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在概率论中，鞅理论是一个随机变量序列（即一个随机过程），对它来说，在某一特定时间，序列中下一个值的条件期望值等于现值，而不考虑所有先验值。
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统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Axiomatic construction of marginals: Stieltjes moment problem
We have explained previously that marginals $\mathbb{P}^{i}$ can be inferred from market values of $T$-Vanilla call/put options. However, in practice, only a finite number of strikes are quoted and therefore these liquid prices need to be interpolated and extrapolated in order to imply the marginals $\mathbb{P}^{i}$ (supported in $\mathbb{R}{+}$). We report here how this can be achieved. This problem can be framed as Stieltjes moment problem. By construction, our $T$-marginal should belong to the infinite-dimensional convex set $$ \mathcal{M}=\left{\mathbb{P}: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[S{T}\right]=S_{0}, \quad \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\left(S_{T}-K_{i}\right)^{+}\right]=C\left(K_{i}\right) \equiv c_{i}, \quad i=1, \ldots n\right}
$$
$\mathcal{M}$ is relatively compact from Prokhorov’s theorem (See Remark 1.4). For instance, we add the technical assumption that the elements in $\mathcal{M}$ should also be compactly supported in the interval $\left[0, S_{\max }\right]$ with $S_{\max }$ large in order to get that $\mathcal{M}$ is compact. This implies that from Krein-Milman’s theorem, this set can be reconstructed from its extremal points $\operatorname{Ext}(\mathcal{M})$ :
$$
\mathcal{M}=\overline{\operatorname{Conv}(\operatorname{Ext}(\mathcal{M}))}
$$
Furthermore, from Choquet’s theorem, one can show that all arbitrage-free prices $C(K)$ can be obtained by linearly combining extremal points. They are supported by a probability measure $\mu$ on $\operatorname{Ext}(\mathcal{M})$ (probability on probability space!) and for all $K$,
$$
C(K)=\int_{\operatorname{Ext}(\mathcal{M})} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[\left(S_{T}-K\right)^{+}\right] d \mu(\mathbb{P})
$$
Enumerating all the extremal points (and therefore elements in $\mathcal{M}$ ) is a difficult task. We follow a different route. A canonical point of $\mathcal{M}$ can be obtained by minimising a convex lower semi-continuous functional $\mathcal{F}$ :
$$
I \equiv \inf {\mathbb{P} \in \mathcal{M}} \mathcal{F}(\mathbb{P})=\mathcal{F}\left(\mathbb{P}{c_{1}, \ldots, c_{n}}^{}\right), \quad \mathbb{P}{c{1}, \ldots, c_{n}}^{} \in \mathcal{M}
$$
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Spence–Mirrlees condition
The Spence-Mirrlees condition, i.e., $c_{12}>0$, required for the Fréchet-Hoeffding solution to hold, is very natural from a financial point of view. If we shift the payoff $c$ by some European payoffs $\Lambda_{1} \in L^{1}\left(\mathbb{P}^{1}\right), \Lambda_{2} \in L^{1}\left(\mathbb{P}^{2}\right)$ :
$$
\bar{c}\left(s_{1}, s_{2}\right)=c\left(s_{1}, s_{2}\right)+\Lambda_{1}\left(s_{1}\right)+\Lambda_{2}\left(s_{2}\right)
$$
then the Monge-Kantorovich bound for $\bar{c}$ should be
$$
\mathrm{MK}{2}(\bar{c})=\mathrm{MK}{2}(c)+\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{1}}\left[\Lambda_{1}\left(S_{1}\right)\right]+\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{2}}\left[\Lambda_{2}\left(S_{2}\right)\right]
$$
as the market price of $\Lambda_{i}\left(s_{i}\right)$ is fixed by $\mathbb{E}^{\mathbb{P}^{x}}\left[\Lambda_{i}\left(S_{i}\right)\right]$. The payoff $\bar{c}$ is precisely invariant under the Spence-Mirrlees condition : $\bar{c}{12}=c{12}$.
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Mirror coupling: Co-monotone rearrangement map
Similarly, the upper bound under the condition $c_{12}<0$ is attained by the co-monotone rearrangement map $$ T\left(s_{1}\right)=F_{2}^{-1} \circ\left(1-F_{1}\left(-s_{1}\right)\right) $$ This can be obtained by applying the parity transformation $\mathcal{P}\left(s_{1}, s_{2}\right)=$ $\left(-s_{1}, s_{2}\right)$. For each measure $\mathbb{P}$ matching the marginals $\mathbb{P}^{1}$ and $\mathbb{P}^{2}$, we can associate the measure $\mathcal{P}{} \mathbb{P}$ matching the marginals $\mathcal{P}{} \mathbb{P}^{1}$ and $\mathbb{P}^{2}$ with cumulative distributions $\bar{F}{1}\left(s{1}\right) \equiv 1-F_{1}\left(-s_{1}\right)$ and $F_{2}\left(s_{2}\right)$. We conclude as the Monge-Kantorovich bounds for $c$ and $\tilde{c}\left(s_{1}, s_{2}\right) \equiv c\left(-s_{1}, s_{2}\right)$ coincides as $\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[c]=\mathbb{E}^{\mathcal{P}} \mathbb{P}[\bar{c}]$. Similarly, by replacing $c$ by $-c$, we obtain that the comonotone rearrangement map gives the lower bound under the condition $c_{12}>0$
Example $2.4$ Lower bound, $c\left(s_{1}, s_{2}\right)=\left(s_{1}-K_{1}\right)+1_{s_{2}>K_{2}}$
By applying Anti-Fréchet-Hoeffding solution, the lower bound is attained by
$$
\mathrm{MK}{2}=\int{F_{2}\left(K_{2}\right)}^{\max \left(1-F_{1}\left(K_{1}\right), F_{2}\left(K_{2}\right)\right)}\left(F_{1}^{-1}(1-u)-K_{1}\right) d u
$$
with
$$
\begin{aligned}
&\lambda_{2}(x)=\left(\bar{F}{1}^{-1} \circ F{2}\left(K_{2}\right)-K_{1}\right)^{+} 1_{x>K_{2}} \
&\lambda_{1}(x)=\left(x-K_{1}\right)^{+} 1_{F_{2}^{-1} \circ F_{1}(x)>K_{2}}-\left(\bar{F}{1}^{-1} \circ F{2}\left(K_{2}\right)-K_{1}\right)^{+} 1_{F_{2}^{-1} \circ F_{1}(x)>K_{2}}
\end{aligned}
$$
离散时间鞅理论代考
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Axiomatic construction of marginals: Stieltjes moment problem
我们之前已经解释过边际磷一世可以从市场价值推断吨-香草看涨/看跌期权。然而，在实践中，只有有限数量的行使价被报价，因此这些流动价格需要被内插和外推以暗示边际磷一世（支持在R+）。我们在这里报告如何实现这一点。这个问题可以被定义为 Stieltjes 矩问题。通过建设，我们的吨-marginal 应该属于无限维凸集
\mathcal{M}=\left{\mathbb{P}: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[S{T}\right]=S_{0}, \quad \mathbb{E }^{\mathbb{P}}\left[\left(S_{T}-K_{i}\right)^{+}\right]=C\left(K_{i}\right) \equiv c_{ i}, \quad i=1, \ldots n\right}\mathcal{M}=\left{\mathbb{P}: \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[S{T}\right]=S_{0}, \quad \mathbb{E }^{\mathbb{P}}\left[\left(S_{T}-K_{i}\right)^{+}\right]=C\left(K_{i}\right) \equiv c_{ i}, \quad i=1, \ldots n\right}
米从 Prokhorov 定理来看是相对紧凑的（参见备注 1.4）。例如，我们添加技术假设，即米也应该在区间内得到紧支撑[0,小号最大限度]和小号最大限度大为了得到那个米紧凑。这意味着根据 Krein-Milman 定理，该集合可以从其极值点重构分机(米) :
米=转化率(分机(米))¯
此外，根据 Choquet 定理，可以证明所有无套利价格C(ķ)可以通过对极值点进行线性组合得到。它们由概率测度支持μ上分机(米)（概率空间上的概率！）ķ,
C(ķ)=∫分机(米)和磷[(小号吨−ķ)+]dμ(磷)
枚举所有极值点（因此米) 是一项艰巨的任务。我们走不同的路线。一个典型的点米可以通过最小化凸下半连续泛函来获得F :
我≡信息磷∈米F(磷)=F(磷C1,…,Cn),磷C1,…,Cn∈米
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Spence–Mirrlees condition
Spence-Mirrlees 条件，即C12>0从财务的角度来看，Fréchet-Hoeffding 解决方案所需的 ，是非常自然的。如果我们改变收益C通过一些欧洲的回报Λ1∈大号1(磷1),Λ2∈大号1(磷2):
C¯(s1,s2)=C(s1,s2)+Λ1(s1)+Λ2(s2)
然后Monge-Kantorovich开往C¯应该
米ķ2(C¯)=米ķ2(C)+和磷1[Λ1(小号1)]+和磷2[Λ2(小号2)]
作为市场价格Λ一世(s一世)由和磷X[Λ一世(小号一世)]. 回报C¯在 Spence-Mirrlees 条件下精确不变：C¯12=C12.
统计代写|离散时间鞅理论代写martingale代考|Mirror coupling: Co-monotone rearrangement map
同样，条件下的上界C12<0通过共单调重排图获得
吨(s1)=F2−1∘(1−F1(−s1))这可以通过应用奇偶校验变换来获得磷(s1,s2)= (−s1,s2). 对于每项措施磷匹配边缘磷1和磷2，我们可以关联度量磷磷匹配边缘磷磷1和磷2具有累积分布F¯1(s1)≡1−F1(−s1)和F2(s2). 我们得出结论为 Monge-Kantorovich 界限C和C~(s1,s2)≡C(−s1,s2)恰逢和磷[C]=和磷磷[C¯]. 同样，通过替换C经过−C，我们得到comonotone重排图在条件下给出了下限C12>0
例子2.4下限，C(s1,s2)=(s1−ķ1)+1s2>ķ2
通过应用 Anti-Fréchet-Hoeffding 解，下界由
$$
\mathrm{MK} {2}=\int{F_{2}\left(K_{2}\right)}^{\max \left (1-F_{1}\left(K_{1}\right), F_{2}\left(K_{2}\right)\right)}\left(F_{1}^{-1}(1 -u)-K_{1}\right) 杜
在一世吨H
λ2(X)=(F¯1−1∘F2(ķ2)−ķ1)+1X>ķ2 λ1(X)=(X−ķ1)+1F2−1∘F1(X)>ķ2−(F¯1−1∘F2(ķ2)−ķ1)+1F2−1∘F1(X)>ķ2
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。