数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|MATH4071
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凸优化是数学优化的一个子领域,研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题都有多项时间算法,而数学优化一般来说是NP困难的。
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数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Function value interpolation and inequalities
Let $v$ be a point in $D$. The value of $f$ at $v$,
$$
f(v)=\sum_{i=1}^n x_i f_i(v),
$$
is a linear function of $x$. Therefore interpolation conditions
$$
f\left(v_j\right)=z_j, \quad j=1, \ldots, m
$$
which require the function $f$ to have the values $z_j \in \mathbf{R}$ at specified points $v_j \in D$, form a set of linear equalities in $x$. More generally, inequalities on the function value at a given point, as in $l \leq f(v) \leq u$, are linear inequalities on the variable $x$. There are many other interesting convex constraints on $f$ (hence, $x$ ) that involve the function values at a finite set of points $v_1, \ldots, v_N$. For example, the Lipschitz constraint
$$
\left|f\left(v_j\right)-f\left(v_k\right)\right| \leq L\left|v_j-v_k\right|, \quad j, k=1, \ldots, m,
$$
forms a set of linear inequalities in $x$.
We can also impose inequalities on the function values at an infinite number of points. As an example, consider the nonnegativity constraint
$$
f(u) \geq 0 \text { for all } u \in D .
$$
This is a convex constraint on $x$ (since it is the intersection of an infinite number of halfspaces), but may not lead to a tractable problem except in special cases that exploit the particular structure of the functions. One simple example occurs when the functions are piecewise-linear. In this case, if the function values are nonnegative at the grid points, the function is nonnegative everywhere, so we obtain a simple (finite) set of linear inequalities.
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Derivative constraints
Suppose the basis functions $f_i$ are differentiable at a point $v \in D$. The gradient
$$
\nabla f(v)=\sum_{i=1}^n x_i \nabla f_i(v),
$$
is a linear function of $x$, so interpolation conditions on the derivative of $f$ at $v$ reduce to linear equality constraints on $x$. Requiring that the norm of the gradient at $v$ not exceed a given limit,
$$
|\nabla f(v)|=\left|\sum_{i=1}^n x_i \nabla f_i(v)\right| \leq M,
$$
is a convex constraint on $x$. The same idea extends to higher derivatives. For example, if $f$ is twice differentiable at $v$, the requirement that
$$
l I \preceq \nabla^2 f(v) \preceq u I
$$
is a linear matrix inequality in $x$, hence convex.
We can also impose constraints on the derivatives at an infinite number of points. For example, we can require that $f$ is monotone:
$$
f(u) \geq f(v) \text { for all } u, v \in D, u \succeq v .
$$
This is a convex constraint in $x$, but may not lead to a tractable problem except in special cases. When $f$ is piecewise affine, for example, the monotonicity constraint is equivalent to the condition $\nabla f(v) \succeq 0$ inside each of the simplexes. Since the gradient is a linear function of the grid point values, this leads to a simple (finite) set of linear inequalities.
As another example, we can require that the function be convex, i.e., satisfy
$$
f((u+v) / 2) \leq(f(u)+f(v)) / 2 \text { for all } u, v \in D
$$
(which is enough to ensure convexity when $f$ is continuous). This is a convex constraint, which has a tractable representation in some cases. One obvious example is when $f$ is quadratic, in which case the convexity constraint reduces to the requirement that the quadratic part of $f$ be nonnegative, which is an LMI. Another example in which a convexity constraint leads to a tractable problem is described in more detail in $\S 6.5 .5$.
凸优化代写
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Function value interpolation and inequalities
让 $v$ 成为一个点 $D$. 的价值 $f$ 在 $v$ ,
$$
f(v)=\sum_{i=1}^n x_i f_i(v)
$$
是线性函数 $x$. 因此揷值条件
$$
f\left(v_j\right)=z_j, \quad j=1, \ldots, m
$$
这需要功能 $f$ 拥有价值观 $z_j \in \mathbf{R}$ 在指定点 $v_j \in D$ ,形成一组线性等式 $x$. 更一般地,函数值在给定点的不 等式,如 $l \leq f(v) \leq u$ ,是变量的线性不等式 $x$. 还有许多其他有趣的凸约束 $f$ (因此, $x$ ) 涉及有限点集 的函数值 $v_1, \ldots, v_N$. 例如,Lipschitz 约束
$$
\left|f\left(v_j\right)-f\left(v_k\right)\right| \leq L\left|v_j-v_k\right|, \quad j, k=1, \ldots, m
$$
形成一组线性不等式 $x$.
我们还可以在无限多的点上对函数值施加不等式。例如,考虑非负性约束
$$
f(u) \geq 0 \text { for all } u \in D
$$
这是一个凸约束 $x$ (因为它是无限数量的半空间的交集),但除非在利用函数的特定结构的特殊情况下, 否则可能不会导致易于处理的问题。一个简单的例子发生在函数是分段线性的时候。在这种情况下,如果 函数值在网格点处为非负,则函数在任何地方都为非负,因此我们得到一组简单(有限) 的线性不等式。
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Derivative constraints
假设基函数 $f_i$ 在一点可微 $v \in D$. 梯度
$$
\nabla f(v)=\sum_{i=1}^n x_i \nabla f_i(v)
$$
是线性函数 $x$, 所以对导数的揷值条件 $f$ 在 $v$ 减少到线性等式约束 $x$. 要求梯度的范数在 $v$ 不超过给定的限 制,
$$
|\nabla f(v)|=\left|\sum_{i=1}^n x_i \nabla f_i(v)\right| \leq M,
$$
是一个凸约束 $x$. 同样的想法延伸到高阶导数。例如,如果 $f$ 是两次可微的 $v$, 要求
$$
l I \preceq \nabla^2 f(v) \preceq u I
$$
是一个线性矩阵不等式 $x$ ,因此是凸的。
我们还可以在无限多的点上对导数施加约束。例如,我们可以要求 $f$ 是单调的:
$$
f(u) \geq f(v) \text { for all } u, v \in D, u \succeq v .
$$
这是一个凸约束 $x$ ,但除非在特殊情况下,否则可能不会导致易于处理的问题。什么时候 $f$ 是分段仿射的, 例如,单调性约束等价于条件 $\nabla f(v) \succeq 0$ 在每个单纯形中。由于梯度是网格点值的线性函数,这会导致 一组简单的 (有限的) 线性不等式。
再举一个例子,我们可以要求函数是凸的,即满足
$$
f((u+v) / 2) \leq(f(u)+f(v)) / 2 \text { for all } u, v \in D
$$
(这足以确保凸性 $f$ 是连续的)。这是一个凸约束,在某些情况下具有易于处理的表示。一个明显的例子 是当 $f$ 是二次的,在这种情况下,凸性约束减少到二次部分的要求 $f$ 是非负的,这是一个 LMI。凸性约束 导致易处理问题的另一个例子在中有更详细的描述。§6.5.5.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。
有限元方法代写
有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。