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- (Generalized) Linear Models 广义线性模型
- Statistical Machine Learning 统计机器学习
- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|The Black-Scholes Model
In Black and Scholes [1973], the authors introduced their famous model for the price of a stock, together with a partial differential equation for the value of a European option. To do so, they assumed the following “ideal conditions” on the market:
- The short-term interest rate, also called risk-free rate, is known and constant until the maturity of the option.
- The log-returns of the stock follows a Brownian motion with drift.
- The option is European, i.e., it can only be exercised at maturity.
- There are no transaction costs, nor penalties for short selling.
- It is possible to buy or borrow any fraction of the security.
To make things simpler, we assume that the market is liquid and frictionless, that trading can be done in continuous time, and that the risk-free rate is constant during the life of the option. The latter hypothesis will be weakened in Chapter $3 .$
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Stock Exchange Data
What do we do when there are dividends or stock splits? In each case, there is a predictable but abnormal jump in the prices. In order to make historical data comparable, it is necessary to take these jumps into account.
For example, in the case of Apple, there were two $2: 1$ stock splits (June $21^{s t}, 2000$, and February $\left.28^{t h}, 2005\right)$, while the last dividend was reported on November $21^{s t}, 1995 .$
In many textbooks on Financial Engineering, e.g., Hull [2006] and Wilmott $[2006]$, it is suggested to replace the stock price $S_{i}$ at the ex-dividend period $i$ by $S_{i}+D_{i}$, where $D_{i}$ is the dividend. In fact, it is often more convenient to do just the opposite ${ }^{1}$, by subtracting the dividend from the pre-dividend price, i.e., the adjusted price for period $i-1$ is $S_{i-1}-D_{i}=S_{i-1} f_{i}$, with $f_{i}=$ $1-D_{i} / S_{i-1}$. In fact, all pre-dividend values $S_{j}, j<i$, are then multiplied by the same factor $f_{i}$. For splits, one proceeds in a similar way. For example, in the case of a 2:1 stock split, all pre-split prices are multiplied by 0.5. The returns are then calculated from these adjusted closing prices. This is in accordance to the standards of the Center for Research in Security Prices (CRSP). The same method is applied to the adjusted prices available on YAHOO!FINANCE website.
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Continuous Time Models
Let $S(t)$ be the (adjusted) value of an asset at time $t$. Before defining the Black-Scholes model, one needs to define what is a Brownian motion.
Definition 1.2.1 A stochastic process $W$ is a Brownian motion ${ }^{2}$ if it is a
continuous Gaussian process starting at 0 , with zero expectation and covariance function
$$
\operatorname{Cov}{W(s), W(t)}=\min (s, t), s, t \geq 0 .
$$
In particular, if $0=t_{0} \leq t_{1} \leq \cdots \leq t_{n}$, then the increments $W\left(t_{i}\right)-$ $W\left(t_{i-1}\right)$ are independent, have a Gaussian distribution with mean 0 and variance $t_{i}-t_{i-1}, i \in{1, \ldots, n}$.
Definition 1.2.2 (Black-Scholes Model) In the Black-Scholes model, one assumes that the value $S$ of the underlying asset is modeled by a geometric Brownian motion, i.e.,
$$
S(t)=s e^{\left(\mu-\frac{\alpha^{2}}{2}\right) t+\sigma W(t)}, \quad t \geq 0,
$$
where $W$ is a Brownian motion.
Note that $S$ is often defined as the solution to the following stochastic differential equation:
$$
d S(t)=\mu S(t) d t+\sigma S(t) d W(t), S(0)=s .
$$
Remark 1.2.1 The Black-Scholes model depends on two unknown parameters: $\mu$ and $\sigma$. Therefore they must be estimated. In practice, data are collected at regular time intervals of given length $h$. For example, observations can be collected every 5 seconds, daily, weekly, monthly, etc.
It is also important to characterize the parameters. For example, is $\mu$ an expectation? If so, it is the expectation of which variable? One can ask the same question for the parameter $\sigma$.
In what follows, we will see that $\mu$ and $\sigma$ can be interpreted in terms of the log-returns
$$
X_{i}=X_{i}(h)=\ln {S(i h)}-\ln [S{(i-1) h}], \quad i \in{1, \ldots, n} .
$$
First, we need to find the joint law of these returns. In addition to being important for the estimation of the unknown parameters, the distribution of the returns is needed in order to find expressions for option prices or when using Monte Carlo methods for pricing complex options, measuring risk or performance, etc.
金融工程代写
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|The Black-Scholes Model
在 Black 和 Scholes [1973] 中，作者介绍了他们著名的股票价格模型，以及欧式期权价值的偏微分方程。为此，他们假设了市场上的以下“理想条件”：
- 短期利率，也称为无风险利率，在期权到期之前是已知的并且是恒定的。
- 股票的对数收益遵循带有漂移的布朗运动。
- 期权是欧式的，即只能在到期时行使。
- 没有交易成本，也没有卖空的处罚。
- 可以购买或借入任何部分的证券。
为简单起见，我们假设市场是流动的且无摩擦的，交易可以在连续的时间内完成，并且在期权的生命周期内无风险利率是恒定的。后一种假设将在本章中被削弱3.
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Stock Exchange Data
当有股息或股票分割时，我们该怎么办？在每种情况下，价格都会出现可预测但异常的上涨。为了使历史数据具有可比性，有必要考虑这些跳跃。
例如，在 Apple 的案例中，有两个2:1股票分割（六月21s吨,2000, 二月28吨H,2005)，而最后一次股息是在 11 月报告的21s吨,1995.
在许多金融工程教科书中，例如 Hull [2006] 和 Wilmott[2006], 建议更换股价小号一世在除息期一世经过小号一世+D一世， 在哪里D一世是股息。事实上，做相反的事情往往更方便1，通过从股息前的价格中减去股息，即期间的调整价格一世−1是小号一世−1−D一世=小号一世−1F一世， 和F一世= 1−D一世/小号一世−1. 事实上，所有的股息前值小号j,j<一世, 然后乘以相同的因子F一世. 对于拆分，以类似的方式进行。例如，在 2:1 股票分割的情况下，所有分割前的价格都乘以 0.5。然后根据这些调整后的收盘价计算回报。这符合证券价格研究中心 (CRSP) 的标准。同样的方法也适用于雅虎财经网站上的调整价格。
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Continuous Time Models
让小号(吨)是当时资产的（调整后的）价值吨. 在定义 Black-Scholes 模型之前，需要定义什么是布朗运动。
定义 1.2.1 随机过程在是布朗运动2如果它是一个
从 0 开始的连续高斯过程，期望和协方差函数为零
这在(s),在(吨)=分钟(s,吨),s,吨≥0.
特别是，如果0=吨0≤吨1≤⋯≤吨n，那么增量在(吨一世)− 在(吨一世−1)是独立的，具有均值为 0 和方差的高斯分布吨一世−吨一世−1,一世∈1,…,n.
定义 1.2.2（Black-Scholes 模型） 在 Black-Scholes 模型中，假设值小号标的资产由几何布朗运动建模，即
小号(吨)=s和(μ−一种22)吨+σ在(吨),吨≥0,
在哪里在是布朗运动。
注意小号通常定义为以下随机微分方程的解：
d小号(吨)=μ小号(吨)d吨+σ小号(吨)d在(吨),小号(0)=s.
备注 1.2.1 Black-Scholes 模型取决于两个未知参数：μ和σ. 因此必须对它们进行估计。在实践中，以给定长度的固定时间间隔收集数据H. 例如，可以每 5 秒、每天、每周、每月等收集一次观察结果。
表征参数也很重要。例如，是μ期望？如果是，是哪个变量的期望值？可以对参数提出相同的问题σ.
在接下来的内容中，我们将看到μ和σ可以根据日志返回来解释
X一世=X一世(H)=ln小号(一世H)−ln[小号(一世−1)H],一世∈1,…,n.
首先，我们需要找到这些回报的联合规律。除了对未知参数的估计很重要外，还需要收益分布来找到期权价格的表达式，或者在使用蒙特卡罗方法对复杂期权进行定价、衡量风险或绩效等时。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。