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流形学习是机器学习的一个流行且快速发展的子领域，它基于一个假设，即一个人的观察数据位于嵌入高维空间的低维流形上。本文介绍了流形学习的数学观点，深入探讨了核学习、谱图理论和微分几何的交叉点。重点放在图和流形之间的显著相互作用上，这构成了流形正则化技术的广泛使用的基础。
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机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Introduction
Kernel density estimation (KDE) [21] is one of the most popular methods of estimating the underlying probability density function (PDF) of a data set. Roughly speaking, KDE consists of having the data points contribute to the estimate at a given point according to their distances from that point – closer the point, the bigger the contribution. More precisely, in the simplest multi-dimensional KDE [5], the estimate $\hat{f}{m}\left(\mathbf{y}{0}\right)$ of a PDF $f\left(\mathbf{y}{0}\right)$ at a point $\mathbf{y}{0} \in \mathbb{R}^{D}$ is given in terms of a sample $\left{\mathbf{y}{1}, \ldots, \mathbf{y}{m}\right}$ as,
$$
\hat{f}{m}\left(\mathbf{y}{0}\right)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{h_{m}^{D}} K\left(\frac{\left|\mathbf{y}{i}-\mathbf{y}{0}\right|}{h_{m}}\right),
$$
where $h_{m}>0$, the bandwidth, is chosen to approach to zero in a suitable manner as the number $m$ of data points increases, and $K:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ is a kernel function that satisfies certain properties such as boundedness. Various theorems exist on the different types and rates of convergence of the estimator to the correct result. The earliest result on the pointwise convergence rate in the multivariable case seems to be given in [5], where it is stated that under certain conditions for $f$ and $K$, assuming $h_{m} \rightarrow 0$ and $m h_{m}^{D} \rightarrow \infty$ as $m \rightarrow \infty$, the mean squared error in the estimate $\hat{f}\left(\mathbf{y}{0}\right)$ of the density at a point goes to zero with the rate, $$ \operatorname{MSE}\left[\hat{f}{m}\left(\mathbf{y}{0}\right)\right]=\mathrm{E}\left[\left(\hat{f}{m}\left(\mathbf{y}{0}\right)-f\left(\mathbf{y}{0}\right)\right)^{2}\right]=O\left(h_{m}^{4}+\frac{1}{m h_{m}^{D}}\right)
$$
as $m \rightarrow \infty$. If $h_{m}$ is chosen to be proportional to $m^{-1 /(D+4)}$, one gets,
$$
\operatorname{MSE}\left[\hat{f}{m}(p)\right]=O\left(\frac{1}{m^{4 /(D+4)}}\right), $$ as $m \rightarrow \infty$. The two conditions $h{m} \rightarrow 0$ and $m h_{m}^{D} \rightarrow \infty$ ensure that, as the number of data points increases, the density estimate at a point is determined by the values of the density in a smaller and smaller region around that point, but the number of data points contributing to the estimate (which is roughly proportional to the volume of a region of size $h_{m}$ ) grows unboundedly, respectively.
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Motivation for the Submanifold Estimator
We would like to estimate the values of a PDF that lives on an (unknown) $d$-dimensional Riemannian submanifold $M$ of $\mathbb{R}^{D}$, where $d<D$. Usually, $D$-dimensional KDE does not work for such a distribution. This can be intuitively understood by considering a distribution on a line in the plane: 1-dimensional KDE performed on the line (with a bandwidth $h_{m}$ satisfying the asymptotics given above) would converge to the correct density on the line, but 2-dimensional KDE, differing from the former only by a normalization factor that blows up as the bandwidth $h_{m} \rightarrow 0$ (compare (3.1) for the cases $D=2$ and $D=1$ ), diverges. This behavior is due to the fact that, similar to a “delta function” distribution on $\mathbb{R}$, the $D$-dimensional density of a distribution on a $d$-dimensional submanifold of $\mathbb{R}^{D}$ is, strictly speaking, undefined – the density is zero outside the submanifold, and in order to have proper normalization, it has to be infinite on the submanifold. More formally, the $D$ dimensional probability measure for a $d$-dimensional PDF supported on $M$ is not absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure on $\mathbb{R}^{D}$, and does not have a probability
density function on $\mathbb{R}^{D}$. If one attempts to use $D$-dimensional KDE for data drawn from such a probability measure, the estimator will “attempt to converge” to a singular PDF; one that is infinite on $M$, zero outside.
For a distribution with support on a line in the plane, we can resort to 1-dimensional KDE to get the correct density on the line, but how could one estimate the density on an unknown, possibly curved submanifold of dimension $d<D$ ? Essentially the same approach works: even for data that lives on an unknown, curved $d$-dimensional submanifold of $\mathbb{R}^{D}$, it suffices to use the $d$-dimensional kernel density estimator with the Euclidean distance on $\mathbb{R}^{D}$ to get a consistent estimator of the submanifold density. Furthermore, the convergence rate of this estimator can be bounded as in (3.3), with $D$ being replaced by $d$, the intrinsic dimension of the submanifold. [20]
The intuition behind this approach is based on three facts: 1) For small bandwidths, the main contribution to the density estimate at a point comes from data points that are nearby; 2) For small distances, a $d$-dimensional Riemannian manifold “looks like” $\mathbb{R}^{d}$, and densities in $\mathbb{R}^{d}$ should be estimated by a $d$-dimensional kernel, instead of a $D$-dimensional one; and 3) For points of $M$ that are close to each other, the intrinsic distances as measured on $M$ are close to Euclidean distances as measured in the surrounding $\mathbb{R}^{D}$. Thus, as the number of data points increases and the bandwidth is taken to be smaller and smaller, estimating the density by using a kernel normalized for $d$ dimensions and distances as measured in $\mathbb{R}^{D}$ should give a result closer and closer to the correct value.
We will next give the formal definition of the estimator motivated by these considerations, and state the theorem on its asymptotics. As in the original work of Parzen [21], the pointwise consistence of the estimator can be proven by using a bias-variance decomposition. The asymptotic unbiasedness of the estimator follows from the fact that as the bandwidth converges to zero, the kernel function becomes a “delta function.” Using this fact, it is possible to show that with an appropriate choice for the vanishing rate of the bandwidth, the variance also vanishes asymptotically, completing the proof of the pointwise consistency of the estimator.
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Statement of the Theorem
Let $(M, \mathbf{g})$ be a $d$-dimensional, embedded, complete, compact Riemannian submanifold of $\mathbb{R}^{D}(d0 .^{7}$ Let $d(p, q)=d_{p}(q)$ be the length of a length-minimizing geodesic in $M$ between $p, q \in M$, and let $u(p, q)=u_{p}(q)$ be the geodesic distance between $p$ and $q$ as measured in $\mathbb{R}^{D}$ (thus, $u(p, q)$ is simply the Euclidean distance between $p$ and $q$ in $\left.\mathbb{R}^{D}\right)$. Note that $u(p, q) \leq d(p, q)$. We will denote the Riemannian volume measure on $M$ by $V$, and the volume form by $d V .^{8}$
Theorem 3.3.1 Let $f: M \rightarrow[0, \infty)$ be a probability density function defined on $M$ (so that the related probability measure is $f V)$, and $K:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$ be a continuous function that vanishes outside $[0,1)$, is differentiable with a bounded derivative in $[0,1)$, and satisfies the normalization condition, $\int_{|\mathbf{z}| \leq 1} K(|\mathbf{z}|) d^{d} \mathbf{z}=1$. Assume $f$ is differentiable to second order in a neighborhood of $p \in M$, and for a sample $q_{1}, \ldots, q_{m}$ of size $m$ drawn from the
density $f$, define an estimator $\hat{f}{m}(p)$ of $f(p)$ as, $$ \hat{f}{m}(p)=\frac{1}{m} \sum_{j=1}^{m} \frac{1}{h_{m}^{d}} K\left(\frac{u_{p}\left(q_{j}\right)}{h_{m}}\right)
$$
where $h_{m}>0$. If $h_{m}$ satisfies $\lim {m \rightarrow \infty} h{m}=0$ and $\lim {m \rightarrow \infty} m h{m}^{d}=\infty$, then, there exist non-negative numbers $m_{}, C_{b}$, and $C_{V}$ such that for all $m>m_{}$ the mean squared error of the estimator (3.4) satisfies,
$$
\operatorname{MSE}\left[\hat{f}{m}(p)\right]=\mathrm{E}\left[\left(\hat{f}{m}(p)-f(p)\right)^{2}\right]<C_{b} h_{m}^{4}+\frac{C_{V}}{m h_{m}^{d}}
$$
If $h_{m}$ is chosen to be proportional to $m^{-1 /(d+4)}$, this gives,
$$
\mathrm{E}\left[\left(f_{m}(p)-f(p)\right)^{2}\right]=O\left(\frac{1}{m^{4 /(d+4)}}\right)
$$
as $m \rightarrow \infty$.
Thus, the bound on the convergence rate of the submanifold density estimator is as in (3.2), (3.3), with the dimensionality $D$ replaced by the intrinsic dimension $d$ of $M$. As mentioned above, the proof of this theorem follows from two lemmas on the convergence rates of the bias and the variance; the $h_{m}^{4}$ term in the bound corresponds to the bias, and the $1 / m h_{m}^{d}$ term corresponds to the variance; see $[20]$ for details. This approach to submanifold density estimation was previously mentioned in [11], and the thesis [10] contains the details, although in a more technical and general approach than the elementary one followed in [20].
流形学习代写
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Introduction
核密度估计 (KDE) [21] 是估计数据集的潜在概率密度函数 (PDF) 的最流行的方法之一。粗略地说，KDE 包括让数据点根据它们与该点的距离对给定点的估计做出贡献——越接近该点，贡献越大。更准确地说，在最简单的多维 KDE [5] 中，估计F^米(是0)PDF 的F(是0)在某一点是0∈RD以样本的形式给出\left{\mathbf{y}{1}, \ldots, \mathbf{y}{m}\right}\left{\mathbf{y}{1}, \ldots, \mathbf{y}{m}\right}作为，
F^米(是0)=1米∑一世=1米1H米Dķ(|是一世−是0|H米),
在哪里H米>0，带宽，被选择为以适当的方式接近零作为数字米数据点的增加，并且ķ:[0,∞)→[0,∞)是满足某些属性（例如有界性）的核函数。关于估计器对正确结果的不同类型和收敛速度，存在各种定理。关于多变量情况下逐点收敛速度的最早结果似乎在 [5] 中给出，其中指出在某些条件下F和ķ， 假设H米→0和米H米D→∞作为米→∞, 估计中的均方误差F^(是0)一个点的密度随速率变为零，MSE[F^米(是0)]=和[(F^米(是0)−F(是0))2]=这(H米4+1米H米D)
作为米→∞. 如果H米选择成正比于米−1/(D+4)，一个得到，
MSE[F^米(p)]=这(1米4/(D+4)),作为米→∞. 两个条件H米→0和米H米D→∞确保随着数据点数量的增加，一个点的密度估计值由该点周围越来越小的区域中的密度值决定，但对估计值有贡献的数据点数量（大致成正比）到一个大小区域的体积H米) 分别无限增长。
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Motivation for the Submanifold Estimator
我们想估计位于（未知）上的 PDF 的值d维黎曼子流形米的RD， 在哪里d<D. 通常，D维 KDE 不适用于这样的分布。这可以通过考虑平面中一条线上的分布来直观地理解：在线上执行的一维 KDE（具有带宽H米满足上面给出的渐近线）将收敛到线上的正确密度，但是二维 KDE，与前者的区别仅在于随着带宽爆炸的归一化因子H米→0（比较（3.1）的情况D=2和D=1)，发散。这种行为是由于这样一个事实，类似于“三角函数”分布R， 这D-a 上分布的维密度d维子流形RD严格来说，是未定义的——密度在子流形之外为零，并且为了进行适当的归一化，它在子流形上必须是无限的。更正式地说，D维概率测度d支持的三维PDF米就 Lebesgue 测度而言不是绝对连续的RD, 并且没有概率
密度函数RD. 如果尝试使用D从这种概率度量中提取的数据的维 KDE，估计器将“尝试收敛”为奇异 PDF；一个无限的米, 外为零。
对于平面中一条线上的支持分布，我们可以求助于一维 KDE 来获得线上的正确密度，但是如何估计未知的、可能是弯曲的维度子流形上的密度d<D? 本质上相同的方法有效：即使对于存在于未知、弯曲的数据d维子流形RD, 使用就足够了d具有欧几里得距离的维核密度估计器RD得到子流形密度的一致估计。此外，该估计器的收敛速度可以如 (3.3) 中的那样有界，其中D被取代d，子流形的内在维度。[20]
这种方法背后的直觉基于三个事实：1）对于小带宽，对一个点的密度估计的主要贡献来自附近的数据点；2) 对于小距离，ad维黎曼流形“看起来像”Rd, 和密度Rd应该由一个估计d维内核，而不是D-维一；和 3) 对于点米彼此接近的，所测量的内在距离米接近在周围测量的欧几里得距离RD. 因此，随着数据点数量的增加和带宽越来越小，通过使用归一化的内核来估计密度d测量的尺寸和距离RD应该给出越来越接近正确值的结果。
接下来我们将给出由这些考虑引起的估计量的正式定义，并在其渐近性上陈述定理。与 Parzen [21] 的原始工作一样，估计器的逐点一致性可以通过使用偏差-方差分解来证明。估计器的渐近无偏性源于这样一个事实，即随着带宽收敛到零，核函数变为“delta 函数”。利用这一事实，可以证明，有了适当的选择带宽速率，该方差也渐近地消失，完成估计器的点一致性的证明。
机器学习代写|流形学习代写manifold data learning代考|Statement of the Theorem
让(米,G)做一个d维的、嵌入的、完整的、紧致的黎曼子流形RD(d0.7让d(p,q)=dp(q)是长度最小的测地线的长度米之间p,q∈米， 然后让在(p,q)=在p(q)是之间的测地线距离p和q如测量RD（因此，在(p,q)只是之间的欧几里得距离p和q在RD). 注意在(p,q)≤d(p,q). 我们将在米经过在, 体积形式为d在.8
定理 3.3.1 令F:米→[0,∞)是一个概率密度函数，定义在米（因此相关的概率测度是F在)， 和ķ:[0,∞)→[0,∞)是一个在外部消失的连续函数[0,1), 可与有界导数微分[0,1)，并且满足归一化条件，∫|和|≤1ķ(|和|)dd和=1. 认为F在邻域中可微分到二阶p∈米，对于一个样本q1,…,q米大小的米取自
密度F, 定义一个估计器F^米(p)的F(p)作为，F^米(p)=1米∑j=1米1H米dķ(在p(qj)H米)
在哪里H米>0. 如果H米满足林米→∞H米=0和林米→∞米H米d=∞, 则存在非负数米,Cb， 和C在这样对于所有人米>米估计器 (3.4) 的均方误差满足，
MSE[F^米(p)]=和[(F^米(p)−F(p))2]<CbH米4+C在米H米d
如果H米选择成正比于米−1/(d+4)，这给出了，
和[(F米(p)−F(p))2]=这(1米4/(d+4))
作为米→∞.
因此，子流形密度估计器的收敛速度的界限如（3.2），（3.3），具有维数D被内在维度取代d的米. 如上所述，这个定理的证明来自关于偏差和方差收敛速度的两个引理；这H米4边界中的项对应于偏差，并且1/米H米d项对应于方差；看[20]详情。这种子流形密度估计的方法之前在[11]中提到过，论文[10]包含了细节，尽管它比[20]中的基本方法更技术和更通用。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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