数学代写|加性组合代写additive combinatorics代考|COMP760
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加法组合学是数学中组合学的一个领域。加法组合学的一个主要研究领域是反问题：鉴于和集A+B的大小很小，我们能对{displaystyle A}A和{displaystyle B}B的结构说些什么？在整数的情况下，经典的弗莱曼定理在多维算术级数方面为这个问题提供了部分答案。
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数学代写|加性组合代写additive combinatorics代考|Topological Multiple Recurrence
Topological Multiple Recurrence. Let $X$ be a compact metric space, and $T$ be a continuous map. For any integer $k \geq 1$ there exists a point $x \in X$ and a sequence $n_{\ell} \rightarrow \infty$ with $T^{j n_{\ell}} x \rightarrow x$ for each $1 \leq j \leq k$.
This theorem is analogous to van der Waerden’s theorem, and indeed implies it. To see this, let $\Lambda={1, \ldots, r}$ represent $r$ colors, and consider $\Omega=\Lambda^Z$. Thus $\Omega$ is the space of all $r$ colorings of the integers, and by $x \in \Omega$ we understand a particular $r$ coloring of the integers. We make $\Omega$ into a compact metric space (check using sequential compactness), by taking as the metric $d(x, y)=0$ if $x=y$ and $d(x, y)=2^{-\ell}$ where $\ell$ is the least magnitude for which either $x(\ell) \neq y(\ell)$ or $x(-\ell) \neq y(-\ell)$. We define the shift map $T$ by $T x(n)=x(n+1)$. Now suppose we are given a coloring $\xi$ of the integers. Take $X$ to be the closure of $T^n \xi$ where $n$ ranges over all integers. By definition this is a closed invariant compact metric space, and so by the Topological Multiple Recurrence Theorem there is a $x \in X$ and some $n \in \mathbb{Z}$ with $x(0)=x(n)=x(2 n)=\ldots=x(k n)$. But from the definition of the space $X$ we may find an $m \in \mathbb{Z}$ such that $T^m \xi$ and $x$ agree on the interval $[-k n, k n]$. Then it follows that $\xi(m)=\xi(m+n)=\ldots=\xi(m+k n)$ producing a $k+1$ term AP.
The above argument gives an infinitary version of the van der Waerden theorem where we color all the integers. But from it we may deduce the finite version. Suppose not, and there are $r$ colorings of $[-N, N]$ with no monochromatic $k$-APs for each natural number $N$. Extend each of these colorings arbitrarily to $\mathbb{Z}$, obtaining an element in $\Omega$. By compactness we may find a limit point in $\Omega$ of these elements. That limit point defines a coloring of $\mathbb{Z}$ containing no monochromatic $k$-APs, and this is a contradiction.
The ergodic theoretic analog of Szemerédi’s theorem is Furstenberg’s multiple recurrence theorem for measure preserving transformations, and this implies Szemerédi by an argument similar to the one above.
Furstenberg’s Theorem. Let $X$ be a probability measure space and let $T$ be a measure preserving transformation. If $V$ is a set of positive measure, then there exists a natural number $n$ such that $V \cap T^{-n} V \cap T^{-2 n} V \cap \ldots \cap T^{-k n} V$ has positive measure.
数学代写|加性组合代写additive combinatorics代考|The Hales-Jewett Theorem
We begin with a warm-up result, which although unrelated may help set the mood.
Schur’s Theorem. Given any positive number $r$, if $N \geq N(r)$ and the integers in $[1, N]$ are colored using $r$ colors then there is a monochromatic solution to $x+y=z$.
First we need a special case of Ramsey’s theorem.
Lemma. Suppose that the edges of the complete graph $K_N$ are colored using $r$ colors. If $N \geq N(r)$ then there is a monochromatic triangle.
Proof. We will use induction on $r$. It is very well known that if $r=2$ and $N \geq 6$ then there is a monochromatic triangle. Suppose we know the result for $r-1$ colorings, and we need $N \geq N(r-1)$ for that result. Pick a vertex. There are $N-1$ edges coming out of it. So for some color there are $\geq\lceil(N-1) / r\rceil$ edges starting from this vertex having the same color. Now the complete graph on the other vertices of these edges must be colored using only $r-1$ colors. Thus if $N \geq r N(r-1)-r+2$ we are done.
Proof of Schur’s Theorem. Consider the complete graph on $N$ vertices labeled 1 through $N$. Color the edge joining $a$ to $b$ using the color of $|a-b|$. By our lemma, if $N$ is large then there is a monochromatic triangle. Suppose its vertices are $a<b<c$ then $(c-a)=(c-b)+(b-a)$ is a solution proving Schur’s theorem.
Let $k$ and $r$ be given natural numbers. Consider the cube $[1, k]^N$, and color each point in it using $r$ colors. The Hales-Jewett theorem says that if $N$ is sufficiently large then there will be a monochromatic line having $k$ points. Here a (combinatorial) line means the following: Let $\mathrm{x}=\left(x_1, \ldots, x_N\right)$ be a point, and let $A$ be a non-empty subset of $[1, N]$. By $\mathbf{x} \oplus j A$ (where $1 \leq j \leq k$ ) we denote the point $\mathbf{y}(j$ ) whose coordinates are given by $y_i(j)=x_i$ if $i \notin A$ and $y_i(j)=j$ if $i \in A$. The line $\mathbf{x} \oplus A$ consists of the points $\mathbf{x} \oplus j A$ for $1 \leq j \leq k$. In other words, $A$ describes a set of coordinates whose entries are wildcards taking all the values from 1 to $k$.
As a special case consider $k=3$ and $r=2$ which corresponds (essentially) to a game of tic-tac-toe. The Hales-Jewett theorem guarantees that in high dimension a game of tic-tac-toe never ends in a draw. Since the first person has a free move, and can steal any winning strategy that the second person devises, it follows that the first player should win such games.
We will now give two proofs of the Hales-Jewett theorem; the second, due to Shelah, being a small but very important modification of the first. The proofs both proceed by induction on $k$ and $r$. Let $H J(k, r)$ denote the least $N$ for which the theorem holds; we wish to show that this is finite, and also derive some bounds for it. Note that if $k=1$ there is nothing to prove and we may take $H J(1, r)=1$. Consider next the case that $k=2$. Take $N=r$ and note that two of the $r+1$ points $(1,1, \ldots, 1),(1,1, \ldots, 1,2),(1, \ldots, 2,2)$, $\ldots,(1,2,2, \ldots, 2),(2,2, \ldots, 2)$ must have the same color. Thus $H J(2, r) \leq r$. Exercise: show that $H J(2, r)=r$.
加性组合代写
数学代写|加性组合代写additive combinatorics代考|Topological Multiple Recurrence
拓扑多重递归。让 $X$ 是一个紧凑的度量空间，并且 $T$ 是一个连续的映射。对于任何整数 $k \geq 1$ 存在一点 $x \in X$ 和一个序列 $n_{\ell} \rightarrow \infty$ 和 $T^{j n_{\ell}} x \rightarrow x$ 每个 $1 \leq j \leq k$.
这个定理类似于范德瓦尔登定理，并且确实暗示了它。为了看到这一点，让 $\Lambda=1, \ldots, r$ 代表 $r$ 颜色，并 考虑 $\Omega=\Lambda^Z$. 因此 $\Omega$ 是所有的空间 $r$ 整数的着色，并通过 $x \in \Omega$ 我们了解一个特定的 $r$ 整数的着色。我们 做 $\Omega$ 进入一个紧凑的度量空间 (使用顺序紧凑性检查)，通过作为度量 $d(x, y)=0$ 如果 $x=y$ 和 $d(x, y)=2^{-\ell}$ 在哪里 $\ell$ 是其中任 的最小幅度 $x(\ell) \neq y(\ell)$ 或者 $x(-\ell) \neq y(-\ell)$. 我们定义移位图 $T$ 经 过 $T x(n)=x(n+1)$. 现在假设我们得到了一种颜色 $\xi$ 的整数。拿 $X$ 关闭 $T^n \xi$ 在哪里 $n$ 范围遍及所有整 数。根据定义，这是一个封闭不变的紧度量空间，因此根据拓扑多重递归定理，有 $x \in X$ 还有一些 $n \in \mathbb{Z}$ 和 $x(0)=x(n)=x(2 n)=\ldots=x(k n)$. 但是从空间的定义 $X$ 我们可能会找到一个 $m \in \mathbb{Z}$ 这 样 $T^m \xi$ 和 $x$ 同意间隔 $[-k n, k n]$. 然后就是 $\xi(m)=\xi(m+n)=\ldots=\xi(m+k n)$ 生产一个 $k+1$ 术 语 $\mathrm{AP}$ 。
上面的论点给出了范德瓦尔登定理的无限版本，我们在其中为所有整数着色。但我们可以从中推导出有限 版本。假设不是，并且有 $r$ 着色的 $[-N, N]$ 没有单色 $k$-每个自然数的AP $N$. 将这些着色中的每一种任意扩 展到 $\mathbb{Z}$ ，获取一个元素 $\Omega$. 通过紧凑性，我们可以找到一个极限点 $\Omega$ 这些元素。该限制点定义了着色 $\mathbb{Z}$ 不含 单色 $k$-APs，这是矛盾的。
Szemerédi 定理的遍历理论类比是 Furstenberg 的保测变换的多重递归定理，这通过与上述类似的论证 暗示了 Szemerédi。
Furstenberg 定理。让 $X$ 是一个概率测度空间，让 $T$ 是一种保量变换。如果 $V$ 是一组正测度，则存在一个 自然数 $n$ 这样 $V \cap T^{-n} V \cap T^{-2 n} V \cap \ldots \cap T^{-k n} V$ 有积极的措施。
数学代写|加性组合代写additive combinatorics代考|The Hales-Jewett Theorem
我们从热身结果开始，虽然无关但可能有助于设定情绪。
舒尔定理。给定任何正数 $r$ ，如果 $N \geq N(r)$ 和整数 $[1, N]$ 使用着色 $r$ colors 然后有一个单色的解决方案 $x+y=z$.
首先，我们需要 Ramsey 定理的一个特例。
引理。假设完整图的边 $K_N$ 使用着色 $r$ 颜色。如果 $N \geq N(r)$ 然后有一个单色三角形。
证明。我们将使用归纳法 $r$. 众所周知，如果 $r=2$ 和 $N \geq 6$ 然后有一个单色三角形。假设我们知道结果 $r-1$ 看色，我们需要 $N \geq N(r-1)$ 为了那个结果。选择一个顶点。有 $N-1$ 从它出来的边缘。所以 对于一些颜色有 $\geq\lceil(N-1) / r\rceil$ 从此顶点开始的具有相同颜色的边。现在这些边的其他顶点上的完整图 必须仅使用 $r-1$ 颜色。因此，如果 $N \geq r N(r-1)-r+2$ 我们完了。
舒尔定理的证明。考虑上的完整图 $N$ 标记为 1 到 $N$. 给边缘连接上色 $a$ 至 $b$ 使用的颜色 $|a-b|$. 根据我们的 引理，如果 $N$ 大则有单色三角形。假设它的顶点是 $a<b<c$ 然后 $(c-a)=(c-b)+(b-a)$ 是证明 Schur 定理的解。
让 $k$ 和 $r$ 被赋予自然数。考虑立方体 $[1, k]^N$ ，并使用其中的每个点着色 $r$ 颜色。Hales-Jewett 定理说如果 $N$ 足够大然后会有一条单色线有 $k$ 点。这里的 (组合) 线意味着以下内容：让 $\mathrm{x}=\left(x_1, \ldots, x_N\right.$ ) 是一个 点，让 $A$ 是的非空子集 $[1, N]$. 经过 $\mathbf{x} \oplus j A$ (在哪里 $1 \leq j \leq k$ ) 我们表示点 $\mathbf{y}(j)$ 其坐标由 $y_i(j)=x_i$ 如果 $i \notin A$ 和 $y_i(j)=j$ 如果 $i \in A$. 线 $\mathbf{x} \oplus A$ 由点组成 $\mathbf{x} \oplus j A$ 为了1 $\leq j \leq k$. 换句话说， $A$ 描述一组 坐标，其条目是通配符，取值从 1 到 $k$.
作为特例考虑 $k=3$ 和 $r=2$ 这 (本质上) 对应于井字游戏。Hales-Jewett 定理保证在高维中，井字游戏 永远不会以平局结束。由于第一个人可以自由移动，并且可以沒取第二个人设计的任何获胜策略，因此第 一个人应该赢得这样的比寋。
我们现在将给出 Hales-Jewett 定理的两个证明；第二个，由于 Shelah，是第一个的小但非常重要的修 改。证明都是通过归纳进行的 $k$ 和 $r$. 让 $H J(k, r)$ 表示最少 $N$ 定理成立；我们布望证明这是有限的，并为 它导出一些界限。请注意，如果 $k=1$ 没有什么可以证明的，我们可以采取 $H J(1, r)=1$. 接下来考虑这 样的情况 $k=2$. 拿 $N=r$ 并注意其中的两个 $r+1$ 积分 $(1,1, \ldots, 1),(1,1, \ldots, 1,2),(1, \ldots, 2,2)$ ， $\ldots,(1,2,2, \ldots, 2),(2,2, \ldots, 2)$ 必须具有相同的颜色。因此 $H J(2, r) \leq r$. 练习: 表明 $H J(2, r)=r$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
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