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凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题都有多项时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。
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数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Theorems of alternatives
We can derive theorems of alternatives for systems of generalized inequalities and equalities
$$
f_i(x) \preceq_{K_i} 0, \quad i=1, \ldots, m, \quad h_i(x)=0, \quad i=1, \ldots, p,
$$
where $K_i \subseteq \mathbf{R}^{k_i}$ are proper cones. We will also consider systems with strict inequalities,
$$
f_i(x) \prec_{K_i} 0, \quad i=1, \ldots, m, \quad h_i(x)=0, \quad i=1, \ldots, p .
$$
We assume that $\mathcal{D}=\bigcap_{i=0}^m \operatorname{dom} f_i \cap \bigcap_{i=1}^p \operatorname{dom} h_i$ is nonempty.
Weak alternatives
We associate with the systems (5.96) and (5.97) the dual function
$$
g(\lambda, \nu)=\inf {x \in \mathcal{D}}\left(\sum{i=1}^m \lambda_i^T f_i(x)+\sum_{i=1}^p \nu_i h_i(x)\right)
$$
where $\lambda=\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_m\right)$ with $\lambda_i \in \mathbf{R}^{k_i}$ and $\nu \in \mathbf{R}^p$. In analogy with (5.76), we claim that
$$
\lambda_i \succeq_{K_i^{\star}} 0, \quad i=1, \ldots, m, \quad g(\lambda, \nu)>0
$$
is a weak alternative to the system (5.96). To verify this, suppose there exists an $x$ satisfying $(5.96)$ and $(\lambda, \nu)$ satisfying (5.98). Then we have a contradiction:
$$
0<g(\lambda, \nu) \leq \lambda_1^T f_1(x)+\cdots+\lambda_m^T f_m(x)+\nu_1 h_1(x)+\cdots+\nu_p h_p(x) \leq 0
$$
Therefore at least one of the two systems (5.96) and (5.98) must be infeasible, i.e., the two systems are weak alternatives.
In a similar way, we can prove that (5.97) and the system
$$
\lambda_i \succeq_{K_i^*} 0, \quad i=1, \ldots, m, \quad \lambda \neq 0, \quad g(\lambda, \nu) \geq 0
$$
form a pair of weak alternatives.
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Basic definitions
5.1 A simple example. Consider the optimization problem
$$
\begin{array}{ll}
\operatorname{minimize} & x^2+1 \
\text { subject to } & (x-2)(x-4) \leq 0,
\end{array}
$$
with variable $x \in \mathbf{R}$.
(a) Analysis of primal problem. Give the feasible set, the optimal value, and the optimal solution.
(b) Lagrangian and dual function. Plot the objective $x^2+1$ versus $x$. On the same plot, show the feasible set, optimal point and value, and plot the Lagrangian $L(x, \lambda)$ versus $x$ for a few positive values of $\lambda$. Verify the lower bound property $\left(p^{\star} \geq \inf _x L(x, \lambda)\right.$ for $\lambda \geq 0$ ). Derive and sketch the Lagrange dual function $g$.
(c) Lagrange dual problem. State the dual problem, and verify that it is a concave maximization problem. Find the dual optimal value and dual optimal solution $\lambda^{\star}$. Does strong duality hold?
(d) Sensitivity analysis. Let $p^{\star}(u)$ denote the optimal value of the problem
$$
\begin{array}{ll}
\text { minimize } & x^2+1 \
\text { subject to } & (x-2)(x-4) \leq u,
\end{array}
$$
as a function of the parameter $u$. Plot $p^{\star}(u)$. Verify that $d p^{\star}(0) / d u=-\lambda^{\star}$.
5.2 Weak duality for unbounded and infeasible problems. The weak duality inequality, $d^{\star} \leq p^{\star}$, clearly holds when $d^{\star}=-\infty$ or $p^{\star}=\infty$. Show that it holds in the other two cases as well: If $p^{\star}=-\infty$, then we must have $d^{\star}=-\infty$, and also, if $d^{\star}=\infty$, then we must have $p^{\star}=\infty$.
5.3 Problems with one inequality constraint. Express the dual problem of
$$
\begin{array}{ll}
\text { minimize } & c^T x \
\text { subject to } & f(x) \leq 0,
\end{array}
$$
with $c \neq 0$, in terms of the conjugate $f^*$. Explain why the problem you give is convex. We do not assume $f$ is convex.
凸优化代写
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Theorems of alternatives
我们可以推导出广义不等式和等式系统的替代定理
$$
f_i(x) \preceq K_i 0, \quad i=1, \ldots, m, \quad h_i(x)=0, \quad i=1, \ldots, p,
$$
在哪里 $K_i \subseteq \mathbf{R}^{k_i}$ 是适当的雉体。我们还将考虑具有严格不等式的系统，
$$
f_i(x) \prec_{K_i} 0, \quad i=1, \ldots, m, \quad h_i(x)=0, \quad i=1, \ldots, p .
$$
我们假设 $\mathcal{D}=\bigcap_{i=0}^m \operatorname{dom} f_i \cap \bigcap_{i=1}^p \operatorname{dom} h_i$ 是非空的。
弱选择
我们将系统 (5.96) 和 (5.97) 的双重功能联系起来
$$
g(\lambda, \nu)=\inf x \in \mathcal{D}\left(\sum i=1^m \lambda_i^T f_i(x)+\sum_{i=1}^p \nu_i h_i(x)\right)
$$
在哪里 $\lambda=\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_m\right)$ 和 $\lambda_i \in \mathbf{R}^{k_i}$ 和 $\nu \in \mathbf{R}^p$.与 (5.76) 类比，我们声称
$$
\lambda_i \succeq_{K_i^{\star}} 0, \quad i=1, \ldots, m, \quad g(\lambda, \nu)>0
$$
是系统 (5.96) 的弱替代品。为了验证这一点，假设存在一个 $x$ 令人满意 $(5.96)$ 和 $(\lambda, \nu)$ 令人满意 (5.98)。那么我们就有了矛盾:
$$
0<g(\lambda, \nu) \leq \lambda_1^T f_1(x)+\cdots+\lambda_m^T f_m(x)+\nu_1 h_1(x)+\cdots+\nu_p h_p(x) \leq 0
$$
因此，(5.96) 和 (5.98) 这两个系统中至少有一个一定是不可行的，即这两个系统是弱备选。 类似地，我们可以证明 (5.97) 和系统
$$
\lambda_i \succeq_{K_i^*} 0, \quad i=1, \ldots, m, \quad \lambda \neq 0, \quad g(\lambda, \nu) \geq 0
$$
形成一对弱选择。
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5.1 一个简单的例子。考虑优化问题
$$
\text { minimize } x^2+1 \text { subject to }(x-2)(x-4) \leq 0
$$
有变量 $x \in \mathbf{R}$.
(a) 原问题分析。给出可行集、最优值和最优解。
(b) 拉格朗日函数和双重函数。绘制目标 $x^2+1$ 相对 $x$. 在同一图上，显示可行集、最优点和值，并绘制 拉格朗日函数 $L(x, \lambda)$ 相对 $x$ 对于一些正值 $\lambda$. 验证下界属性 $\left(p^{\star} \geq \inf _x L(x, \lambda)\right.$ 为了 $\left.\lambda \geq 0\right)$. 推导和描 绘拉格朗日对偶函数 $g$.
(c) 拉格朗日对偶问题。陈述对偶问题，并验证它是一个凹最大化问题。找到对偶最优值和对偶最优解 $\lambda^{\star}$ . 强对偶性成立吗?
(d) 敏感性分析。让 $p^{\star}(u)$ 表示问题的最优值
$$
\operatorname{minimize} x^2+1 \text { subject to }(x-2)(x-4) \leq u
$$
作为参数的函数 $u$. 阴谋 $p^{\star}(u)$. 验证 $d p^{\star}(0) / d u=-\lambda^{\star}$.
5.2 无界和不可行问题的弱对偶性。弱对偶不等式， $d^{\star} \leq p^{\star}$ ，显然成立时 $d^{\star}=-\infty$ 或者 $p^{\star}=\infty$. 证 明它在其他两种情况下也成立：如果 $p^{\star}=-\infty$ ，那么我们必须有 $d^{\star}=-\infty$ ，而且，如果 $d^{\star}=\infty$ ， 那么我们必须有 $p^{\star}=\infty$.
5.3 一不等式约束的问题。表达对偶问题
$$
\text { minimize } c^T x \text { subject to } f(x) \leq 0,
$$
和 $c \neq 0$, 就共轭而言 $f^*$. 解释为什么你给出的问题是凸的。我们不假设 $f$ 是凸的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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