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统计建模是使用数学模型和统计假设来生成样本数据并对现实世界进行预测。统计模型是一组实验的所有可能结果的概率分布的集合。
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统计代写|统计模型作业代写Statistical Modelling代考|Reparameterization lemma
If $\psi$ and $\theta=\theta(\psi)$ are two equivalent parameterizations of the same model, or if parameterization by $\psi$ represents a lower-dimensional subfamily of a family parameterized by $\boldsymbol{\theta}$, via $\boldsymbol{\theta}=\boldsymbol{\theta}(\boldsymbol{\psi})$, then the score functions are related by
$$
U_{\dot{\psi}}(\psi ; y)=\left(\frac{\partial \boldsymbol{\theta}}{\partial \psi}\right)^{T} U_{\theta}(\boldsymbol{\theta}(\psi) ; \boldsymbol{y}),
$$
and the corresponding information matrices are related by the equations
$$
\begin{aligned}
&I_{\psi}(\psi)=\left(\frac{\partial \theta}{\partial \psi}\right)^{T} I_{\theta}(\theta(\psi))\left(\frac{\partial \theta}{\partial \psi}\right) \
&J_{\psi}(\hat{\psi})=\left(\frac{\partial \theta}{\partial \psi}\right)^{T} J_{\theta}(\theta(\hat{\psi}))\left(\frac{\partial \theta}{\partial \psi}\right)
\end{aligned}
$$
where the information matrices refer to their respective parameterizations and are calculated in points $\psi$ and $\theta(\psi)$, respectively, and where $\left(\frac{\partial \theta}{\partial \psi}\right)$ is the Jacobian transformation matrix for the reparameterization, calculated in the same point as the information matrix.
Note that it is generally crucial to distinguish the Jacobian matrix from its transpose. The definition of the Jacobian is such that the $(i, j)$ element of $\left(\frac{\partial \theta}{\partial \psi}\right)$ is the partial derivative of $\theta_{i}$ with respect to $\psi_{j}$.
When $\psi$ and $\theta$ are two equivalent parameterizations, it is sometimes easier to derive $\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \theta}\right)$ than $\left(\frac{\partial \theta}{\partial \psi}\right)$ for use in the reparameterization expressions. Note then that they are the inverses of each other, cf. Section B.2.
Note also that Proposition $3.14$ does not allow $\psi$ to be a function of $\boldsymbol{\theta}$, so for example not a component or subvector of $\boldsymbol{\theta}$. Reducing the score to a subvector of itself, and the information matrix to the corresponding
submatrix, is legitimate only when the excluded parameter subvector is regarded as known (cf. Proposition 4.3).
Note finally that the relationship (3.16) between the two Fisher informations $I$ holds for any $\psi$, whereas the corresponding relation (3.17) for the observed information $J$ only holds in the ML point. The reason for the latter fact will be clear from the following proof.
Proof Repeated use of the chain rule for differentiation yields first
$$
D_{\varphi} \log L=\left(\frac{\partial \theta}{\partial \psi}\right)^{T} D_{\theta} \log L
$$
and next
$$
D_{\psi}^{2} \log L=\left(\frac{\partial \theta}{\partial \psi}\right)^{T} D_{\theta}^{2} \log L\left(\frac{\partial \theta}{\partial \psi}\right)+\left(\frac{\partial^{2} \theta}{\partial \psi^{2}}\right)^{T} D_{\theta} \log L
$$
where the last term represents a matrix obtained when the three-dimensional array $\left(\frac{\partial^{2} \theta}{\partial \psi^{2}}\right)^{T}$ is multiplied by a vector. In the MLE point this last term of (3.19) vanishes, since $D_{\theta} \log L=0$, and (3.17) is obtained. Also, if we take expected values, the same term vanishes because the score function has expected value zero, and the corresponding relation between the expected informations follows.
统计代写|统计模型作业代写Statistical Modelling代考|Mixed parameterization
The mixed parameterization is a valid parameterization.
Proof of Corollary $3.17$ From Proposition $3.16$ it follows that the conditional density can be parameterized by $\theta_{v}$. When $\theta_{v}$ has been specified, Proposition $3.16$ additionally tells that the marginal for $u$ is an exponential family that is for example parameterized by its mean value $\mu_{u}$. Finally, since the joint density for $u$ and $v$ is the product of these marginal and conditional densities, it follows that the mixed parameterization with $\left(\mu_{u}, \theta_{v}\right)$ is also a valid parameterization of the family for $t$.
Proof of Proposition $3.16$ The marginal density for $\boldsymbol{u}$ is obtained by integrating the density (1.8) for $\boldsymbol{t}$ with respect to $\boldsymbol{v}$, for fixed $\boldsymbol{u}$ :
$$
\begin{aligned}
f(\boldsymbol{u} ; \boldsymbol{\theta}) &=\int a(\boldsymbol{\theta}) g(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) e^{\boldsymbol{\theta}{u}^{T}} \boldsymbol{u}+\boldsymbol{\theta}{v}^{T} \boldsymbol{v}{\mathrm{d} \boldsymbol{v}} \ &=a(\boldsymbol{\theta}) e^{\boldsymbol{\theta}{u}^{T} \boldsymbol{u}} \int g(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) e^{\boldsymbol{\theta}{v}^{T} \boldsymbol{v}} \mathrm{d} \boldsymbol{v} \end{aligned} $$ The integral factor on the second line is generally a function of both data and the parameter $\left(\theta{v}\right)$, which destroys the exponential family property. However, for each given $\theta_{v}$, this factor is only a function of data, and then the family is exponential. Its canonical parameter is $\theta_{u}$, but the parameter space for $\boldsymbol{\theta}{u}$ may depend on $\boldsymbol{\theta}{v}$, being the intersection of $\boldsymbol{\Theta}$ with the hyperplane or affine subspace $\theta_{v}=$ fixed. Since this exponential family
is automatically regular in $\theta_{u}$, the range for its mean value $\mu_{u}$, that is, its mean value parameter space, is identical with the interior of the closed convex hull of the support of the family of distributions for $u$, according to Proposition 3.13. However, since this set is independent of $\theta_{v}$, the parameter space for $\mu_{u}$ is also independent of $\theta_{v}$, as was to be shown.
For the conditional model we do not bother about possible mathematical technicalities connected with conditional densities, but simply write as for conditional probabilities, using the marginal density (3.21) to simplify for $\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}(\boldsymbol{y})$ the expression:
$$
\begin{aligned}
f(\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{u} ; \boldsymbol{\theta}) &=f(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{y} ; \boldsymbol{\theta}) / f(\boldsymbol{u} ; \boldsymbol{\theta}) \
&=\frac{e^{\boldsymbol{\theta}{\leftarrow}^{T} v(\boldsymbol{v})} h(\boldsymbol{y})}{\int e^{\theta{r}^{T} v} g(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) \mathrm{d} v} .
\end{aligned}
$$
To obtain $f(\boldsymbol{v} \mid \boldsymbol{u} ; \boldsymbol{\theta})$ we only substitute $g(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v})$ for $h(\boldsymbol{y})$ in the numerator of the exponential family density (3.22). Note that $f(\boldsymbol{v} \mid \boldsymbol{u} ; \boldsymbol{\theta})$ is defined only for those $v$-values which are possible for the given $u$, and the denominator is the integral over this set of values. This makes the model depend on $u$, even though the canonical parameter is the same, $\boldsymbol{\theta}_{v}$, and in particular the conditional mean and variance of $v$ will usually depend on $u$.
统计代写|统计模型作业代写Statistical Modelling代考|Marginality and conditionality for Gaussian sample
As an illustration of Proposition 3.16, consider $u=\sum y_{i}^{2}$ for a sample from the normal distribution, with $v=\sum y_{i}$. First, the marginal distribution of $\sum y_{i}^{2}$ is proportional to a noncentral $\chi^{2}$ and does not in general form an exponential family. Next, consider instead its conditional distribution, given $\sum y_{i}=n \bar{y}$. This might appear quite complicated, but given $\bar{y}, \sum y_{i}^{2}$ differs by only an additive, known constant from $\sum y_{i}^{2}-n \bar{y}^{2}=(n-1) s^{2}$. Thus, it is enough to characterize the distribution of $(n-1) s^{2}$, and it is well-known that $s^{2}$ is independent of $\bar{y}$ (see also Section 3.7), and that the distribution of $(n-1) s^{2}$ is proportional (by $\sigma^{2}$ ) to a (central) $\chi^{2}(n-1)$. From the explicit form of a $\chi^{2}$ it is easily seen that the conditional distribution forms an exponential family (Reader, check!).
The canonical parameter space for the conditional family is at least as large as the maximal set of $\boldsymbol{\theta}{v}$-values in $\boldsymbol{\Theta}$, that is, the set of $\boldsymbol{\theta}{v}$ such that $\left(\boldsymbol{\theta}{u}, \boldsymbol{\theta}{v}\right) \in \boldsymbol{\Theta}$ for some $\boldsymbol{\theta}{u}$. Typically the two sets are the same, but there are models in which the conditional canonical parameter space is actually larger and includes parameter values $\boldsymbol{\theta}{v}$ that lack interpretation in the joint model, see for example the Strauss model in Section 13.1.2 and the model in Section 14.3(b).
统计模型代考
统计代写|统计模型作业代写Statistical Modelling代考|Reparameterization lemma
如果ψ和θ=θ(ψ)是同一模型的两个等效参数化，或者如果参数化通过ψ表示由以下参数化的族的低维子族θ， 通过θ=θ(ψ)，那么得分函数与
在ψ˙(ψ;是)=(∂θ∂ψ)吨在θ(θ(ψ);是),
和相应的信息矩阵由方程相关
一世ψ(ψ)=(∂θ∂ψ)吨一世θ(θ(ψ))(∂θ∂ψ) Ĵψ(ψ^)=(∂θ∂ψ)吨Ĵθ(θ(ψ^))(∂θ∂ψ)
其中信息矩阵指的是它们各自的参数化并以点为单位计算ψ和θ(ψ)，分别在哪里(∂θ∂ψ)是用于重新参数化的雅可比变换矩阵，在与信息矩阵相同的点处计算。
请注意，将雅可比矩阵与其转置区分开来通常至关重要。雅可比的定义是这样的(一世,j)的元素(∂θ∂ψ)是的偏导数θ一世关于ψj.
什么时候ψ和θ是两个等价的参数化，有时更容易推导(∂披∂θ)比(∂θ∂ψ)用于重新参数化表达式。请注意，它们是彼此的倒数，参见。B.2 节。
还要注意，命题3.14不允许ψ成为一个函数θ，因此例如不是的分量或子向量θ. 将分数降为自身的一个子向量，将信息矩阵降为对应的
子矩阵，仅当排除的参数子向量被认为是已知的时才是合法的（参见命题 4.3）。
最后注意两个Fisher信息之间的关系（3.16）一世适用于任何ψ, 而观测信息的对应关系 (3.17)Ĵ只在 ML 点成立。后一事实的原因将从以下证明中清楚。
证明重复使用链式法则进行微分首先产生
D披日志大号=(∂θ∂ψ)吨Dθ日志大号
接下来
Dψ2日志大号=(∂θ∂ψ)吨Dθ2日志大号(∂θ∂ψ)+(∂2θ∂ψ2)吨Dθ日志大号
其中最后一项表示在三维数组中得到的矩阵(∂2θ∂ψ2)吨乘以一个向量。在 MLE 点中，(3.19) 的最后一项消失了，因为Dθ日志大号=0, 并得到 (3.17)。另外，如果我们取期望值，同一项就消失了，因为分数函数的期望值为零，并且期望信息之间的对应关系如下。
统计代写|统计模型作业代写Statistical Modelling代考|Mixed parameterization
混合参数化是有效的参数化。
推论的证明3.17从命题3.16由此可见，条件密度可以由下式参数化θ在. 什么时候θ在已指定，提案3.16另外告诉边缘为在是一个指数族，例如通过其平均值参数化μ在. 最后，由于联合密度为在和在是这些边际和条件密度的乘积，因此混合参数化与(μ在,θ在)也是族的有效参数化吨.
命题证明3.16边际密度为在通过对密度 (1.8) 积分获得吨关于在, 对于固定在 :
F(在;θ)=∫一种(θ)G(在,在)和θ在吨在+θ在吨在d在 =一种(θ)和θ在吨在∫G(在,在)和θ在吨在d在第二行的积分因子通常是数据和参数的函数(θ在)，它破坏了指数家庭财产。然而，对于每个给定的θ在，这个因子只是数据的函数，然后这个族是指数的。它的规范参数是θ在，但参数空间为θ在可能取决于θ在，是的交集θ与超平面或仿射子空间θ在=固定的。由于这个指数族
在θ在, 其平均值的范围μ在，即其均值参数空间，与分布族支持的闭凸包的内部相同在，根据提案 3.13。但是，由于该集合独立于θ在，参数空间为μ在也独立于θ在，如将要显示的那样。
对于条件模型，我们不关心与条件密度相关的可能的数学技术，而是简单地写成条件概率，使用边际密度（3.21）来简化在=在(是)表达式：
$$
\begin{aligned}
f(\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{u} ; \boldsymbol{\theta}) &=f(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{y} ; \boldsymbol {\theta}) / f(\boldsymbol{u} ; \boldsymbol{\theta}) \
&=\frac{e^{\boldsymbol{\theta} {\leftarrow}^{T} v(\boldsymbol{v })} h(\boldsymbol{y})}{\int e^{\theta {r}^{T} v} g(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) \mathrm{d} v} .
\end{aligned}
$$
获取F(在∣在;θ)我们只替代G(在,在)为了H(是)在指数族密度（3.22）的分子中。注意F(在∣在;θ)只为那些定义在-给定的可能值在，分母是这组值的积分。这使得模型依赖于在，即使规范参数相同，θ在，特别是条件均值和方差在通常取决于在.
统计代写|统计模型作业代写Statistical Modelling代考|Marginality and conditionality for Gaussian sample
作为命题 3.16 的说明，考虑在=∑是一世2对于来自正态分布的样本，在=∑是一世. 一、边际分布∑是一世2与非中心成正比χ2并且通常不形成指数族。接下来，考虑它的条件分布，给定∑是一世=n是¯. 这可能看起来很复杂，但给定是¯,∑是一世2仅差一个添加剂，已知常数∑是一世2−n是¯2=(n−1)s2. 因此，描述分布的特征就足够了(n−1)s2, 并且众所周知s2独立于是¯（另见第 3.7 节），以及(n−1)s2是成比例的（由σ2) 到 (中央)χ2(n−1). 从 a 的显式形式χ2很容易看出，条件分布形成了一个指数族（读者，检查！）。
条件族的规范参数空间至少与最大集合一样大θ在-值在θ，也就是集合θ在这样(θ在,θ在)∈θ对于一些θ在. 通常这两个集合是相同的，但有些模型的条件规范参数空间实际上更大并且包含参数值θ在在联合模型中缺乏解释，例如参见第 13.1.2 节中的 Strauss 模型和第 14.3(b) 节中的模型。
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。