金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Estimation Errors
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- Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Estimation Errors
Once the maximum likelihood estimations have been computed, we should concern ourselves with the properties of the estimation errors, i.e., find the
asymptotic behavior of $\sqrt{n}\left(\hat{\mu}{n}-\mu\right)$ and $\sqrt{n}\left(\hat{\sigma}{n}-\sigma\right)$. In general, the limiting distribution will be a multivariate Gaussian distribution (see Appendix A.6.18).
The next proposition follows from the results of Appendix B.5.1. To denote “convergence in law,” we use the symbol $\rightsquigarrow$, as defined in Appendix B.
Proposition 1.4.1 As $n$ tends to $\infty,\left(\begin{array}{c}\sqrt{n}\left(\hat{\mu}{n}-\mu\right) \ \sqrt{n}\left(\hat{\sigma}{n}-\sigma\right)\end{array}\right)$ converges in law to a centered bivariate Gaussian distribution with covariance matrix $V$, denoted
$$
\left(\begin{array}{l}
\sqrt{n}\left(\hat{\mu}{n}-\mu\right) \ \sqrt{n}\left(\hat{\sigma}{n}-\sigma\right)
\end{array}\right) \leadsto N_{2}(0, V),
$$
where $V=\frac{\sigma^{2}}{2}\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{h}+\sigma^{2} & \sigma \ \sigma & 1\end{array}\right)$. A consistent estimator of $V$ is given by
$$
\hat{V}=\frac{\hat{\sigma}{n}^{2}}{2}\left(\begin{array}{cc} \frac{2}{h}+\hat{\sigma}{n}^{2} & \hat{\sigma}{n} \ \hat{\sigma}{n} & 1
\end{array}\right) .
$$
In particular, we obtain that $\sqrt{n}\left(\hat{\mu}{n}-\mu\right) / \sqrt{\hat{V}{11}} \leadsto N(0,1)$ and $\sqrt{n}\left(\hat{\sigma}{n}-\right.$ $\sigma) / \sqrt{\hat{V}{22}} \leftrightarrow N(0,1)$.
The proof is given in Appendix 1.C.2.
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Estimation of Parameters for Apple
For an example of application of the previous results, consider the MATLAB file ApplePrices ${ }^{3}$ containing the adjusted values of Apple stock on Nasdaq (aapl), from January $13^{\text {th }}, 2009$, to January $14^{\text {th }}, 2011$.
The results of the estimation of parameters $\mu$ and $\sigma$ on an annual time scale, are given in Table 1.1. They have been obtained with the MATLAB function EstBS1dExp, using the results in Propositions $1.3 .1$ and 1.4.1. According to our comments on time scale and trading days at the end of Section 1.2.2, we have taken $h=1 / 252$.
Remark 1.4.1 When using a transformation like $\sigma=\exp (\alpha)$ to work with unconstrained parameters, we obtain an estimation $V_{0}$ of the limiting covariance matrix for the estimation error on the parameter $\theta=(\mu, \alpha)$. It follows from the delta method (Theorem B.3.4.1) that the estimation $V$ of the limiting covariance matrix for the estimation error on the parameter $(\mu, \sigma)$ is
$$
\begin{gathered}
\hat{V}=\hat{J} V_{0} \hat{J}, \
\text { where } \hat{J}=\operatorname{diag}\left(1, \hat{\sigma}{n}\right) \text {, i.e., } \hat{J}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & \hat{\sigma}{n}
\end{array}\right) \text {. This is because }(\mu, \sigma)=
\end{gathered}
$$
$H(\mu, \alpha)=\left(\mu, e^{\alpha}\right)$, so the Jacobian matrix of $H$ is $J=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \ 0 & \sigma\end{array}\right)$, which is estimated by $\hat{J}$.
This approach is implemented in the MATLAB function EstBS1dNum. For more details on the transformation of parameters and the corresponding limiting covariance matrix, see Remark B.3.3.
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|European Call Option
Suppose that the price $S$ of the underlying asset is modeled by a geometric Brownian motion (1.1), and that $r$ is the risk-free rate, assumed to be constant on the period $[0, T]$. One also assumes that there is no dividend on that period. It can be shown [Black and Scholes, 1973] that the value at time $t$, of a European call option of strike price $K$ and maturity $T$, depends only on $S(t)=$ $s$ and on the volatility $\sigma$, and is given by
$$
C(t, s)=s \mathcal{N}\left(d_{1}\right)-K e^{-r(T-t)} \mathcal{N}\left(d_{2}\right)
$$
where $\mathcal{N}^{5}$ is the distribution function of a standard Gaussian variable, and
$$
\begin{aligned}
&d_{1}=\frac{\ln (s / K)+r \tau+\sigma^{2} \tau / 2}{\sigma \sqrt{\tau}} \
&d_{2}=d_{1}-\sigma \sqrt{\tau}=\frac{\ln (s / K)+r \tau-\sigma^{2} \tau / 2}{\sigma \sqrt{\tau}}
\end{aligned}
$$
where $\tau=T-t$ is the time to maturity. Note that as $t \rightarrow T, \tau \rightarrow 0$, and one can check that $\lim _{t \rightarrow T} C(t, s)=\max (s-K, 0)$. Furthermore, as expected, $C(t, s) / s \rightarrow 0$, as $s \rightarrow 0$, and $C(t, s) / s \rightarrow 1$, as $s \rightarrow \infty$ Remark 1.5.1 It is remarkable that the value of the option does not depend on the average return $\mu$, only on the volatility $\sigma$. It does not mean however that $\mu$ is not important. For example, if one wants to characterize the behavior (mean, variance, $V a R$, etc.) of the future value at time $t$ of a portfolio containing call options based on asset $S$, one needs to consider $C{t, S(t)}$, which in turn depends on both parameters $\mu$ and $\sigma$.
金融工程代写
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Estimation Errors
一旦计算了最大似然估计，我们应该关注估计误差的性质，即找到
的渐近行为n(μ^n−μ)和n(σ^n−σ). 一般来说，极限分布是多元高斯分布（见附录 A.6.18）。
下一个命题来自附录 B.5.1 的结果。为了表示“法律趋同”，我们使用符号⇝，如附录 B 中所定义。
命题 1.4.1 作为n倾向于∞,(n(μ^n−μ) n(σ^n−σ))收敛到具有协方差矩阵的居中双变量高斯分布在, 表示
(n(μ^n−μ) n(σ^n−σ))⇝ñ2(0,在),
在哪里在=σ22(2H+σ2σ σ1). 一致的估计在是（谁）给的
在^=σ^n22(2H+σ^n2σ^n σ^n1).
特别是，我们得到n(μ^n−μ)/在^11⇝ñ(0,1)和n(σ^n− σ)/在^22↔ñ(0,1).
证明在附录 1.C.2 中给出。
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Estimation of Parameters for Apple
有关先前结果的应用示例，请考虑 MATLAB 文件 ApplePrices3包含从 1 月开始在纳斯达克 (aapl) 的苹果股票调整后的价值13th ,2009, 一月14th ,2011.
参数估计的结果μ和σ每年的时间尺度，如表 1.1 所示。它们是通过 MATLAB 函数 EstBS1dExp 获得的，使用 Propositions 中的结果1.3.1和 1.4.1。根据我们在第 1.2.2 节末尾对时间尺度和交易日的评论，我们采取了H=1/252.
备注 1.4.1 当使用类似的转换时σ=经验(一种)为了使用不受约束的参数，我们获得了一个估计在0参数估计误差的极限协方差矩阵θ=(μ,一种). 从 delta 方法（定理 B.3.4.1）得出，估计在参数估计误差的极限协方差矩阵(μ,σ)是
在^=Ĵ^在0Ĵ^, 在哪里 Ĵ^=诊断(1,σ^n)， IE， Ĵ^=(10 0σ^n). 这是因为 (μ,σ)=
H(μ,一种)=(μ,和一种), 所以雅可比矩阵H是Ĵ=(10 0σ), 估计为Ĵ^.
这种方法在 MATLAB 函数 EstBS1dNum 中实现。有关参数变换和相应的限制协方差矩阵的更多详细信息，请参见备注 B.3.3。
金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|European Call Option
假设价格小号标的资产由几何布朗运动 (1.1) 建模，并且r是无风险利率，假设在该周期内保持不变[0,吨]. 人们还假设该期间没有股息。可以证明 [Black and Scholes, 1973]吨, 执行价格的欧式看涨期权ķ和成熟吨, 仅取决于小号(吨)= s以及波动性σ，并且由下式给出
C(吨,s)=sñ(d1)−ķ和−r(吨−吨)ñ(d2)
在哪里ñ5是标准高斯变量的分布函数，并且
d1=ln(s/ķ)+rτ+σ2τ/2στ d2=d1−στ=ln(s/ķ)+rτ−σ2τ/2στ
在哪里τ=吨−吨是成熟的时间。请注意，作为吨→吨,τ→0，并且可以检查林吨→吨C(吨,s)=最大限度(s−ķ,0). 此外，正如预期的那样，C(吨,s)/s→0， 作为s→0， 和C(吨,s)/s→1， 作为s→∞备注 1.5.1 值得注意的是，期权的价值不取决于平均收益μ, 仅关于波动率σ. 然而，这并不意味着μ并不重要。例如，如果要描述行为（均值、方差、在一种R等）的未来价值在时间吨包含基于资产的看涨期权的投资组合小号, 需要考虑C吨,小号(吨), 这又取决于两个参数μ和σ.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
