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统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Fock Scalar White Noise
Definition 1. The standard d-dimensional Fock scalar White Noise $(W N)$ is defined by a quadruple
$$
\left{\mathcal{H}, b_{t}, b_{t}^{+}, \Phi\right} ; \quad t \in \mathbb{R}^{d}
$$
where $\mathcal{H}$ is a Hilbert space, $\Phi \in \mathcal{H}$ a unit vector called the (Fock) vacusm, and $b_{t}, b_{t}^{+}$are operator valued distributions (for an explanation of this notion see the comment at the end of the present section and the discussion in [AcLuVo02], Section (2.1)) with the following properties.
The vectors of the form
$$
b_{t_{n}}^{+} \cdots b_{t_{1}}^{+} \Phi
$$
called the number vectors are well defined in the distribution sense and total in $\mathcal{H}$.
$b_{t}$ is the adjoint of $b_{t}^{+}$on the linear span of the number vectors
$$
\left(b_{t}^{+}\right)^{+}=b_{t}
$$
Weakly on the same domain and in the distribution sense:
$$
\left[b_{s}, b_{t}^{+}\right]:=b_{s} b_{t}^{+}-b_{t}^{+} b_{s}=\delta(t-s)
$$
where, here and in the following, the symbol $[\cdot, \cdot]$ will denote the commutator:
$$
[A, B]:=A B-B A
$$
Finally $b_{t}$ and $\Phi$ are related by the Fock property (always meant in the distribution sense):
$$
b_{t} \Phi=0
$$
The unit vector $\Phi$ determines the expectation value
$$
\langle\Phi, X \Phi\rangle=:\langle X\rangle
$$
which is well defined for any operator $X$ acting on $\mathcal{H}$ and with $\Phi$ in its domain.
Remark. In the Fock case algebra implies statistics in the sense that the algebraic rules (3.3), (3.2), (3.4) uniquely determine the restriction of the expectation value (3.5) on the polynomial algebra generated by $b_{t}$ and $b_{t}^{+}$. This is because, with the notation
$$
X^{\varepsilon}=\left{\begin{array}{l}
X, \varepsilon=-1 \
X^{*}, \varepsilon=+1
\end{array}\right.
$$
the Fock prescription (3.4) implies that the expectation value
$$
\left\langle b_{t_{n}}^{c_{n}} \cdots b_{t_{1}}^{c_{1}}\right\rangle
$$
of any monomial in $b_{t}$ and $b_{t}^{+}$is zero whenever either $n$ is odd or $b_{t_{1}}^{c_{1}}=b_{t_{1}}$ or $b_{t_{n}}^{\varepsilon_{n}}=b_{t_{n}}^{+}$. If neither of these conditions is satisfied, then there is a $k \in$ ${2, \ldots, n}$ such that the expectation value $(3.7)$ is equal to
$$
\left\langle b_{t_{n}}^{\varepsilon_{n}} \cdots b_{t_{1}}^{\varepsilon_{1}}\right\rangle=\left\langle b_{t_{n}}^{\varepsilon_{n}} \cdots b_{t_{k+1}}^{\varepsilon_{k+1}}\left[b_{t_{k}}, b_{t_{k-1}}^{+} \cdots b_{t_{1}}^{+}\right]\right\rangle
$$
Using the derivation property of the commutator $\left[b_{t_{k}}, \cdot\right]$ (i.e. (7.4)) one then reduces the expectation value (3.8) to a linear combination of expectation values of monomials of order less or equal than $n-2$. Iterating one sees that only the scalar term can give a nonzero contribution.
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写| Classical Real Valued White Noise
Lemma. Let $b_{t}, b_{t}^{+}$be a Fock scalar white noise. Then
$$
w_{t}:=b_{t}+b_{t}^{+}
$$
is a classical real random variable valued distribution satisfying:
$$
\begin{gathered}
w_{t}=w_{t}^{+} \
{\left[w_{s}, w_{t}\right]=0 ; \quad \forall s, t} \
\left\langle w_{t}\right\rangle=0 \
\left\langle w_{s} w_{t}\right\rangle=\delta(t-s) \
\left\langle w_{t_{2 n} \ldots} \ldots w_{t_{1}}\right\rangle=\sum_{\left{l_{\alpha}, r_{\alpha}\right} \in p \cdot p-{1, \ldots, 2 n}} \prod_{\alpha=1}^{n}\left\langle w_{t_{l_{\alpha}}} w_{t_{r_{\alpha}}}\right\rangle
\end{gathered}
$$
moreover all odd moments vanish and $p \cdot p \cdot{1, \ldots, 2 n}$ denotes the set of all pair partitions of ${1, \ldots, 2 n}$.
Remark. The self-adjointness condition (4.2) and the commutativity condition (4.3) mean that $\left(w_{t}\right)$ is (isomorphic to) a classical real valued process. Conditions (4.4) and (4.5) mean respectively that $\left(w_{t}\right)$ is mean zero and $\delta$-correlated. Finally (4.6), which follows from (3.4) and from the same arguments used to deduce the explicit form of (3.7), shows that the classical process $\left(w_{t}\right)$ is Gaussian.
Definition 2. The process $\left(w_{t}\right)$ satisfying (4.2),…, (4.5) (one can prove its uniqueness up to stochastic equivalence) is called the standard $d$-dimensional classical real valued White Noise $(W N)$. The identity (4.1) is called the quantum decomposition of the classical d-dimensional white noise.
Remark. Notice that, for the classical process $\left(w_{t}\right)$, it is not true that algebra implies statistics: this becomes true only using the quantum decomposition (4.1) combined with the Fock prescription (3.4).
Remark. In the case $d=1$, integrating the classical WN one obtains the classical Brownian motion with zero initial condition:
$$
W_{t}=B_{t}+B_{t}^{+}=\int_{0}^{t} d s\left(b_{s}^{+}+b_{s}\right)
$$
Notice that (4.7) gives the $q$-decomposition of the classical BM just as (4.1) gives the $q$-decomposition of the classical WN.
From now on we will only consider the case $d=1$.
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Classical Subprocesses Associated
An important generalization of the quantum decomposition (4.1) of the classical white noise is the identity:
$$
p_{t}(\lambda)=b_{t}+b_{t}^{+}+\lambda b_{t}^{+} b_{t} ; \quad \lambda \geq 0
$$
which can be shown to define (in the sense of vacuum distribution) a 1-parameter family of classical real valued distribution processes (i.e. $p_{t}(\lambda)=$ $p_{t}(\lambda)^{+}$and $\left.\left[p_{s}(\lambda), p_{t}(\lambda)\right]=0\right)$. In fact this classical process can be identified, up to a time rescaling, to the compensated scalar valued standard classical Poisson noise with intensity $1 / \lambda$ and the identity (5.1) gives a $q$-decomposition of this process.
Integrating (5.1), in analogy with (4.7), one obtains the standard compensated Poisson processes. Notice that the critical value
$$
\lambda=0
$$
corresponds to the classical WN while any other value
$$
\lambda \neq 0
$$
gives a Poisson noise. As a preparation to the discussion of Section (17) notice that $\lambda=0$ is the only critical point, i.e. a point where the vacuum distribution changes and that these two classes of stochastic processes exactly coincide with the first two Meixner classes.
随机分析代考
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Fock Scalar White Noise
定义 1. 标准 d 维 Fock 标量白噪声(在ñ)由四重定义
\left{\mathcal{H}, b_{t}, b_{t}^{+}, \Phi\right} ; \quad t \in \mathbb{R}^{d}\left{\mathcal{H}, b_{t}, b_{t}^{+}, \Phi\right} ; \quad t \in \mathbb{R}^{d}
在哪里H是希尔伯特空间，披∈H称为 (Fock) vacusm 的单位向量，以及b吨,b吨+是具有以下属性的运算符值分布（有关此概念的解释，请参见本节末尾的评论和 [AcLuVo02] 第 (2.1) 节中的讨论）。
形式的向量
b吨n+⋯b吨1+披
称为数字向量在分布意义上定义良好，并且在H.
b吨是的伴随b吨+在数向量的线性跨度上
(b吨+)+=b吨
在同一域和分布意义上弱：
[bs,b吨+]:=bsb吨+−b吨+bs=d(吨−s)
此处和下文中的符号[⋅,⋅]将表示换向器：
[一种,乙]:=一种乙−乙一种
最后b吨和披与 Fock 属性相关（总是在分布意义上）：
b吨披=0
单位向量披确定期望值
⟨披,X披⟩=:⟨X⟩
这对于任何运营商来说都是很好的定义X作用于H与披在其域中。
评论。在 Fock 案例中，代数意味着统计，代数规则 (3.3), (3.2), (3.4) 唯一地确定期望值 (3.5) 对生成的多项式代数的限制b吨和b吨+. 这是因为，使用符号
$$
X^{\varepsilon}=\left{X,e=−1 X∗,e=+1\对。
吨H和F这Cķpr和sCr一世p吨一世这n(3.4)一世米pl一世和s吨H一种吨吨H和和Xp和C吨一种吨一世这n在一种l在和
\left\langle b_{t_{n}}^{c_{n}} \cdots b_{t_{1}}^{c_{1}}\right\rangle
这F一种n是米这n这米一世一种l一世n$b吨$一种nd$b吨+$一世s和和r这在H和n和在和r和一世吨H和r$n$一世s这dd这r$b吨1C1=b吨1$这r$b吨nen=b吨n+$.一世Fn和一世吨H和r这F吨H和s和C这nd一世吨一世这ns一世ss一种吨一世sF一世和d,吨H和n吨H和r和一世s一种$ķ∈$$2,…,n$s在CH吨H一种吨吨H和和Xp和C吨一种吨一世这n在一种l在和$(3.7)$一世s和q在一种l吨这
\left\langle b_{t_{n}}^{\varepsilon_{n}} \cdots b_{t_{1}}^{\varepsilon_{1}}\right\rangle=\left\langle b_{t_{n }}^{\varepsilon_{n}} \cdots b_{t_{k+1}}^{\varepsilon_{k+1}}\left[b_{t_{k}}, b_{t_{k-1} }^{+} \cdots b_{t_{1}}^{+}\right]\right\rangle
$$
使用换向器的推导性质[b吨ķ,⋅]（即（7.4））然后将期望值（3.8）减少为小于或等于阶单项式的期望值的线性组合n−2. 迭代发现只有标量项可以给出非零贡献。
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写| Classical Real Valued White Noise
引理。让b吨,b吨+是 Fock 标量白噪声。然后
在吨:=b吨+b吨+
是一个经典的实随机变量值分布，满足：
\begin{聚集} w_{t}=w_{t}^{+} \ {\left[w_{s}, w_{t}\right]=0 ; \quad \forall s, t} \ \left\langle w_{t}\right\rangle=0 \ \left\langle w_{s} w_{t}\right\rangle=\delta(ts) \ \left\ langle w_{t_{2 n} \ldots} \ldots w_{t_{1}}\right\rangle=\sum_{\left{l_{\alpha}, r_{\alpha}\right} \in p \cdot p-{1, \ldots, 2 n}} \prod_{\alpha=1}^{n}\left\langle w_{t_{l_{\alpha}}} w_{t_{r_{\alpha}}} \right\rangle \end{聚集}\begin{聚集} w_{t}=w_{t}^{+} \ {\left[w_{s}, w_{t}\right]=0 ; \quad \forall s, t} \ \left\langle w_{t}\right\rangle=0 \ \left\langle w_{s} w_{t}\right\rangle=\delta(ts) \ \left\ langle w_{t_{2 n} \ldots} \ldots w_{t_{1}}\right\rangle=\sum_{\left{l_{\alpha}, r_{\alpha}\right} \in p \cdot p-{1, \ldots, 2 n}} \prod_{\alpha=1}^{n}\left\langle w_{t_{l_{\alpha}}} w_{t_{r_{\alpha}}} \right\rangle \end{聚集}
此外，所有奇怪的时刻都消失了，p⋅p⋅1,…,2n表示所有对分区的集合1,…,2n.
评论。自伴性条件（4.2）和交换性条件（4.3）意味着(在吨)是（同构于）一个经典的实值过程。条件（4.4）和（4.5）分别表示(在吨)是均值为零并且d-相关。最后，从 (3.4) 和用于推导出 (3.7) 的显式形式的相同论点得出的 (4.6) 表明经典过程(在吨)是高斯的。
定义 2. 过程(在吨)满足 (4.2),…, (4.5)（可以证明其唯一性直到随机等价）称为标准d维经典实值白噪声(在ñ). 恒等式 (4.1) 称为经典 d 维白噪声的量子分解。
评论。请注意，对于经典过程(在吨)，代数意味着统计是不正确的：这只有使用量子分解（4.1）和福克处方（3.4）才能成立。
评论。在这种情况下d=1, 对经典 WN 进行积分得到初始条件为零的经典布朗运动：
在吨=乙吨+乙吨+=∫0吨ds(bs++bs)
注意 (4.7) 给出了q-经典BM的分解，正如（4.1）给出的q- 经典 WN 的分解。
从现在开始我们只考虑这种情况d=1.
统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Classical Subprocesses Associated
经典白噪声的量子分解（4.1）的一个重要推广是恒等式：
p吨(λ)=b吨+b吨++λb吨+b吨;λ≥0
可以证明它定义（在真空分布的意义上）经典实值分布过程的 1 参数族（即p吨(λ)= p吨(λ)+和[ps(λ),p吨(λ)]=0). 事实上，这个经典过程可以被识别为具有强度的补偿标量值标准经典泊松噪声，直至时间重新缩放1/λ恒等式 (5.1) 给出q-分解这个过程。
积分 (5.1)，与 (4.7) 类似，可以得到标准的补偿泊松过程。注意临界值
λ=0
对应于经典 WN 而任何其他值
λ≠0
给出泊松噪声。作为对第 (17) 节讨论的准备，请注意：λ=0是唯一的临界点，即真空分布发生变化并且这两类随机过程与前两个 Meixner 类完全一致的点。
统计代写请认准statistics-lab™. statistics-lab™为您的留学生涯保驾护航。
金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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