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随机偏微分方程通过随机力项和系数来概括偏微分方程。
研究最多的SPDEs之一是随机热方程，它可以正式写为
$$
\partial_{t} u=\Delta u+\xi,
$$
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金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Approximation
For a solution $u$ of (2.51) define
$$
a(0)=\varepsilon^{-1} P_{c} u(0) \quad \text { and } \quad \psi(0)=\varepsilon^{-2} P_{s} u(0)
$$
Now let $a$ be a solution of (2.45) with initial condition $a(0)$ and define $w$ and $\psi$ as in $(2.47)$ and $(2.46)$. Then we can show that $u(t) \approx \varepsilon w(t)$ in the following sense:
Theorem 2.6 (Approximation) Let Assumptions 2.1, 2.3, and 2.4 be true.
For $\delta_{1}, \delta_{2}>0, \tilde{\kappa} \in(0,1]$, and $T_{0}>0$ there is some $\eta>0$ and some constant $C>0$ such that for all solutions $u$ of $(2.51)$ and approximations a and $\psi$ defined by (2.59), (2.47), and (2.46) we have
$$
\begin{aligned}
&\mathbb{P}\left(\sup {t \in\left[0, T{0} e^{-2}\right]}|u(t)-\varepsilon w(t)| \leq C \varepsilon^{2-\tilde{\kappa}}\right) \
&\geq 1-2 \mathbb{P}\left(\left|P_{s} u(0)\right|>\delta_{2} \varepsilon^{2}\right)-2 \mathbb{P}\left(\left|P_{c} u(0)\right|>\delta_{1} \varepsilon\right)-C \varepsilon^{\eta}
\end{aligned}
$$
for all $\varepsilon \in(0,1)$.
The proof will be given in the next section. Let us first comment on the improvements of the result compared to older results.
Remark 2.5 In the proof we need $|a(t)|^{2}$ to be bounded uniformly in $t \in\left[0, T_{0}\right]$ by $\gamma \ln \left(\varepsilon^{-1}\right)$ for some small $\gamma>0(c f$. $(2.76))$. Hence, as we rely on Theorem B. 9 we cannot improve the result to large $\eta>0$ (cf. equation (2.79)). The main obstacle is that we can only bound certain exponential moments of $|a|^{2}$ and not of higher powers. Nevertheless, this is an improvement to the results of [Blö05a], where the probability was just small without any order in $\varepsilon$. In principle it is easy to thoroughly compute all constants, in order to provide a uniform lower bound on $\eta$ independent of other constants like $\delta_{j}, T_{0}$, and $\kappa$. But, as we expect the bound not to be large, for simplicity of presentation we do not focus on that.
Remark 2.6 For special types of nonlinearities we will see from the proof that it is possible to improve the result of Theorem $2.6$ significantly. We need information about the sign of certain multi-linear functionals. The first one is of the type $F_{1}\left(a, a, R_{c}, R_{c}\right)=\left\langle B_{c}\left(\psi, R_{c}\right), R_{c}\right\rangle$, while the second is given by $F_{2}\left(a, a, R_{c}, R_{c}\right)=$ $\left\langle B_{c}\left(a, R_{s}\right), R_{c}\right\rangle+”$ Error”. Recall that $\psi$ depends quadratically on a, and we will see later in the proof that $R_{s}$ is a function of $R_{c}$. Thus a statement of these results is quite technical, but sometimes easy to check for given $B$ and $L$. The improvement is that we can use standard a priori type estimates for (2.70) and (2.71), where all the critical terms responsible for the bad order in the proof of Theorem $2.6$ disappear.
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Proofs
This section gives the postponed proofs for Theorem 2.4, Lemma $2.2$, and Theorem 2.6. We first provide the proof of the attractivity result.
Proof. (of Theorem 2.4) The main ingredients of the proof are a cut-off technique and the linear stability of $L$. Fix some $\rho \in C^{\infty}(\mathbb{R})$ such that $\rho(x)=1$ for $x \leq 1$ and $\rho(x)=0$ for $x \geq 2$. Define for some small $\kappa>0$
$$
A^{(\rho)}(u)=\rho\left(|u| \varepsilon^{-1+\kappa}\right) \cdot A u \quad \text { and } \quad B^{(\rho)}(u)=\rho\left(|u| \varepsilon^{-1+\kappa}\right) \cdot B(u) \text {. }
$$
Moreover, define
$$
u^{(\rho)}(0)=\left{\begin{array}{c}
u(0): \text { for }|u(0)| \leq \delta \varepsilon \
0: \text { otherwise }
\end{array}\right.
$$
Let $u^{(\rho)}$ be the solution of $(2.51)$ with $A^{(\rho)}$ and $B^{(\rho)}$ instead of $A$ and $B$ and initial condition $u^{(\rho)}(0)$. Thus,
$$
\begin{aligned}
u^{(\rho)}(t)=& \mathrm{e}^{t L} u^{(\rho)}(0)+\varepsilon \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{(t-\tau) L} u^{(\rho)}(\tau) d \beta(\tau) \
&+\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{(t-\tau) L}\left\varepsilon^{2} A^{(\rho)}\left(u^{(\rho)}\right)+B^{(\rho)}\left(u^{(\rho)}\right)\right d \tau .
\end{aligned}
$$
The existence of a unique solution $u^{(\rho)}$ is standard (cf. [DPZ92]), as we have global Lipschitz nonlinearities.
Define furthermore the stopping time
$$
\tau_{\rho}=\left{\begin{array}{cc}
\inf \left{t>0:\left|u^{(\rho)}(t)\right|>\varepsilon^{1-\kappa}\right} & : \text { for }|u(0)| \leq \delta \varepsilon \
0 & : \text { otherwise. }
\end{array}\right.
$$
Obviously, $u(t)=u^{(\rho)}(t)$ for $0 \leq t \leq \tau_{\rho}$.
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Setting for Additive Noise
In this section, we follow partly the presentation in [BH05], which reviews results of [Blö03] and [BH04], which in turn are based on [BMPSO1]. The setting is exactly the one sketched in Section 1.2. We focus on an SPDE of the type (1.2) with mild
solutions given by (1.19). The additive noise $\varepsilon^{2} \xi$ in the equation is for instance motivated by the presence of thermal fluctuations in the medium. Therefore the strength $\varepsilon^{2}$ of the noise is supposed to be very small. We usually assume that the noise $\xi=\partial_{t} W$ is some generalised Gaussian process, which is given by the derivative of some $Q$-Wiener process. We comment on that in detail later after Assumption $2.8$.
In Section 2.5.1 we summarise the precise mathematical assumptions for (1.2). The main results for the approximation via amplitude equations are given in Section 2.5.3. This setting is also used in Section $3.1$ to approximate long-time behaviour in terms of invariant measures.
随机偏微分方程代写
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Approximation
寻求解决方案在(2.51) 的定义
一种(0)=e−1磷C在(0) 和 ψ(0)=e−2磷s在(0)
现在让一种是具有初始条件的 (2.45) 的解一种(0)并定义在和ψ如在(2.47)和(2.46). 然后我们可以证明在(吨)≈e在(吨)在以下意义上：
定理 2.6（近似） 让假设 2.1、2.3 和 2.4 为真。
为了d1,d2>0,ķ~∈(0,1]， 和吨0>0有一些这>0和一些常数C>0这样对于所有解决方案在的(2.51)和近似值 a 和ψ由 (2.59)、(2.47) 和 (2.46) 定义，我们有
磷(支持吨∈[0,吨0和−2]|在(吨)−e在(吨)|≤Ce2−ķ~) ≥1−2磷(|磷s在(0)|>d2e2)−2磷(|磷C在(0)|>d1e)−Ce这
对全部e∈(0,1).
下一节将给出证明。让我们首先评论与旧结果相比结果的改进。
备注 2.5 在我们需要的证明中|一种(吨)|2被一致地限定在吨∈[0,吨0]经过Cln(e−1)对于一些小C>0(CF. (2.76)). 因此，当我们依赖定理 B. 9 时，我们无法将结果提高到大这>0（参见方程（2.79））。主要障碍是我们只能限制某些指数矩|一种|2而不是更高的权力。然而，这是对 [Blö05a] 结果的改进，其中概率很小，没有任何顺序e. 原则上，很容易彻底计算所有常数，以便在这独立于其他常数，如dj,吨0， 和ķ. 但是，正如我们预计界限不会很大，为了演示的简单性，我们不关注这一点。
备注 2.6 对于特殊类型的非线性我们将从证明中看到可以改进定理的结果2.6显著地。我们需要有关某些多线性泛函符号的信息。第一个是类型F1(一种,一种,RC,RC)=⟨乙C(ψ,RC),RC⟩，而第二个由F2(一种,一种,RC,RC)= ⟨乙C(一种,Rs),RC⟩+”错误”。回想起那个ψ二次依赖于 a，我们将在后面的证明中看到Rs是一个函数RC. 因此，这些结果的陈述是相当技术性的，但有时很容易检查给定的乙和大号. 改进之处在于我们可以对 (2.70) 和 (2.71) 使用标准的先验类型估计，其中所有关键项负责定理证明中的坏顺序2.6消失。
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Proofs
本节给出了定理 2.4 的延期证明，引理2.2, 和定理 2.6。我们首先提供吸引力结果的证明。
证明。（定理 2.4）证明的主要成分是截止技术和线性稳定性大号. 修复一些ρ∈C∞(R)这样ρ(X)=1为了X≤1和ρ(X)=0为了X≥2. 定义一些小的ķ>0
一种(ρ)(在)=ρ(|在|e−1+ķ)⋅一种在 和 乙(ρ)(在)=ρ(|在|e−1+ķ)⋅乙(在).
此外，定义
$$
u^{(\rho)}(0)=\left{在(0): 为了 |在(0)|≤de 0: 除此以外 \对。
大号和吨$在(ρ)$b和吨H和s这l在吨一世这n这F$(2.51)$在一世吨H$一种(ρ)$一种nd$乙(ρ)$一世ns吨和一种d这F$一种$一种nd$乙$一种nd一世n一世吨一世一种lC这nd一世吨一世这n$在(ρ)(0)$.吨H在s,
\begin{aligned}
u^{(\rho)}(t)=& \mathrm{e}^{t L} u^{(\rho)}(0)+\varepsilon \int_{0}^{t } \mathrm{e}^{(t-\tau) L} u^{(\rho)}(\tau) d \beta(\tau) \
&+\int_{0}^{t} \mathrm{ e}^{(t-\tau) L}\left \varepsilon^{2} A^{(\rho)}\left(u^{(\rho)}\right)+B^{(\rho) }\left(u^{(\rho)}\right)\right d \tau 。
\end{对齐}
吨H和和X一世s吨和nC和这F一种在n一世q在和s这l在吨一世这n$在(ρ)$一世ss吨一种nd一种rd(CF.[D磷从92]),一种s在和H一种在和Gl这b一种l大号一世psCH一世吨和n这nl一世n和一种r一世吨一世和s.D和F一世n和F在r吨H和r米这r和吨H和s吨这pp一世nG吨一世米和
\tau_{\rho}=\左{\begin{array}{cc} \inf \left{t>0:\left|u^{(\rho)}(t)\right|>\varepsilon^{1-\kappa}\right} & : \文本 { }|u(0)| \leq \delta \varepsilon \ 0 & : \text { 否则。} \结束{数组}\begin{array}{cc} \inf \left{t>0:\left|u^{(\rho)}(t)\right|>\varepsilon^{1-\kappa}\right} & : \文本 { }|u(0)| \leq \delta \varepsilon \ 0 & : \text { 否则。} \结束{数组}\对。
$$
显然，在(吨)=在(ρ)(吨)为了0≤吨≤τρ.
金融代写|随机偏微分方程代写Stochastic partial differential equations代考|Setting for Additive Noise
在本节中，我们部分遵循 [BH05] 中的介绍，该介绍回顾了 [Blö03] 和 [BH04] 的结果，而这些结果又基于 [BMPSO1]。该设置正是第 1.2 节中概述的设置。我们专注于类型 (1.2) 的 SPDE
(1.19) 给出的解。附加噪声e2X例如，在等式中是由介质中存在的热波动引起的。因此实力e2的噪音应该很小。我们通常假设噪声X=∂吨在是一些广义的高斯过程，由一些的导数给出问-维纳过程。我们稍后会在假设之后对此进行详细评论2.8.
在 2.5.1 节中，我们总结了 (1.2) 的精确数学假设。通过幅度方程进行近似的主要结果在第 2.5.3 节中给出。此设置也用于部分3.1用不变的度量来近似长期行为。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。