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- Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Levy formula
- $L(x)$ is defined on $\mathcal{R}-{0}$. It is easy to see that
$$
\begin{array}{cl}
L(x)=C_{1}+\int_{-\infty}^{x} \frac{1+y^{2}}{y^{2}} d G(y), & \text { if } x<0, \ C_{2}-\int_{x}^{\infty} \frac{1+y^{2}}{y^{2}} d G(y), & \text { if } x>0,
\end{array}
$$
for any constants $C_{1}$ and $C_{2}$. (Verify that the integrals are well-defined!)
Furthermore, it is easy to see that $L(x)$ is non-decreasing on $(-\infty, 0)$ and $(0, \infty)$, respectively, and satisfies
$$
\lim {x \rightarrow-\infty} L(x)=C{1}, \quad \lim {x \rightarrow \infty} L(x)=C{2} .
$$ - Note that, for every finite $\delta>0$, we have
$$
\int_{0<|x|<\delta} x^{2} d L(x)=\int_{0<|x|<\delta}\left(1+x^{2}\right) d G(x) \leq\left(1+\delta^{2}\right) \int_{0<|x|<\delta} d G(x)<\infty
$$ - In view of (5.4), the following are equivalent:
$$
\int_{0<|x|<\delta} x^{2} d L(x)<\infty, \quad \Longleftrightarrow \int_{|x|>0}\left(x^{2} \wedge 1\right) d L(x)<\infty, \quad \Longleftrightarrow \quad \int_{|x|>0} \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d L(x)<\infty
$$ - $L(x)$ is finite for $x \neq 0$. But at $x=0$, they might not be well-defined. Namely, as $x>0$ or $x \searrow 0$, we might have $|L(x)| \rightarrow \infty$ and/or $\left|L^{\prime}(x)\right|=\infty$ (if $L^{\prime}$ exists).
On the other hand, it is easy to see that, for every finite $\epsilon>0$, we have
$$
L\left((-\epsilon, \epsilon)^{\kappa}\right)-\int_{|x|>\epsilon} d L(x)-\int_{|x|>c} \frac{1+x^{2}}{x^{2}} d G(x) \leq\left(1+\epsilon^{-2}\right) \int_{|x|>c} d G(x)<\infty
$$ - $L(x)$ is often called “Levy measure”, a very important concept in the studies of Levy processes.
We summarize everything in the next theorem.
THEOREM 12.5.1 (Levy formula) A function $\psi(t)$ is an i.d.c.f. if and only if it admits the following (unique) representation
$$
\psi(t)=\exp \left{i t \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{|x|>0}\left(e^{i t x}-1-\frac{i t x}{1+x^{2}}\right) d L(x)\right}
$$
where $\gamma$ is a real constant, $\sigma^{2}$ is a non-negative constant, and the function $L$ is non-decreasing on the intervals $(-\infty, 0)$ and $(0, \infty)$, and satisfies
$$
\int_{0<|x|<\delta} x^{2} d L(x)<\infty, \quad \text { for every finite } \delta>0 \text {. }
$$
REMARK 12.5.1 An alternative Levy formula takes the following form:
$$
\begin{aligned}
\psi(t) &=\exp \left{i t \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{|x|>0}\left(e^{i t x}-1-i t x I{|x|<1}\right) d L(x)\right} \
&=\exp \left{i t \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{0<|x|<1}\left(e^{i t x}-1-i t x\right) d L(x)+\int_{|x| \geq 1}\left(e^{i t x}-1\right) d L(x)\right} .
\end{aligned}
$$
This corresponds to the decomposition of a Levy process, which can be written as the sum of a Brownian motion, small jump component (a martingale), and a compound Poisson process.
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Kolmogorov formula
In the special case where the r.v. $X$ has finite second moment $E X^{2}$, we know that $\psi(t)$ is twice differentiable. In this case, we have the following simpler representation.
THEOREM 12.6.1 (Komogorov formula) A function $\psi(t)$ is an i.d.c.f. with a finite variance if and only if it admits the following (unique) representation
$$
\psi(t)=\exp \left{i t \gamma+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{i t x}-1-i t x\right) \frac{1}{x^{2}} d K(x)\right}
$$
where $\gamma$ is a real constant, the function $K$ is a bounded non-decreasing function.
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationship between the sum of independent r.v. and i.d.
What do the limiting d.f. of sums of independent r.v.s look like? We start with some simple examples:
- If $E\left|X_{1}\right|<\infty$, then $\bar{X} \rightarrow d \mu$, whose c.f is $e^{i t \mu}$.
- If $E\left|X_{1}\right|<\infty$, then $\sqrt{n}(\bar{X}-\mu) / \sigma \rightarrow d N(0,1)$, whose è.f is $e^{-t^{2} / 2}$
- If $X_{n k}$ are i.i.d. $\operatorname{Bin}(n, p=\lambda / n)$, then $\sum X_{n k} \rightarrow_{d} \operatorname{Poisson}(\lambda)$, whose c.f. is $e^{\lambda\left(e^{i t}-1\right)}$.
- If $X_{k}$ are i.i.d. Cauchy $(0,1)$, then $\bar{X} \rightarrow_{d} X_{1}$, whose c.f. $e^{-|t|}$.
Note that the c.f.s of the limiting distributions are all of the form $e^{\eta(t)}$. In fact, all the above limiting distributions are i.d., this is no accident. See the next theorem.
THEOREM 12.7.1 Let $\sum X_{n k}$ be independent r.v.s satisfying the following infinitesimal condition:
$$
\max {1 \leq k \leq n} P\left(\left|X{n k}\right|>\epsilon\right) \rightarrow 0, \quad \text { as } n \rightarrow \infty
$$
Then,
$$
\left{\text { all limiting d.f.s of } \sum X_{n k}\right}={\text { all i.d. d.f.s }}
$$
高等概率论代写
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Levy formula
- 一世(X)定义在R−0. 很容易看出
一世(X)=C1+∫−∞X1+和2和2dG(和), 如果 X<0, C2−∫X∞1+和2和2dG(和), 如果 X>0,
对于任何常数C1和C2. （验证积分是明确定义的！）
此外，很容易看出一世(X)不减少(−∞,0)和(0,∞), 分别满足
$$
\lim {x \rightarrow-\infty} L(x)=C {1}, \quad \lim {x \rightarrow \infty} L(x)=C {2} 。
$$ - 注意，对于每一个有限d>0， 我们有
∫0<|X|<dX2d一世(X)=∫0<|X|<d(1+X2)dG(X)≤(1+d2)∫0<|X|<ddG(X)<∞ - 鉴于（5.4），以下是等价的：
∫0<|X|<dX2d一世(X)<∞,⟺∫|X|>0(X2∧1)d一世(X)<∞,⟺∫|X|>0X21+X2d一世(X)<∞ - 一世(X)是有限的X≠0. 但在X=0，它们可能没有明确定义。即，作为X>0要么X0，我们可能有|一世(X)|→∞和/或|一世′(X)|=∞（如果一世′存在）。
另一方面，很容易看出，对于每一个有限ε>0， 我们有
一世((−ε,ε)ķ)−∫|X|>εd一世(X)−∫|X|>C1+X2X2dG(X)≤(1+ε−2)∫|X|>CdG(X)<∞ - 一世(X)常被称为“Levy 度量”，是 Levy 过程研究中的一个非常重要的概念。
我们在下一个定理中总结了所有内容。
定理 12.5.1（Levy 公式）函数ψ(吨)是一个 idcf 当且仅当它承认以下（唯一）表示
\psi(t)=\exp \left{it \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{|x|>0}\left(e^{ itx}-1-\frac{itx}{1+x^{2}}\right) d L(x)\right}\psi(t)=\exp \left{it \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{|x|>0}\left(e^{ itx}-1-\frac{itx}{1+x^{2}}\right) d L(x)\right}
在哪里C是一个实常数，σ2是一个非负常数，函数一世在区间上不减少(−∞,0)和(0,∞)，并且满足
∫0<|X|<dX2d一世(X)<∞, 对于每一个有限 d>0.
备注 12.5.1 另一种征费公式采用以下形式：
\begin{对齐} \psi(t) &=\exp \left{it \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{|x|>0} \left(e^{itx}-1-itx I{|x|<1}\right) d L(x)\right} \ &=\exp \left{it \gamma-\frac{1}{2 } \sigma^{2} t^{2}+\int_{0<|x|<1}\left(e^{itx}-1-itx\right) d L(x)+\int_{|x | \geq 1}\left(e^{i t x}-1\right) d L(x)\right} 。\end{对齐}\begin{对齐} \psi(t) &=\exp \left{it \gamma-\frac{1}{2} \sigma^{2} t^{2}+\int_{|x|>0} \left(e^{itx}-1-itx I{|x|<1}\right) d L(x)\right} \ &=\exp \left{it \gamma-\frac{1}{2 } \sigma^{2} t^{2}+\int_{0<|x|<1}\left(e^{itx}-1-itx\right) d L(x)+\int_{|x | \geq 1}\left(e^{i t x}-1\right) d L(x)\right} 。\end{对齐}
这对应于 Levy 过程的分解，可以写成布朗运动、小跳跃分量（鞅）和复合泊松过程的总和。
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Kolmogorov formula
在 rv 的特殊情况下X有有限的第二时刻和X2， 我们知道ψ(吨)是二次可微的。在这种情况下，我们有以下更简单的表示。
定理 12.6.1 (Komogorov 公式) 一个函数ψ(吨)是具有有限方差的 idcf 当且仅当它承认以下（唯一）表示
\psi(t)=\exp \left{it \gamma+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itx}-1-itx\right) \frac{1}{x^{ 2}} d K(x)\right}\psi(t)=\exp \left{it \gamma+\int_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itx}-1-itx\right) \frac{1}{x^{ 2}} d K(x)\right}
在哪里C是一个实常数，函数到是有界非减函数。
统计代写|高等概率论作业代写Advanced Probability Theory代考|Relationship between the sum of independent r.v. and i.d.
独立 rv 总和的极限 df 是什么样的？我们从一些简单的例子开始：
- 如果和|X1|<∞， 然后X¯→dμ, 其 cf 是和一世吨μ.
- 如果和|X1|<∞， 然后n(X¯−μ)/σ→dñ(0,1)，其 è.f 是和−吨2/2
- 如果Xn到是独立同居是(n,p=λ/n)， 然后∑Xn到→d鱼(λ), 其 cf 是和λ(和一世吨−1).
- 如果X到是 iid 柯西吗(0,1)， 然后X¯→dX1，其cf和−|吨|.
请注意，限制分布的 cfs 都是形式和这(吨). 其实上面所有的限制分布都是id，这绝非偶然。参见下一个定理。
定理 12.7.1 让∑Xn到是满足以下无穷小条件的独立 rvs：
最大限度1≤到≤n磷(|Xn到|>ε)→0, 作为 n→∞
然后，
\left{\text { 所有限制 dfs } \sum X_{n k}\right}={\text { all id dfs }}
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
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多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。