表面积相同，则可以在它们之间找到一个在局部保留区域的映射，即一张将一个表面上的所有小区域以某种方式发送到另一个表面上的区域的映射保留这些区域。
使用这个定理，我们现在表明可以在具有相同总体积的黎曼流形之间找到保持密度的映射。这是因为如果在地图下保留局部体积，则分布的密度也将保留。
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Dimensional Reduction
这些结果是用所谓的封闭流形表示的，即没有边界的紧凑流形。另一方面，我们想要解决的实际降维问题涉及从一个d维数据子流形米的RD（在哪里d<D), 并降维为Rd. 为了能够微分同胚地做到这一点，米必须微分同胚于子空间Rd，这通常不是封闭歧管的情况。例如，虽然我们可以找到从半球（有边界的流形，而不是封闭的流形）到平面的微分同胚，但我们找不到从单位球体（封闭的流形）到平面的微分同胚。这是对保留数据空间全局拓扑的所有降维算法的约束，而不仅仅是保留密度图。任何旨在避免在缩减过程中“撕裂”或“折叠”数据子空间的算法都会在诸如将球体缩减为R2.5
因此，为了表明密度保持映射到Rd存在一个有用的类别d维数据流形，我们必须确保 Moser 定理的结论和我们的推论适用于某些有边界的流形，或者某些非紧流形。幸运的是，这并不难，至少对于一个简单的流形类来说就足够有用了。在证明他的闭流形定理时，Moser [18] 首先给出了这样一个流形中单个“坐标补丁”的证明，它基本上定义了一个紧凑流形，其边界减去边界本身。不是全部d具有边界（减去它们的边界）的维流形可以通过由单个坐标块组成的图集给出，但是可以给出的图集涵盖了广泛的弯曲黎曼流形，包括半球和瑞士卷，可能带有穿孔. 下面，我们假设米由单个坐标补丁组成。
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Intuition on Non-Uniqueness
请注意，上述结果声称存在体积（或密度）保留图，但不是唯一性。事实上，保体贴图的空间非常大。看到这一点的一种直观方法是考虑不可压缩流体的流动R3. 流体可能在两个给定时间覆盖空间中的相同区域，但流体粒子可能已经经历了显着的改组。假设流动是平滑的，从流体的原始配置到最终配置的映射是一个保持体积的微分同胚。流体可以移动的无限方式显示了保持体积的无限方式。
距离保持映射也可能有一些非唯一性，但这是由一个有限维群参数化的，即所考虑的黎曼流形的等距群。6保体映射的情况更糟，保体微分同胚的空间是无限维的。由于本章的目的是描述一种保留体积/密度的流形学习方法，因此我们面临以下问题：给定具有内在维度的数据流形d微分同胚于Rd，它映射，在体积保持映射的无限维空间中，从这个流形到Rd， 是最好的”？在第 3.4 节中，我们将通过设置特定的优化程序来描述解决此问题的方法。但首先，让我们描述一种估计子流形上的密度的方法。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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