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微积分是数学的一个分支，涉及瞬时变化率的计算（微积分）和无限多的小因素相加以确定一些整体（积分微积分）
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数学代写|微积分代写Calculus代写|Power rule for negative integer exponents
The power rule was proved earlier for positive integer exponents only. We can use it for $\frac{d}{d x} x^6=6 x^5$, but we do not yet know that it works for $\frac{d}{d x} x^{-3}$. Since $x^{-3}=\frac{1}{x^3}$, the quotient rule can help:
$$
\frac{d}{d x} x^{-3}=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x^3}\right)=\frac{x^3 \cdot 0-1 \cdot 3 x^2}{\left(x^3\right)^2}=\frac{-3 x^2}{x^6}=-3 x^{-4}
$$
This still conforms to the pattern $\frac{d}{d x} x^{-3}=-3 x^{-3-1}$. We can turn this calculation into a proof of the power rule for negative integers.
POWER RULE (VERSION 2)
Let $f(x)=x^n$ for a negative integer $n$. Then, $f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$.
For the proof, let $n$ be a negative integer. Then $-n$ is a positive integer (if $n=-3$, then $-n=3$ ), and the power rule can be applied to $x^{-n}$. Then,
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d x} x^n &=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x^{-n}}\right)=\frac{x^{-n} \cdot 0-1 \cdot-n x^{-n-1}}{\left(x^{-n}\right)^2} \
&=\frac{n x^{-n-1}}{x^{-2 n}}=n x^{-n-1-(-2 n)}=n x^{n-1} .
\end{aligned}
$$
Example 13 Find $f^{\prime \prime}(x)$ for $f(x)=\frac{1}{4 x}$.
Solution We could use the quotient rule to find the derivative, but we can also use the power rule if we rewrite the function using a negative exponent:
$$
\begin{aligned}
f(x) &=\frac{1}{4} x^{-1} \
f^{\prime}(x) &=\frac{1}{4}\left(-1 \cdot x^{-2}\right)=-\frac{1}{4} x^{-2}=-\frac{1}{4 x^2}
\end{aligned}
$$
The last step, expressing the derivative in terms of a fraction instead of a negative exponent, is not necessary but can be helpful for interpreting the result. On the other hand, thinking of $f^{\prime}(x)=-\frac{1}{4} x^{-2}$ is helpful for taking the second derivative using the power rule:
$$
f^{\prime \prime}(x)=-\frac{1}{4}\left(-2 x^{-3}\right)=\frac{1}{2} x^{-3}=\frac{1}{2 x^3} .
$$
Notice that as we take derivatives, the exponent in the denominator is getting larger, not smaller. A polynomial’s derivatives eventually reach zero, but this function’s derivatives never reach zero.
数学代写|微积分代写Calculus代写|Equations of tangent lines revisited
The procedure we used in section $1.8$ to find the equation of the tangent line to the curve $y=f(x)$ at $x=a$ (figure 1 ) is summarized in three steps:
(1) Find the slope $f^{\prime}(a)$.
(2) If necessary, calculate the $y$-coordinate $f(a)$ of the point of tangency.
(3) Use the point-slope form of the equation of a line with point $(a, f(a))$ and slope $f^{\prime}(a)$.
Example 1 Find the equation of the tangent line to the curve $y=7 x^3-$ $4 x^2+1$ at $x=1$.
Solution 1 To find the slope, we find the derivative using the derivative rules:
$$
y^{\prime}=21 x^2-8 x .
$$
Next we evaluate the derivative at $x=1$ :
$$
\text { slope }=y^{\prime}(1)=21(1)^2-8(1)=13 .
$$
(2) We have not been given the $y$-coordinate of the point of tangency, so it must be calculated:
$$
y(1)=7(1)^3-4(1)^2+1=4 .
$$
The point of tangency is $(1,4)$.
(3) We finish by using the point-slope equation of the line with point $(1,4)$ and slope $13:$
$$
\begin{aligned}
y-y_1 &=m\left(x-x_1\right) \
y-4 &=13(x-1) \
y-4 &=13 x-13 \
y &=13 x-9
\end{aligned}
$$
The equation of the tangent line is $y=13 x-9$.
Reading Exercise 13 Find the equation of the tangent line to the curve $y=x^2+5$ at $x=3$.
微积分代考
数学代写|微积分代写Calculus代写|Power rule for negative integer exponents
冪规则之前已证明仅适用于正整数指数。我们可以将它用于 $\frac{d}{d x} x^6=6 x^5$ ，但我们还不知道它适用于 $\frac{d}{d x} x^{-3}$. 自从 $x^{-3}=\frac{1}{x^3}$ ，商规则可以帮助:
$$
\frac{d}{d x} x^{-3}=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x^3}\right)=\frac{x^3 \cdot 0-1 \cdot 3 x^2}{\left(x^3\right)^2}=\frac{-3 x^2}{x^6}=-3 x^{-4}
$$
这仍然符合模式 $\frac{d}{d x} x^{-3}=-3 x^{-3-1}$. 我们可以把这个计算变成负整数幕规则的证明。 幂律 (第 2 版)
让 $f(x)=x^n$ 对于负整数 $n$. 然后， $f^{\prime}(x)=n x^{n-1}$.
为了证明，让 $n$ 为负整数。然后 $-n$ 是一个正整数（如果 $n=-3$ ，然后 $-n=3$ )，幂规则可以应用于 $x^{-n}$. 然 后，
$$
\frac{d}{d x} x^n=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x^{-n}}\right)=\frac{x^{-n} \cdot 0-1 \cdot-n x^{-n-1}}{\left(x^{-n}\right)^2} \quad=\frac{n x^{-n-1}}{x^{-2 n}}=n x^{-n-1-(-2 n)}=n x^{n-1} .
$$
示例 13 查找 $f^{\prime \prime}(x)$ 为了 $f(x)=\frac{1}{4 x}$.
解决方案我们可以使用商规则来求导数，但如果我们使用负指数重写函数，我们也可以使用幂规则:
$$
f(x)=\frac{1}{4} x^{-1} f^{\prime}(x) \quad=\frac{1}{4}\left(-1 \cdot x^{-2}\right)=-\frac{1}{4} x^{-2}=-\frac{1}{4 x^2}
$$
最后一步，用分数而不是负指数表示导数，这不是必需的，但有助于解释结果。另一方面，想到 $f^{\prime}(x)=-\frac{1}{4} x^{-2}$ 有助于使用幂规则进行二阶导数：
$$
f^{\prime \prime}(x)=-\frac{1}{4}\left(-2 x^{-3}\right)=\frac{1}{2} x^{-3}=\frac{1}{2 x^3} .
$$
请注意，当我们取导数时，分母中的指数越来越大，而不是越来越小。多项式的导数最终会达到零，但该函数的 导数永远不会达到零。
数学代写|微积分代写Calculus代写|Equations of tangent lines revisited
我们在章节中使用的程序 $1.8$ 求曲线的切线方程 $y=f(x)$ 在 $x=a$ (图1) 概括为三个步骙:
(1) 找到斜率 $f^{\prime}(a)$.
(2) 如有必要，计算 $y$-协调 $f(a)$ 的切点。
(3) 使用带点的直线方程的点斜形式 $(a, f(a))$ 和坡度 $f^{\prime}(a)$.
示例 1 求曲线的切线方程 $y=7 x^3-4 x^2+1$ 在 $x=1$.
解决方案 1 为了求斜率，我们使用导数规则求导数:
$$
y^{\prime}=21 x^2-8 x .
$$
接下来我们评估导数 $x=1$ :
$$
\text { slope }=y^{\prime}(1)=21(1)^2-8(1)=13 .
$$
(2) 我们没有得到 $y$-切点的坐标，因此必须计算:
$$
y(1)=7(1)^3-4(1)^2+1=4
$$
切点是 $(1,4)$.
(3) 我们用带点的直线的点斜率方程来完成 $(1,4)$ 和坡度 13 :
$$
y-y_1=m\left(x-x_1\right) y-4=13(x-1) y-4=13 x-13 y=13 x-9
$$
切线方程为 $y=13 x-9$.
阅读练习 13 求曲线的切线方程 $y=x^2+5$ 在 $x=3$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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