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加法组合学是数学中组合学的一个领域。加法组合学的一个主要研究领域是反问题：鉴于和集A+B的大小很小，我们能对{displaystyle A}A和{displaystyle B}B的结构说些什么？在整数的情况下，经典的弗莱曼定理在多维算术级数方面为这个问题提供了部分答案。
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数学代写|加性组合代写additive combinatorics代考|The Hales-Jewett Theorem
The aim of this course is to study additive problems in number theory. Broadly, given a sufficiently large set of integers $A$ (or more generally a subset of some abelian group) we are interested in understanding additive patterns that appear in $A$. An important example is whether $A$ contains non-trivial arithmetic progressions of some given length $k$. One reason for considering arithmetic progressions is that they are quite indestructible structures: they are preserved under translations and dilations of $A$, and they cannot be excluded for trivial congruence reasons. For example the pattern $a, b$ and $a+b$ all being in the set seems quite close the arithmetic progression case $a, b,(a+b) / 2$, but the former case can never occur in any subset of the odd integers (and such subsets can be very large). Another class of questions we can ask is whether all numbers can be written as a sum of $s$ elements from a given set $A$. For example, all numbers are sums of four squares, nine cubes etc. Waring’s problem and the Goldbach conjectures are two classical examples. In the same spirit, given a set $A$ of $N$ integers we may ask for information about the sumset $A+A:={a+b: a, b \in A}$. If there are not too many coincidences, then we may expect $|A+A| \gg N^2$. But when $A$ is an AP note that $|A+A| \leq 2|A|-1$. One of our goals for the class will be Freiman’s theorem that if the sumset is small then $A$ looks like a “generalized arithmetic progression.”
The subject may be said to begin with a beautiful result of van der Waerden (1927).
van der Waerden’s Theorem. Let $k$ and $r$ be given. There exists a number $N=N(k, r)$ such that if the integers in $[1, N]$ are colored using $r$ colors, then there is a non-trivial monochromatic $k$ term arithmetic progression.
van der Waerden’s proof was by an ingenious elementary induction argument on $k$ and $r$. The proof does not give any good bound on how large $N(k, r)$ needs to be. A more general result was subsequently found by Hales and Jewett (1963), with a nice refinement of Shelah (1988), but again the bounds for the van der Waerden numbers are quite poor.
The Hales-Jewett Theorem. Let $k$ and $r$ be given. There exists a number $N=N(k, r)$ such that if the points in $[1, k]^N$ are colored using $r$ colors then there is a monochromatic “combinatorial line”. Here a combinatorial line is a collection of $k$ points of the following type: certain of the coordinates are fixed, and a certain non-empty set of coordinates are designated as “wildcards” taking all the values from 1 to $k$.
A picturesque way of describing the Hales-Jewett theorem is that a “tic-tac-toe” game of getting $k$ in a row, played by $r$ players, always has a result in sufficiently high dimensions. Since there is obviously no disadvantage to going first, the first player wins; but no constructive strategy solving the game is known. One can recover van der Waerden’s theorem by thinking of $[1, k]^N$ as giving the base $k$ digits (shifted by 1) of numbers in $\left[0, k^N-1\right]$
Erdős and Turan proposed a stronger form of the van der Waerden, partly in the hope that the solution to the stronger problem would lead to a better version of van der Waerden’s theorem.
数学代写|加性组合代写additive combinatorics代考|ADDITIVE COMBINATORICS: WINTER 2007
In other words, $N(\delta, 3) \leq \exp (\exp (C / \delta))$ for some positive constant $C$. This stronger result does in fact give a good bound on the van der Waerden numbers for $k=3$. We know now thanks to Bourgain that $|A| \gg N(\log \log N / \log N)^{1 / 2}$ suffices. Thus the double exponential bound can be replaced by a single exponential.
Let $r_3(N)$ denote the size of the largest subset of $[1, N]$ having no non-trivial three term APs. Then as mentioned above, $r_3(N) \ll N \sqrt{\log \log N / \log N}$. What is the true nature of $r_3(N)$ ? If we pick a random set $A$ in $[1, N]$ we may expect that it has about $|A|^3 / N$ three term APs. This suggests that $r_3(N)$ is perhaps of size $N^{1 / 3}$. However, in 1946 Behrend found an ingenious construction that does much much better.
Behrend’s Theorem. There exists a set $A \subset[1, N]$ with $|A| \gg B \exp (-c \sqrt{\log N})$ containing no non-trivial three term arithmetic progressions. In other words $r_3(N) \gg$ $N \exp (-c \sqrt{\log N})$
Roth’s proof is based on Fourier analysis. It falls naturally into two parts: either the set A looks random in which case we may easily count the number of three term progressions, or the set has some structure which can be exploited to find a subset with increased density. The crucial point is that the idea of randomness here can be made precise in terms of the size of the Fourier coefficients of the set. This argument is quite hard to generalize to four term progressions (or longer), and was only extended recently with the spectacular work of Gowers.
Returning to the Erdős-Turán conjecture, the next big breakthrough was made by Szemerédi who in 1969 established the case $k=4$, and in 1975 dealt with the general case $k \geq 5$. His proof was a tour-de-force of extremely ingenious and difficult combinatorics. One of his ingredients was van der Waerden’s theorem, and so this did not lead to a good bound there.
Szemerédi’s Theorem. Given $k$ and $\delta>0$, there exists $N=N(k, \delta)$ such that any set $A \subset[1, N]$ with $|A| \geq \delta N$ contains a non-trivial $k$ term arithmetic progression.
An entirely different approach was opened by the work of Furstenberg (1977) who used ergodic theoretic methods to obtain a new proof of Szemerédi’s theorem. The ergodic theoretic approach also did not lead to any good bounds, but was useful in proving other results previously inaccessible. For example, it led to a multi-dimensional version of Szemerédi’s theorem, also a density version of the Hales-Jewett theorem (due to Katznelson and Ornstein), and also allowed for the common difference of the APs to have special shapes (e.g. squares).
In 1998-2001 Gowers made a major breakthrough by extending Roth’s harmonic analysis techniques to prove Szemerédi’s theorem. This approach finally gave good bounds for the van der Waerden numbers.
加性组合代写
数学代写|加性组合代写additive combinatorics代考|The Hales-Jewett Theorem
本课程的目的是研究数论中的加法问题。广义上，给定足够大的整数集 $A$ (或更一般地，某些阿贝尔群的 子集) 我们有兴趣了解出现在 $A$. 一个重要的例子是是否 $A$ 包含一些给定长度的非平凡算术级数 $k$. 考虑算 术级数的原因之一是它们是坚不可摧的结构：它们在 $A$ ，并且不能因为微不足道的同余原因将它们排除在 外。例如图案 $a, b$ 和 $a+b$ 所有都在集合中似平非常接近等差级数的情况 $a, b,(a+b) / 2$ ，但前一种情况 永远不会出现在奇数的任何子集中 (并且此类子集可能非常大)。我们可以问的另一类问题是是否所有数 字都可以写成 $s$ 来自给定集合的元素 $A$. 例如，所有数字都是四平方、九立方等的和。华林问题和哥德巴赫 猜想是两个经典例子。本着同样的精神，给定一个集合 $A$ 的 $N$ 整数我们可能会询问有关总和集的信息 $A+A:=a+b: a, b \in A$. 如果没有太多的巧合，那么我们可以期待 $|A+A| \gg N^2$. 但当 $A$ 是 $\mathrm{AP}$ 注意到 $|A+A| \leq 2|A|-1$. 我们课程的目标之一是弗莱曼定理，即如果总和很小，那么 $A$ 看起来像“广 义算术级数”。
这个主题可以说是从 van der Waerden (1927) 的一个美丽结果开始的。
范德瓦尔登定理。让 $k$ 和 $r$ 被给予。存在一个数 $N=N(k, r)$ 这样如果整数在 $[1, N]$ 使用看色 $r$ 颜色，那么 有一个非平凡的单色 $k$ 术语等差级数。
van der Waerden 的证明是通过巧妙的初等归纳论证得出的 $k$ 和 $r$. 证明并没有很好地说明有多大 $N(k, r)$ 需要是。Hales 和 Jewett (1963) 随后发现了一个更一般的结果，对 Shelah (1988) 进行了很好的改进，但 van der Waerden 数的界限同样很差。
Hales-Jewett 定理。让 $k$ 和 $r$ 被给予。存在一个数 $N=N(k, r)$ 这样如果点在 $[1, k]^N$ 使用着色 $r$ 颜色则有 一条单色的”组合线”。这里的组合线是 $k$ 以下类型的点: 某些坐标是固定的，并且某些非空坐标集被指定为 “通配符”，取值从 1 到 $k$.
描述 Hales-Jewett 定理的一种生动的方式是”井字游戏” $k$ 连续播放 $r$ 玩家，总是有一个足够高的维度的结 果。由于先手显然没有劣势，所以先手获胜；但没有解决游戏的建设性策略是已知的。人们可以通过思考 来恢复范德瓦尔登定理 $[1, k]^N$ 作为给基地 $k$ 中数字的位数（移位 1) $\left[0, k^N-1\right]$
Erdôs 和 Turan 提出了一种更强形式的范德瓦尔登定理，部分原因是布望解决更强大的问题会导致范德瓦 尔登定理的更好版本。
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换句话说， $N(\delta, 3) \leq \exp (\exp (C / \delta))$ 对于一些正常数 $C$. 这个更强的结果实际上确实很好地限制了 van der Waerden 数 $k=3$. 我们现在知道多亏了Bourgain $|A| \gg N(\log \log N / \log N)^{1 / 2}$ 足够了。 因此，双指数界限可以用单指数界限代替。
让 $r_3(N)$ 表示最大子集的大小 $[1, N]$ 没有非平凡的三项 AP。然后就像上面说的，
$r_3(N) \ll N \sqrt{\log \log N / \log N}$. 什么是真正的本质 $r_3(N)$ ? 如果我们选择一个随机集合 $A$ 在 $[1, N]$ 我们可能期望它有大约 $|A|^3 / N$ 三学期 $\mathrm{AP}$ 。这表明 $r_3(N)$ 也许是大小 $N^{1 / 3}$. 然而，在 1946 年， Behrend 发现了一种巧妙的结构，效果要好得多。
贝伦德定理。存在一个集合 $A \subset[1, N]$ 和 $|A| \gg B \exp (-c \sqrt{\log N})$ 不包含非平凡的三项算术级数。 换句话说 $r_3(N) \gg N \exp (-c \sqrt{\log N})$
Roth 的证明基于傅里叶分析。它自然分为两部分：要么集合 $\mathrm{A}$ 看起来是随机的，在这种情况下我们可以 很容易地计算出三项级数的数量，要么集合具有某种结构，可以利用它来找到密度增加的子集。关键是这 里的随机性概念可以根据集合的傅立叶系数的大小来精确化。这个论点很难推广到四项级数 (或更长)， 并且最近才随着 Gowers 的出色工作而得到扩展。
回到 Erdős-Turán 猜想，下一个重大突破是由 Szemerédi 在 1969 年建立的 $k=4$, 并于1975年处理一般 案件 $k \geq 5$. 他的证明是极其巧妙和困难的组合学的杰作。他的成分之一是范德瓦尔登定理，因此这并没 有导致那里的良好界限。
Szemerédi 的定理。鉴于 $k$ 和 $\delta>0$ ，那里存在 $N=N(k, \delta)$ 这样任何集合 $A \subset[1, N]$ 和 $|A| \geq \delta N$ 包 含一个不平凡的 $k$ 术语等差级数。
Furstenberg (1977) 的工作开创了一种完全不同的方法，他使用遍历理论方法获得 Szemerédi 定理的新 证明。遍历理论方法也没有得出任何好的界限，但有助于证明以前无法获得的其他结果。例如，它导致了 Szemerédi 定理的多维版本，也是 Hales-Jewett 定理的密度版本（由于 Katznelson 和 Ornstein)，并 且还允许 AP 的公差具有特殊形状 (例如正方形) ).
1998-2001 年，Gowers 通过扩展 Roth 的调和分析技术来证明 Szemerédi 定理，取得了重大突破。这种 方法最终为 van der Waerden 数提供了良好的界限。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。