如果你也在 怎样代写微积分Calculus 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。微积分Calculus 最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
微积分Calculus 它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互关联，它们利用了无限序列和无限数列收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。17世纪末，牛顿（Isaac Newton）和莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz）独立开发了无限小数微积分。后来的工作，包括对极限概念的编纂，将这些发展置于更坚实的概念基础上。今天，微积分在科学、工程和社会科学中得到了广泛的应用。
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数学代写|微积分代写Calculus代写|The General Exponential Function $a^x$
Since $a=e^{\ln a}$ for any positive number $a$, we can express $a^x$ as $\left(e^{\ln a}\right)^x=e^{x \ln a}$. We therefore use the function $e^x$ to define the other exponential functions, which allow us to raise any positive number to an irrational exponent.
DEFINITION For any numbers $a>0$ and $x$, the exponential function with base $\boldsymbol{a}$ is
$$
a^x=e^{x \ln a}
$$
When $a=e$, the definition gives $a^x=e^{x \ln a}=e^{x \ln e}=e^{x-1}=e^x$.
Theorem 3 is also valid for $a^x$, the exponential function with base $a$. For example,
$$
\begin{aligned}
a^{x_1} \cdot a^{x_2} & =e^{x_1 \ln a} \cdot e^{x_2 \ln a} & & \text { Definition of } a^x \
& =e^{x_1 \ln a+x_2 \ln a} & & \text { Law 1 } \
& =e^{\left(x_1+x_2\right) \ln a} & & \text { Factor } \ln a \
& =a^{x_1+x_2} . & & \text { Definition of } a^x
\end{aligned}
$$
In particular, $a^n \cdot a^{-1}=a^{n-1}$ for any real number $n$.
数学代写|微积分代写Calculus代写|Proof of the Power Rule (General Version)
The definition of the general exponential function enables us to make sense of raising any positive number to a real power $n$, rational or irrational. That is, we can define the power function $y=x^n$ for any exponent $n$.
DEFINITION For any $x>0$ and for any real number $n$,
$$
x^n=e^{n \ln x} \text {. }
$$
Because the logarithm and exponential functions are inverses of each other, the definition gives
$$
\ln x^n=n \ln x, \quad \text { for all real numbers } n .
$$
That is, the rule for taking the natural logarithm of a power of $x$ holds for all real exponents $n$, not just for rational exponents as previously stated in Theorem 2.
The definition of the power function also enables us to establish the derivative Power Rule for any real power $n$, as stated in Section 3.3.
General Power Rule for Derivatives
For $x>0$ and any real number $n$,
$$
\frac{d}{d x} x^n=n x^{n-1} .
$$
If $x \leq 0$, then the formula holds whenever the derivative, $x^n$, and $x^{n-1}$ all exist.
Proof Differentiating $x^n$ with respect to $x$ gives
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d x} x^n & =\frac{d}{d x} e^{n \ln x} & & \text { Definition of } x^n, x>0 \
& =e^{n \ln x} \cdot \frac{d}{d x}(n \ln x) & & \text { Chain Rule for } e^u, \text { Eq. (2) } \
& =x^n \cdot \frac{n}{x} & & \text { Definition and derivative of } \ln x \
& =n x^{n-1} . & & x^n \cdot x^{-1}=x^{n-1}
\end{aligned}
$$
In short, whenever $x>0$,
$$
\frac{d}{d x} x^n=n x^{n-1}
$$
For $x<0$, if $y=x^n, y^{\prime}$, and $x^{n-1}$ all exist, then
$$
\ln |y|=\ln |x|^n=n \ln |x|
$$
微积分代考
数学代写|微积分代写Calculus代写|The General Exponential Function $a^x$
因为$a=e^{\ln a}$对于任意正数$a$，我们可以将$a^x$表示为$\left(e^{\ln a}\right)^x=e^{x \ln a}$。因此，我们使用$e^x$函数来定义其他指数函数，它允许我们将任何正数提升为无理数指数。
定义对于任意数$a>0$和$x$，以$\boldsymbol{a}$为底的指数函数为
$$
a^x=e^{x \ln a}
$$
当$a=e$时，定义给出$a^x=e^{x \ln a}=e^{x \ln e}=e^{x-1}=e^x$。
定理3也适用于$a^x$，以$a$为底的指数函数。例如，
$$
\begin{aligned}
a^{x_1} \cdot a^{x_2} & =e^{x_1 \ln a} \cdot e^{x_2 \ln a} & & \text { Definition of } a^x \
& =e^{x_1 \ln a+x_2 \ln a} & & \text { Law 1 } \
& =e^{\left(x_1+x_2\right) \ln a} & & \text { Factor } \ln a \
& =a^{x_1+x_2} . & & \text { Definition of } a^x
\end{aligned}
$$
特别地，对于任何实数$n$都是$a^n \cdot a^{-1}=a^{n-1}$。
数学代写|微积分代写Calculus代写|Proof of the Power Rule (General Version)
一般指数函数的定义使我们能够理解任何正数的实数幂$n$，有理数或无理数。也就是说，我们可以定义任意指数$n$的幂函数$y=x^n$。
对于任意$x>0$和任意实数$n$，
$$
x^n=e^{n \ln x} \text {. }
$$
由于对数函数和指数函数互为反函数，定义给出
$$
\ln x^n=n \ln x, \quad \text { for all real numbers } n .
$$
也就是说，对$x$的幂取自然对数的规则适用于所有实数指数$n$，而不仅仅适用于前面定理2中所述的有理数指数。
幂函数的定义也使我们能够建立任何实数幂的导数幂法则 $n$，如第3.3节所述。
导数的一般幂法则
因为 $x>0$ 任意实数 $n$，
$$
\frac{d}{d x} x^n=n x^{n-1} .
$$
如果 $x \leq 0$，那么这个公式成立， $x^n$，和 $x^{n-1}$ 一切都存在。
证明微分 $x^n$ 关于 $x$ 给予
$$
\begin{aligned}
\frac{d}{d x} x^n & =\frac{d}{d x} e^{n \ln x} & & \text { Definition of } x^n, x>0 \
& =e^{n \ln x} \cdot \frac{d}{d x}(n \ln x) & & \text { Chain Rule for } e^u, \text { Eq. (2) } \
& =x^n \cdot \frac{n}{x} & & \text { Definition and derivative of } \ln x \
& =n x^{n-1} . & & x^n \cdot x^{-1}=x^{n-1}
\end{aligned}
$$
简而言之，每当 $x>0$，
$$
\frac{d}{d x} x^n=n x^{n-1}
$$
因为 $x<0$，如果 $y=x^n, y^{\prime}$，和 $x^{n-1}$ 那么一切都存在了
$$
\ln |y|=\ln |x|^n=n \ln |x|
$$
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