数学代写|微积分代写Calculus代写|Volumes Using Cylindrical Shells

如果你也在 怎样代写微积分Calculus 这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。微积分Calculus 最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

微积分Calculus 它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互关联,它们利用了无限序列和无限数列收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。17世纪末,牛顿(Isaac Newton)和莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz)独立开发了无限小数微积分。后来的工作,包括对极限概念的编纂,将这些发展置于更坚实的概念基础上。今天,微积分在科学、工程和社会科学中得到了广泛的应用。

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In Section 6.1 we defined the volume of a solid to be the definite integral $V=\int_a^b A(x) d x$, where $A(x)$ is an integrable cross-sectional area of the solid from $x=a$ to $x=b$. The area $A(x)$ was obtained by slicing through the solid with a plane perpendicular to the $x$-axis. However, this method of slicing is sometimes awkward to apply, as we will illustrate in our first example. To overcome this difficulty, we use the same integral definition for volume, but obtain the area by slicing through the solid in a different way.
Slicing with Cylinders
Suppose we slice through the solid using circular cylinders of increasing radii, like cookie cutters. We slice straight down through the solid so that the axis of each cylinder is parallel to the $y$-axis. The vertical axis of each cylinder is always the same line, but the radii of the cylinders increase with each slice. In this way the solid is sliced up into thin cylindrical shells of constant thickness that grow outward from their common axis, like circular tree rings. Unrolling a cylindrical shell shows that its volume is approximately that of a rectangular slab with area $A(x)$ and thickness $\Delta x$. This slab interpretation allows us to apply the same integral definition for volume as before. The following example provides some insight.

数学代写|微积分代写Calculus代写|the Shell Method

Suppose that the region bounded by the graph of a nonnegative continuous function $y=f(x)$ and the $x$-axis over the finite closed interval $[a, b]$ lies to the right of the vertical line $x=L$ (see Figure 6.19a). We assume $a \geq L$, so the vertical line may touch the region but cannot pass through it. We generate a solid $S$ by rotating this region about the vertical line $L$.

Let $P$ be a partition of the interval $[a, b]$ by the points $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$. As usual, we choose a point $c_k$ in each subinterval $\left[x_{k-1}, x_k\right]$. In Example 1 we chose $c_k$ to be the endpoint $x_k$, but now it will be more convenient to let $c_k$ be the midpoint of the subinterval $\left[x_{k-1}, x_k\right]$. We approximate the region in Figure $6.19 \mathrm{a}$ with rectangles based on this partition of $[a, b]$. A typical approximating rectangle has height $f\left(c_k\right)$ and width $\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$. If this rectangle is rotated about the vertical line $x=L$, then a shell is swept out, as in Figure 6.19b. A formula from geometry tells us that the volume of the shell swept out by the rectangle is
$$
\begin{aligned}
\Delta V_k & =2 \pi \times \text { average shell radius } \times \text { shell height } \times \text { thickness } \
& =2 \pi \cdot\left(c_k-L\right) \cdot f\left(c_k\right) \cdot \Delta x_k . \quad R=x_k-L \text { and } r=x_{k-1}-L
\end{aligned}
$$
We approximate the volume of the solid $S$ by summing the volumes of the shells swept out by the $n$ rectangles:
$$
V \approx \sum_{k=1}^n \Delta V_k .
$$
The limit of this Riemann sum as each $\Delta x_k \rightarrow 0$ and $n \rightarrow \infty$ gives the volume of the solid as a definite integral:
$$
\begin{aligned}
V=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{k-1}^n \Delta V_k & =\int_a^b 2 \pi(\text { shell radius)(shell height) } d x \
& =\int_a^b 2 \pi(x-L) f(x) d x .
\end{aligned}
$$
We refer to the variable of integration, here $x$, as the thickness variable. To emphasize the process of the shell method, we state the general formula in terms of the shell radius and shell height. This will allow for rotations about a horizontal line $L$ as well.

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微积分代考

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在第6.1节中,我们将固体的体积定义为定积分$V=\int_a^b A(x) d x$,其中$A(x)$是固体从$x=a$到$x=b$的可积横截面积。面积$A(x)$是通过垂直于$x$轴的平面切割实体获得的。然而,这种切片方法有时难以应用,我们将在第一个示例中说明这一点。为了克服这个困难,我们对体积使用相同的积分定义,但通过以不同的方式切割固体来获得面积。
用圆柱体切片
假设我们用半径不断增大的圆柱体来切割固体,就像饼干切割器一样。我们直切穿过实体,使每个圆柱体的轴平行于$y$ -轴。每个圆柱体的垂直轴始终是同一条线,但圆柱体的半径随着切片的增加而增加。通过这种方式,固体被切成厚度恒定的薄圆柱形壳,这些壳从它们的共同轴向外生长,就像圆形的树木年轮一样。展开一个圆柱壳,它的体积近似于面积为$A(x)$,厚度为$\Delta x$的矩形板的体积。这种平板解释允许我们像以前一样对体积应用相同的积分定义。下面的示例提供了一些见解。

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假设一个非负连续函数$y=f(x)$与$x$轴在有限闭合区间$[a, b]$上的图形的边界位于垂直线$x=L$的右侧(见图6.19a)。我们假设$a \geq L$,因此垂直线可能会接触到该区域,但不能穿过它。我们通过围绕垂直线$L$旋转这个区域来生成一个实体$S$。

设$P$为区间$[a, b]$除以点$a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$的分区。像往常一样,我们在每个子区间$\left[x_{k-1}, x_k\right]$中选择一个点$c_k$。在示例1中,我们选择$c_k$作为端点$x_k$,但是现在让$c_k$作为子区间$\left[x_{k-1}, x_k\right]$的中点会更方便。我们用基于$[a, b]$的这个分区的矩形来近似图$6.19 \mathrm{a}$中的区域。典型的近似矩形具有高$f\left(c_k\right)$和宽$\Delta x_k=x_k-x_{k-1}$。如果这个矩形绕垂直线$x=L$旋转,则会扫出一个壳,如图6.19b所示。一个几何公式告诉我们,矩形扫出的壳的体积是
$$
\begin{aligned}
\Delta V_k & =2 \pi \times \text { average shell radius } \times \text { shell height } \times \text { thickness } \
& =2 \pi \cdot\left(c_k-L\right) \cdot f\left(c_k\right) \cdot \Delta x_k . \quad R=x_k-L \text { and } r=x_{k-1}-L
\end{aligned}
$$
我们通过将$n$矩形扫出的壳的体积相加来近似计算固体$S$的体积:
$$
V \approx \sum_{k=1}^n \Delta V_k .
$$
这个黎曼和的极限分别为$\Delta x_k \rightarrow 0$和$n \rightarrow \infty$,给出固体的体积作为定积分:
$$
\begin{aligned}
V=\lim {n \rightarrow \infty} \sum{k-1}^n \Delta V_k & =\int_a^b 2 \pi(\text { shell radius)(shell height) } d x \
& =\int_a^b 2 \pi(x-L) f(x) d x .
\end{aligned}
$$
我们把积分变量,$x$,作为厚度变量。为了强调壳法的过程,我们给出了壳半径和壳高的一般公式。这将允许围绕水平线$L$旋转。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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