表示论代写 - 统计代写答疑辅导

分类：表示论代写

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH7333

Posted on 2022年6月7日2022年6月7日 by statistics-lab

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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。[1][2]实质上，表示通过用矩阵及其代数运算（例如，矩阵加、矩阵乘）来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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Statistical Machine Learning 统计机器学习
Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH7333

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Perturbative Quantization of Gauge Theories

We remain very brief in this subsection. The interested reader is invited to study the references [Res10, Mne17] for a thorough introduction to the perturbative quantization of gauge theories from the mathematical viewpoint, or the short introductory paper [Pol05] (which is devoted exclusively to Chern-Simons theory).
The quantity of interest in this paper is the Chern-Simons partition function $Z_{M}$. Its naive definition would be
$$
Z_{M}=\int_{F_{M}} e^{\frac{t S_{M}}{}}
$$
but attempts at defining an appropriate measure on $F_{M}$ have failed (see [GJ87] for a discussion of measures on field spaces in quantum field theory). In perturbative quantization, one tries to define $Z_{M}$ by extrapolating the behavior of a finitedimensional oscillatory integral $Z=\int_{F} e^{\frac{i}{h} S}$ in the $h \rightarrow 0$ limit. It is well known that if $S$ has non-degenerate critical points, then the integral concentrates in a neighborhood of them, and one can derive a series in powers of $h$ describing the asymptotic behavior. One can mimic the definition of this power series in the infinite-dimensional case if the critical points of $S_{M}$ are non-degenerate. However, the critical points of functionals invariant under a symmetry, such as the ChernSimons functional, are never non-degenerate, so one needs an additional method from physics, called gauge fixing. There are different variants of this method, the most commonly used being the Faddeev-Popov (FP) ghosts [FP67] and the BRST formalism. ${ }^{3}$ The idea is to embed the space of fields $F_{M}$ in the degree 0 part of a graded vector space $\mathcal{F}{M}$, and define a new functional $\mathcal{S}{M}: \mathcal{F}{M} \rightarrow \mathbb{R}$ such that $\mathcal{S}{M}$ has non-degenerate critical points, and $\left.S_{M}\right|{F{M}}=S_{M}$.

Both the FP ghosts and the BRST formalism are subsumed in the BV formalism named after Batalin and Vilkovisky, who introduced it in [BV77, BV81, BV83]. We will briefly discuss the BV formalism and its adaptation to the case with boundary, the BV-BFV formalism, in the next section.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|BV Formalism

In the BV formalism one embeds the space of states $F_{M}$ into an odd symplectic $\mathbb{Z}$ graded vector space $\left(F_{M}, \omega\right)$, where the odd symplectic form $\omega$ is required to have $\mathbb{Z}$-degree – 1. The $\mathbb{Z}$-degree is referred to as ghost number. One needs to find a BV action $\mathcal{S}{M}$ such that $\left.\mathcal{S}{M}\right|{F{M}}=S_{M}$, which satisfies the Classical Master Equation (CME) $(\mathcal{S}, \mathcal{S})=0$, where $(\cdot, \cdot)$ is the odd Poisson bracket associated with $\omega$. Notice that if $\mathcal{S}{M}$ has a Hamiltonian vector field $\mathcal{Q}{M}$, then $\mathcal{Q}_{M}^{2}=0$, from the CME. This leads to the following definition of BV theory [CMR 14 ]:

Definition 3.1 A $B V$ vector space is a quadruple $(\mathcal{F}, \omega, \mathcal{Q}, \mathcal{S})$ where $\mathcal{F}$ is a $\mathbb{Z}$ graded vector space, $\omega$ is a symplectic form of degree $-1$, $\mathcal{}$ field, and $\mathcal{S}$ is a function of degree 0 , such that $\mathcal{Q}^{2}=0$ and
$$
\iota_{\mathcal{Q}} \omega=\delta \mathcal{S}
$$
A $d$-dimensional (linear) $B V$ theory is an association of a $B V$ vector space $\left(\mathcal{F}{M}, \omega{M}, \mathcal{Q}{M}, \mathcal{S}{M}\right)$ to every $d$-dimensional manifold $M$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Effective Action and Residual Fields

In certain cases, it is not possible to find directly a Lagrangian which satisfies the requirement that the action restricted to it has a unique critical point. A good example is the case of abelian BF theory. In $d$ dimensions, the BV space of fields is $\mathcal{F}{M}=\Omega^{\bullet}(M)[1] \oplus \Omega^{\bullet}(M)[d-2]$, and the BV action functional is $$ \mathcal{S}{M}[\mathrm{~A}, \mathrm{~B}]=\int_{M} \mathrm{~B} \wedge \mathrm{d} \mathrm{A} .
$$
The critical points are given by closed forms, and the gauge symmetries are given by shifting A, B by exact forms. Hence if the de Rham cohomology $H^{\bullet}(M)$ is non-

trivial, there are critical points which are inequivalent under gauge transformations, also known as zero modes.

The solution to this problem is to choose a $\mathrm{BV}$ space of residual fields $\mathcal{V}{M}$ and a splitting $F{M}=\mathcal{V}{M} \times \mathcal{Y}$, such that one can find a gauge-fixing Lagrangian $\mathcal{L}{M} \subset \mathcal{Y}$. Elements of $\mathcal{V}{M}$ are known as residual fields, zero modes, infrared fields, or slow fields, whereas the elements of $\mathcal{Y}$ are called fluctuations, fast fields, or ultraviolet fields. The partition function $\psi{M}$ gets replaced by an effective action $\psi_{M}(\mathbf{x})$, which is a function of the residual fields and formally defined via BV pushforward:
$$
\psi_{M}(\mathbf{x})=\int_{\xi \in \mathcal{L}{M} \subset \mathcal{Y}} e^{\frac{1}{\hbar} \mathcal{S}[\mathrm{x}, \xi]} $$ In the case of abelian BF theory one can choose as residual fields representatives of the cohomology: $\mathcal{V}{M}=H^{\bullet}(M)[1] \oplus H^{\bullet}(M)[d-2]$. One way to do this is to pick a Riemannian metric and use the harmonic representatives, a possible choice of gauge-fixing Lagrangian is then given by $\mathrm{d}^{*}$-exact forms. In the finite-dimensional case, the QME for the BV action implies that the effective action is $\Delta \mathcal{V}_{M}$-closed, i.e. closed with respect to the BV Laplacian on residual fields, and changes by a $\Delta$-exact term under a deformation of the gauge-fixing Lagrangian.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Perturbative Quantization of Gauge Theories

在本小节中，我们仍然非常简短。请有兴趣的读者研究参考文献 [Res10, Mne17]，以从数学角度全面介绍规范理论的微扰量化，或简短的介绍性论文 [Pol05]（专门用于 Chern-Simons 理论）。
本文感兴趣的数量是 Chern-Simons 配分函数从米. 它的天真定义是

从米=∫F米和吨小号米
但试图定义一个适当的措施F米失败了（参见 [GJ87] 中关于量子场论中场空间测量的讨论）。在微扰量化中，人们试图定义从米通过外推有限维振荡积分的行为从=∫F和一世H小号在里面H→0限制。众所周知，如果小号有非退化临界点，则积分集中在它们的邻域，可以推导出一系列的幂H描述渐近行为。如果临界点可以在无限维情况下模拟这个幂级数的定义小号米是非退化的。然而，在对称性下不变的泛函的临界点，例如 ChernSimons 泛函，永远不会是非退化的，因此需要一种额外的物理学方法，称为规范固定。这种方法有不同的变体，最常用的是 Faddeev-Popov (FP) ghosts [FP67] 和 BRST 形式。3这个想法是嵌入领域的空间F米在分级向量空间的 0 度部分F米，并定义一个新的泛函小号米:F米→R这样小号米具有非退化临界点，并且小号米|F米=小号米.

FP 幽灵和 BRST 形式主义都包含在以 Batalin 和 Vilkovisky 命名的 BV 形式主义中，他们在 [BV77, BV81, BV83] 中介绍了它。我们将在下一节简要讨论 BV 形式主义及其对有边界情况的适应，即 BV-BFV 形式主义。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|BV Formalism

在 BV 形式主义中，嵌入了状态空间F米成奇辛从分级向量空间(F米,ω)，其中奇辛形式ω必须有从-度 – 1。从-度被称为鬼数。需要找到一个 BV 动作小号米这样小号米|F米=小号米, 满足经典主方程 (CME)(小号,小号)=0，在哪里(⋅,⋅)是与相关的奇数泊松括号ω. 请注意，如果小号米有一个哈密顿向量场问米，然后问米2=0，来自芝商所。这导致 BV 理论 [CMR 14] 的以下定义：

定义 3.1 A乙在向量空间是四元组(F,ω,问,小号)在哪里F是一个从分级向量空间，ω是度数的辛形式−1, 场，和小号是 0 次的函数，这样问2=0和

我问ω=d小号
一个d维（线性）乙在理论是一个关联乙在向量空间(F米,ω米,问米,小号米)对每个d维流形米.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Effective Action and Residual Fields

在某些情况下，不可能直接找到满足限制于它的动作具有唯一临界点的要求的拉格朗日量。阿贝尔BF理论就是一个很好的例子。在d维度，字段的BV空间是F米=Ω∙(米)[1]⊕Ω∙(米)[d−2], BV 作用泛函为

小号米[ 一个, 乙]=∫米乙∧d一个.
临界点由封闭形式给出，规范对称性通过将 A、B 移动精确形式给出。因此，如果 de Rham 上同调H∙(米)是非

微不足道的，在规范变换下存在不等价的临界点，也称为零模式。

这个问题的解决方法是选择一个乙在剩余场空间在米和分裂F米=在米×是, 这样就可以找到一个规范固定的拉格朗日大号米⊂是. 要点在米被称为剩余场、零模式、红外场或慢场，而是称为涨落、快场或紫外场。分区函数ψ米被有效的行动取代ψ米(X)，它是残差场的函数，通过 BV 前推正式定义：

ψ米(X)=∫X∈大号米⊂是和1⁇小号[X,X]在阿贝尔 BF 理论的情况下，可以选择上同调的剩余场代表：在米=H∙(米)[1]⊕H∙(米)[d−2]. 一种方法是选择黎曼度量并使用谐波代表，然后给出规范固定拉格朗日的可能选择d∗- 确切的形式。在有限维情况下，BV 动作的 QME 意味着有效动作是Δ在米-封闭，即关于剩余场上的 BV 拉普拉斯算子封闭，并且变化Δ- 量规固定拉格朗日变形下的精确项。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MAST90017

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MAST90017

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Main Theorem

Let $V$ be a Poisson vertex algebra. By Theorem 3.9, we have an odd element $X \in$ $W_{\mathrm{cl}}(\Pi V)$ such that $[X, X]=0$, which is associated with the PVA structure of $V$ by (3.37). Thus, there is the PVA cohomology complex
$$
\left(W_{\mathrm{cl}}(\Pi V), \operatorname{ad} X\right)
$$
A classical $n$-cochain is an element $Y \in W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$, namely a map
$$
Y: \mathcal{G}(n) \times(\Pi V)^{\otimes n} \longrightarrow(\Pi V)\left[\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right] /\left\langle\partial+\lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n}\right\rangle
$$
satisfying relations (3.25), (3.26), (3.28), (3.29), and the following symmetry property (by definition (3.20)):
$$
Y^{\sigma}=Y, \quad \forall \sigma \in S_{n}
$$

Recall the grading of the superoperad $\mathcal{P}{\mathrm{cl}}(\Pi V)$ from $(3.36): \mathrm{gr}^{\prime} W{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$ is the set of maps $Y$ as in (4.2) such that
$$
Y^{\Gamma}=0 \text { unless }|E(\Gamma)|=r .
$$
Note that if $\Gamma \in \mathcal{G}(n)$ has $|E(\Gamma)| \geq n$, then necessarily $\Gamma$ contains a cycle. Hence, by the cycle relation $(3.25), Y^{\Gamma}=0$. Therefore the top degree in gr $W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$ is $n-1$, i.e.,
$$
\mathrm{gr}^{r} W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)=0 \text { if } r \geq n
$$
Note that, if $\Gamma \in \mathcal{G}{0}(n)$, then $|E(\Gamma)|=n-1$ if and only if $\Gamma$ is connected. By Remark $3.8$, the top degree subspace gr ${ }^{n-1} W{c l}^{n-1}(\Pi V)$ consists of all collections of maps
$$
Y^{\Gamma}:(\Pi V)^{\otimes n} \longrightarrow(\Pi V), \quad \text { for } \Gamma \in \mathcal{G}{0}(n), \quad|E(\Gamma)|=n-1 $$ satisfying (3.25), (3.26), (4.3), and $Y^{\Gamma}\left(\partial\left(v{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)\right)=\partial Y^{\Gamma}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)$. If $\Gamma$ is not connected, then $Y^{\Gamma}=0$.

In addition, as explained in Sect. $2.3$, there is another cohomology complex associated with $V$, viewed as a differential algebra, namely the differential Harrison complex
$$
\left(C_{\partial, \operatorname{Har}}(V), d\right)
$$
where $C_{\partial, \mathrm{Har}}^{n}(V) \subset \operatorname{Hom}_{\mathbb{F}[\partial]}\left(V^{\otimes n}, V\right)$ is defined by Harrison’s conditions (2.11) and $d$ is the Hochschild differential (2.2).
The main result of this paper is the following:

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Lines

We say that a graph $\Gamma \in \mathcal{G}(n)$ is a non-connected line if it has the following form:
where $1 \leq k_{1} \leq \cdots \leq k_{s}$ are such that $k_{1}+\cdots+k_{s}=n$, and the set of indices $\left{i_{b}^{a}\right}$ is a permutation of ${1, \ldots, n}$ such that
$$
i_{1}^{l}=\min \left{i_{1}^{l}, \ldots, i_{k_{l}}^{l}\right} \quad \forall l=1, \ldots, s
$$
If $k_{l}=k_{l+1}$, we also assume that $i_{1}^{l}<i_{1}^{l+1}$. In particular, the connected lines are all of the form
$$
\sigma\left(\Lambda_{n}\right), \quad \sigma \in S_{n} \text { such that } \sigma(1)=1
$$
where $\Lambda_{n}$ is the $n$-line (4.8). Let $\mathcal{L}(n)$ be the set of $n$-graphs that are non-connected lines. Let also $\mathbb{F} G(n)$ be the vector space with basis the set of graphs $\mathcal{G}(n)$.
Definition 4.2 The cycle relations in $F \mathcal{G}(n)$ are the following elements:
(i) all $\Gamma \in \mathcal{G}(n) \backslash \mathcal{G}{0}(n)$ (i.e., graphs containing a cycle); (ii) all linear combinations $\sum{e \in C} \Gamma \backslash e$, where $\Gamma \in \mathcal{G}(n)$ and $C \subset E(\Gamma)$ is an oriented cycle.

Denote by $R(n) \subset \mathbb{F} G(n)$ the subspace spanned by the cycle relations (4.2) and (4.2).

Note that reversing an arrow in a graph $\Gamma \in \mathcal{G}(n)$ gives us, modulo cycle relations, the element $-\Gamma \in \mathbb{G}(n)$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Relation Between the Symmetry Property and Harrison’s Conditions

Recall that every $Y \in W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$ satisfies the symmetry property (4.3).
Lemma 4.9 If $Y \in W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$, then $Y^{\Lambda_{n}}$ satisfies Harrison’s relations (2.11), hence it lies in the differential Harrison cohomology complex:
$$
Y^{\Lambda_{n}} \in C_{\partial, \mathrm{Har}}^{n}(V)
$$
Conversely, given $F \in C_{\partial, \mathrm{Har}}^{n}(V)$, there exists a unique $Y \in \mathrm{gr}^{n-1} W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$, such that
$$
Y^{\Lambda_{n}}=F
$$
Consequently, the linear map
$$
\mathrm{gr}^{n-1} W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V) \stackrel{\sim}{\rightarrow} C_{\partial, \mathrm{Har}}^{n}(V), \quad Y \mapsto Y^{\Lambda_{n}}
$$
is bijective.

Proof First, we prove that, if $Y \in W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$ satisfies the symmetry relations (4.3), then $f=Y^{\Lambda_{n}}$ satisfies Harrison’s conditions (2.11). By Lemma $4.8$ (cf. Remark 4.4), we get
$$
Y^{\Lambda_{n}}=(-1)^{k-1} \sum_{\pi \in \mathcal{M}{n}^{k}} Y^{\pi\left(\Lambda{n}\right)}
$$
Evaluating both sides of this identity on $v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n} \in V^{8 n}$, the left side is simply $Y^{\Lambda_{n}}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)=f\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)$. On the right-hand side, we have
$$
\begin{aligned}
(-1)^{k-1} \sum_{\pi \in \mathcal{M}{n}^{k}} Y^{\pi\left(\Lambda{n}\right)}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)=(-1)^{k-1} \sum_{\pi \in \mathcal{M}{n}^{k}}\left(Y^{\pi^{-1}}\right)^{\pi\left(\Lambda{n}\right)}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right) \
&=(-1)^{k-1} \sum_{\pi \in \mathcal{M}{n}^{k}} \operatorname{sign}(\pi) Y^{\Lambda{n}}\left(v_{\pi(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\pi(n)}\right) \
&=L_{k} f\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right),
\end{aligned}
$$
by the definition $(2.10)$ of $L_{k}$. Hence, $f$ satisfies Harrison’s conditions $(2.11)$ as claimed.

We next turn to the second claim of the lemma. Let $F \in C_{\partial, \mathrm{Har}}^{n}(V)$, i.e., $F: V^{\otimes n} \rightarrow V$ is an $\mathbb{F}[\partial]$-module homomorphism satisfying Harrison’s conditions (2.11). Then the corresponding $Y \in \mathrm{gr}^{n-1} W_{\mathrm{cl}}^{n-1}(\Pi V)$, such that $Y \Lambda_{n}=F$, is defined as follows. For $\Gamma \in R(n)$, or if $\Gamma \in \mathcal{L}(n)$ is not connected, we set
$$
Y^{\Gamma}=0
$$
For $\Gamma \in \mathcal{L}(n)$ connected, there exists a unique $\tau \in S_{n}$ such that $\tau(1)=1$ and $\Gamma=\tau\left(\Lambda_{n}\right)$. We then set
$$
Y^{\Gamma}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)=\operatorname{sign}(\tau) F\left(v_{\tau(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\tau(n)}\right)
$$

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Main Theorem

让在是一个泊松顶点代数。根据定理 3.9，我们有一个奇数元素X∈ 在Cl(圆周率在)这样[X,X]=0, 这与 PVA 结构有关在由（3.37）。因此，存在 PVA 上同调复合体

(在Cl(圆周率在),广告⁡X)
一个经典n-cochain 是一个元素是∈在Cln−1(圆周率在)，即地图

是:G(n)×(圆周率在)⊗n⟶(圆周率在)[λ1,…,λn]/⟨∂+λ1+⋯+λn⟩
满足关系式 (3.25), (3.26), (3.28), (3.29) 和以下对称性（根据定义 (3.20)）：

是σ=是,∀σ∈小号n

回想一下超算子 $\mathcal{P} {\mathrm{cl}}(\Pi V)的分级Fr○米(3.36): \ mathrm {gr} ^ {\ prime} W {\ mathrm {cl}} {n-1} (\ Pi V)一世s吨H和s和吨○F米一个ps是一个s一世n(4.2)s在CH吨H一个吨是Γ=0 除非 |和(Γ)|=r.ñ○吨和吨H一个吨一世F\ Gamma \ in \mathcal {G} (n)H一个s| E (\伽玛) | \geq n,吨H和nn和C和ss一个r一世l是\伽玛C○n吨一个一世ns一个C是Cl和.H和nC和,b是吨H和C是Cl和r和l一个吨一世○n(3.25), Y^{\Gamma}=0.吨H和r和F○r和吨H和吨○pd和Gr和和一世nGrW_\mathrm {cl} {n-1} (\Pi V)一世sn-1,一世.和.,Grr在Cln−1(圆周率在)=0 如果 r≥nñ○吨和吨H一个吨,一世F\ Gamma \ in \mathcal {G} {0} (n),吨H和n|E(\Gamma)|=n-1一世F一个nd○nl是一世F\伽玛一世sC○nn和C吨和d.乙是R和米一个rķ3.8,吨H和吨○pd和Gr和和s在bsp一个C和Gr{ }^{n-1} W{cl}^{n-1}(\Pi V)C○ns一世s吨s○F一个llC○ll和C吨一世○ns○F米一个ps是Γ:(圆周率在)⊗n⟶(圆周率在), 为了 Γ∈G0(n),|和(Γ)|=n−1s一个吨一世sF是一世nG(3.25),(3.26),(4.3),一个ndY^{\Gamma}\left(\partial\left(v{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)\right)=\partial Y^{\Gamma}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right).我F\伽玛一世sn○吨C○nn和C吨和d,吨H和nY^{\Gamma}=0$。

此外，如 Sect 中所述。2.3，还有另一个上同调复数与在，被视为微分代数，即微分哈里森复数

(C∂,头发(在),d)
在哪里C∂,H一个rn(在)⊂他F[∂]⁡(在⊗n,在)由哈里森条件 (2.11) 定义，并且d是 Hochschild 微分 (2.2)。
本文的主要结果如下：

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Lines

我们说一个图Γ∈G(n)
如果它具有以下形式，则为非连接线：1≤ķ1≤⋯≤ķs是这样的ķ1+⋯+ķs=n, 和一组索引\left{i_{b}^{a}\right}\left{i_{b}^{a}\right}是一个排列1,…,n这样

i_{1}^{l}=\min \left{i_{1}^{l}, \ldots, i_{k_{l}}^{l}\right} \quad \forall l=1, \ldots , si_{1}^{l}=\min \left{i_{1}^{l}, \ldots, i_{k_{l}}^{l}\right} \quad \forall l=1, \ldots , s
如果ķl=ķl+1，我们还假设一世1l<一世1l+1. 特别是，连接的线都是形式

σ(Λn),σ∈小号n 这样 σ(1)=1
在哪里Λn是个n-线（4.8）。让大号(n)是一组n- 非连接线图。也让FG(n)是基于图集的向量空间G(n).
定义 4.2 中的循环关系FG(n)是以下要素：
(i) 所有Γ∈G(n)∖G0(n)（即，包含循环的图）；(ii) 所有线性组合∑和∈CΓ∖和，在哪里Γ∈G(n)和C⊂和(Γ)是一个定向循环。

表示为R(n)⊂FG(n)由循环关系 (4.2) 和 (4.2) 跨越的子空间。

请注意，反转图中的箭头Γ∈G(n)给我们，模循环关系，元素−Γ∈G(n).

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Relation Between the Symmetry Property and Harrison’s Conditions

回想一下，每是∈在Cln−1(圆周率在)满足对称性（4.3）。
引理 4.9 如果是∈在Cln−1(圆周率在)，然后是Λn满足 Harrison 的关系式 (2.11)，因此它位于微分 Harrison 上同调复合体中：

是Λn∈C∂,H一个rn(在)
相反，给定F∈C∂,H一个rn(在), 存在唯一的是∈Grn−1在Cln−1(圆周率在), 这样

是Λn=F
因此，线性映射

Grn−1在Cln−1(圆周率在)→∼C∂,H一个rn(在),是↦是Λn
是双射的。

证明首先，我们证明，如果是∈在Cln−1(圆周率在)满足对称关系（4.3），则F=是Λn满足 Harrison 的条件 (2.11)。引理4.8（参见备注 4.4），我们得到

是Λn=(−1)ķ−1∑圆周率∈米nķ是圆周率(Λn)
评估这个身份的双方在1⊗⋯⊗在n∈在8n，左边很简单是Λn(在1⊗⋯⊗在n)=F(在1⊗⋯⊗在n). 在右手边，我们有

(−1)ķ−1∑圆周率∈米nķ是圆周率(Λn)(在1⊗⋯⊗在n)=(−1)ķ−1∑圆周率∈米nķ(是圆周率−1)圆周率(Λn)(在1⊗⋯⊗在n) =(−1)ķ−1∑圆周率∈米nķ符号⁡(圆周率)是Λn(在圆周率(1)⊗⋯⊗在圆周率(n)) =大号ķF(在1⊗⋯⊗在n),
根据定义(2.10)的大号ķ. 因此，F满足哈里森的条件(2.11)如声称的那样。

我们接下来转向引理的第二个主张。让F∈C∂,H一个rn(在)， IE，F:在⊗n→在是一个F[∂]-满足 Harrison 条件 (2.11) 的模同态。那么对应的是∈Grn−1在Cln−1(圆周率在), 这样是Λn=F, 定义如下。为了Γ∈R(n)，或者如果Γ∈大号(n)没有连接，我们设置

是Γ=0
为了Γ∈大号(n)连接，存在一个独特的τ∈小号n这样τ(1)=1和Γ=τ(Λn). 然后我们设置

是Γ(在1⊗⋯⊗在n)=符号⁡(τ)F(在τ(1)⊗⋯⊗在τ(n))

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Le Conformal Algebras and Poisson Vertex Algebras

Definition $3.5$ A Lie conformal (super)algebra is a vector (super)space $V$, endowed with an even endomorphism $\partial \in \operatorname{End}(V)$ and a bilinear (over $\mathbb{F}$ ) $\lambda$-bracket $[\cdot \lambda \cdot]: V \times V \rightarrow V[\lambda]$ satisfying sesquilinearity $(a, b \in V)$ :
$$
\left[\partial a_{\lambda} b\right]=-\lambda\left[a_{\lambda} b\right], \quad\left[a_{\lambda} \partial b\right]=(\lambda+\partial)\left[a_{\lambda} b\right]
$$

skew symmetry $(a, b \in V)$ :
$$
\left[a_{\lambda} b\right]=-(-1)^{p(a) p(b)}\left[b_{-\lambda-\partial} a\right]
$$
and the Jacobi identity $(a, b, c \in V)$ :
$$
\left[a_{\lambda}\left[b_{\mu} c\right]\right]-(-1)^{p(a) p(b)}\left[b_{\mu}\left[a_{\lambda}, b\right]\right]=\left[\left[a_{\lambda} b\right]{\lambda+\mu} c\right] $$ Definition 3.6 A Poisson vertex (super)algebra (PVA) is a commutative associative (super)algebra $V$ endowed with an even derivation $\partial$ and a Lie conformal (super)algebra $\lambda$-bracket $\left[\cdot \lambda^{-}\right]$that satisfies the left Leibniz rule $$ \left[a{\lambda} b c\right]=\left[a_{\lambda} b\right] c+(-1)^{p(a) p(b)} b\left[a_{\lambda} c\right]
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Operads

Recall that a (linear, unital, symmetric) superoperad $\mathcal{P}$ is a collection of vector superspaces $\mathcal{P}(n), n \geq 0$, with parity $p$, endowed, for every $f \in \mathcal{P}(n)$ and $m_{1}, \ldots, m_{n} \geq 0$, with a composition parity preserving linear map,
$$
\begin{aligned}
\mathcal{P}(n) \otimes \mathcal{P}\left(m_{1}\right) \otimes \cdots \otimes \mathcal{P}\left(m_{n}\right) & \rightarrow \mathcal{P}\left(M_{n}\right) \
f \otimes g_{1} \otimes \cdots \otimes g_{n} & \mapsto f\left(g_{1} \otimes \cdots \otimes g_{n}\right)
\end{aligned}
$$
where $M_{n}$ is as in (3.5), satisfying the following associativity axiom:
$$
f\left(\left(g_{1} \otimes \cdots \otimes g_{n}\right)\left(h_{1} \otimes \cdots \otimes h_{M_{n}}\right)\right)=\left(f\left(g 1 \otimes \cdots \otimes g_{n}\right)\right)\left(h_{1} \otimes \cdots \otimes h_{M_{n}}\right) \in \mathcal{P}\left(\sum_{j=1}^{M_{n}} \ell_{j}\right)
$$
for every $f \in \mathcal{P}(n), g_{i} \in \mathcal{P}\left(m_{i}\right)$ for $i=1, \ldots, n$, and $h_{j} \in \mathcal{P}\left(\ell_{j}\right)$ for $j=$ $1, \ldots, M_{n}$. In the left-hand side of $(3.16)$ the linear map
$$
g_{1} \otimes \cdots \otimes g_{n}: \bigotimes_{j=1}^{M_{n}} \mathcal{P}\left(\ell_{j}\right) \rightarrow \bigotimes_{i=1}^{n} \mathcal{P}\left(\sum_{j=M_{i-1}+1}^{M_{i}} \ell_{j}\right)
$$
is the tensor product of composition maps applied to
$$
h_{1} \otimes \cdots \otimes h_{M_{n}}=\left(h_{1} \otimes \cdots \otimes h_{M_{1}}\right) \otimes\left(h_{M_{1}+1} \otimes \cdots \otimes h_{M_{2}}\right) \otimes \cdots \otimes\left(h_{M_{n-1}+1} \otimes \cdots \otimes h_{M_{n}}\right) \text {. }
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The z-graded Lie Superalgebra Associated with an Operad

Recall that, given an operad $\mathcal{P}$, one can construct the associated $\mathbb{Z}$-graded Lie superalgebra $W(\mathcal{P})$. It is defined, as a $\mathbb{Z}$-graded vector superspace
$$
W(\mathcal{P})=\sum_{n \geq-1} W^{n}(\mathcal{P})=\sum_{n \geq-1} \mathcal{P}(n+1)^{S_{n+1}}
$$

with the following Lie bracket. For $f \in W^{n}(\mathcal{P})$ and $g \in W^{m}(\mathcal{P})$, their $\square$-product is defined by
$$
f \square g=\sum_{\sigma \in S_{m+1, n}}\left(f \circ_{1} g\right)^{\sigma^{-1}} \in W^{m+n}(\mathcal{P})
$$
and the Lie bracket on $W(\mathcal{P})$ is given by
$$
[f, g]=f \square g-(-1)^{p(f) p(g)} g \square f
$$
See, e.g., [BDSHK19, Sec. 3] for details.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Le Conformal Algebras and Poisson Vertex Algebras

定义3.5李共形（超）代数是向量（超）空间在, 具有均匀的自同态∂∈结尾⁡(在)和一个双线性（超过F ) λ-括号[⋅λ⋅]:在×在→在[λ]满足倍半线性(一个,b∈在) :

[∂一个λb]=−λ[一个λb],[一个λ∂b]=(λ+∂)[一个λb]

斜对称(一个,b∈在):

[一个λb]=−(−1)p(一个)p(b)[b−λ−∂一个]
和雅可比恒等式(一个,b,C∈在):

[一个λ[bμC]]−(−1)p(一个)p(b)[bμ[一个λ,b]]=[[一个λb]λ+μC]定义 3.6 泊松顶点（超）代数（PVA）是交换结合（超）代数在具有均匀的派生∂和一个李共形（超）代数λ-括号[⋅λ−]满足左莱布尼茨规则

[一个λbC]=[一个λb]C+(−1)p(一个)p(b)b[一个λC]

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Operads

回想一下（线性的、单位的、对称的）超算子磷是向量超空间的集合磷(n),n≥0, 平价p, 赋予, 对于每个F∈磷(n)和米1,…,米n≥0，具有组成奇偶性保持线性映射，

磷(n)⊗磷(米1)⊗⋯⊗磷(米n)→磷(米n) F⊗G1⊗⋯⊗Gn↦F(G1⊗⋯⊗Gn)
在哪里米n如(3.5)，满足以下结合性公理：

F((G1⊗⋯⊗Gn)(H1⊗⋯⊗H米n))=(F(G1⊗⋯⊗Gn))(H1⊗⋯⊗H米n)∈磷(∑j=1米nℓj)
对于每个F∈磷(n),G一世∈磷(米一世)为了一世=1,…,n，和Hj∈磷(ℓj)为了j= 1,…,米n. 在左侧(3.16)线性地图

G1⊗⋯⊗Gn:⨂j=1米n磷(ℓj)→⨂一世=1n磷(∑j=米一世−1+1米一世ℓj)
是应用于组合图的张量积

H1⊗⋯⊗H米n=(H1⊗⋯⊗H米1)⊗(H米1+1⊗⋯⊗H米2)⊗⋯⊗(H米n−1+1⊗⋯⊗H米n).

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The z-graded Lie Superalgebra Associated with an Operad

回想一下，给定一个操作数磷, 可以构造关联的从分级李超代数在(磷). 它被定义为从分级向量超空间

在(磷)=∑n≥−1在n(磷)=∑n≥−1磷(n+1)小号n+1

用下面的李括号。为了F∈在n(磷)和G∈在米(磷)，他们的-产品定义为

FG=∑σ∈小号米+1,n(F∘1G)σ−1∈在米+n(磷)
和上的李括号在(磷)是（谁）给的

[F,G]=FG−(−1)p(F)p(G)GF
参见，例如，[BDSHK19, Sec. 3]了解详情。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH5735

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH5735

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Symmetric Group Actions

There is a natural left action of $S_{n}$ on an arbitrary $n$-tuple of objects $\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)$ :
$$
\sigma\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n}\right)=\left(\lambda_{\sigma^{-1}(1)}, \ldots, \lambda_{\sigma^{-1}(n)}\right), \quad \sigma \in S_{n}
$$
Also, given $V=V_{0} \oplus V_{\overline{1}}$ a vector superspace with parity $p$, we have a linear left action of the symmetric group $S_{n}$ on the tensor product $V^{\otimes n}\left(\sigma \in S_{n}, v_{1}, \ldots, v_{n} \in\right.$ $V)$ :
$$
\sigma\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right):=\epsilon_{v}(\sigma) v_{\sigma^{-1}(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma^{-1}(n)}
$$
where, following the Koszul-Quillen rule,
$$
\epsilon_{v}(\sigma):=\prod_{i\sigma(j)}(-1)^{p\left(v_{i}\right) p\left(v_{j}\right)}
$$

In particular, if $V$ is purely even $\epsilon_{v}(\sigma)=1$, while if $V$ is purely odd $\epsilon_{v}(\sigma)=$ $\operatorname{sign}(\sigma)$. The corresponding right action of $S_{n}$ on the space $\operatorname{Hom}\left(V^{\otimes n}, V\right)$ is given by $\left(f \in \operatorname{Hom}\left(V^{8 n}, V\right), \sigma \in S_{n}\right)$ :
$$
f^{\sigma}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)=f\left(\sigma\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{n}\right)\right)
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Composition of Permutations and Shuffles

Let $n \geq 1$ and $m_{1}, \ldots, m_{n} \geq 0$. We introduce the following notation:
$$
M_{0}=0 \text { and } M_{i}=\sum_{j=1}^{i} m_{j}, \quad i=1, \ldots, n
$$
Given $\sigma \in S_{n}$ and $\tau_{1} \in S_{m_{1}}, \ldots, \tau_{n} \in S_{m_{n}}$, we describe the composition
$$
\sigma\left(\tau_{1}, \ldots, \tau_{n}\right) \in S_{M_{n}}
$$
by saying how it acts on the tensor power $V^{\otimes M_{n}}$ of a vector space $V$ :
$$
\left(\sigma\left(\tau_{1}, \ldots, \tau_{n}\right)\right)\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{M_{n}}\right)=\sigma\left(\tau_{1}\left(v_{1} \otimes \cdots \otimes v_{M_{1}}\right) \otimes \cdots \otimes \tau_{n}\left(v_{M_{n-1}+1} \otimes \cdots \otimes v_{M_{n}}\right)\right)
$$
Definition 3.1 A permutation $\sigma \in S_{m+n}$ is called an ( $\left.m, n\right)$-shuffle if
$$
\sigma(1)<\cdots<\sigma(m), \quad \sigma(m+1)<\cdots<\sigma(m+n)
$$
The subset of $(m, n)$-shuffles is denoted by $S_{m, n} \subset S_{m+n}$.
Observe that, by definition, $S_{0, n}=S_{n, 0}={1}$ for every $n \geq 0$. If either $m$ or $n$ is negative, we set $S_{m, n}=\emptyset$ by convention.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|n-Graphs

For an oriented graph $\Gamma$, we denoted by $V(\Gamma)$ the set of vertices of $\Gamma$, and by $E(\Gamma)$ the set of edges. We call $\Gamma$ an $n$-graph if $V(\Gamma)={1, \ldots, n}$. Denote by $\mathcal{G}(n)$ the set of all $n$-graphs without tadpoles, and by $\mathcal{G}{0}(n)$ the set of all acyclic $n$-graphs. An $n$-graph $L$ will be called an $n$-line, or simply a line, if its set of edges is of the form $\left{i{1} \rightarrow i_{2}, i_{2} \rightarrow i_{3}, \ldots, i_{n-1} \rightarrow i_{n}\right}$, where $\left{i_{1}, \ldots, i_{n}\right}$ is a permutation of ${1, \ldots, n}$.

We have a natural left action of $S_{n}$ on the set $\mathcal{G}(n)$ : for the $n$-graph $\Gamma$ and the permutation $\sigma$, the new $n$-graph $\sigma(\Gamma)$ is defined to be the same graph as $\Gamma$ but with the vertex which was labeled as $i$ relabeled as $\sigma(i)$, for every $i=1, \ldots, n$. So, if the $n$-graph $\Gamma$ has an oriented edge $i \rightarrow j$, then the $n$-graph $\sigma(\Gamma)$ has the oriented edge $\sigma(i) \rightarrow \sigma(j)$. Note that $S_{n}$ permutes the set of $n$-lines.

Let us recall the cocomposition of $n$-graphs, as described in [BDSHK19]. Given an $n$-tuple $\left(m_{1}, \ldots, m_{n}\right)$ of positive integers, let $M_{i}$ be as in (3.5). If $\Gamma \in \mathcal{G}\left(M_{n}\right)$, define $\Delta_{i}^{m_{1}, \ldots, m_{n}}(\Gamma) \in \mathcal{G}\left(m_{i}\right), i=1, \ldots, n$, to be the subgraph of $\Gamma$ associated with the set of vertices $\left{M_{i-1}+1, \ldots, M_{i}\right}$, relabeled as $\left{1, \ldots, m_{i}\right}$. Define also $\Delta_{0}^{m_{1}, \ldots, m_{n}}(\Gamma)$ to be the graph obtained from $\Gamma$ by collapsing the vertices and the edges of each $\Delta_{i}^{m_{1}, \ldots, m_{n}}(\Gamma)$ into a single vertex, relabeled as $i$. Then the cocomposition map is the map
$$
\begin{aligned}
\Delta^{m_{1}, \ldots, m_{n}}: \mathcal{G}\left(M_{n}\right) & \rightarrow \mathcal{G}(n) \times \mathcal{G}\left(m_{1}\right) \times \cdots \times \mathcal{G}\left(m_{n}\right) \
\Gamma & \mapsto\left(\Delta_{0}^{m_{1}, \ldots, m_{n}}(\Gamma), \Delta_{1}^{m_{1}, \ldots, m_{n}}(\Gamma), \ldots, \Delta_{n}^{m_{1}, \ldots, m_{n}}(\Gamma)\right)
\end{aligned}
$$

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Symmetric Group Actions

有一个自然的左动作小号n在任意n- 对象元组(λ1,…,λn) :

σ(λ1,…,λn)=(λσ−1(1),…,λσ−1(n)),σ∈小号n
此外，鉴于在=在0⊕在1¯具有奇偶性的向量超空间p，我们有对称群的线性左作用小号n关于张量积在⊗n(σ∈小号n,在1,…,在n∈ 在) :

σ(在1⊗⋯⊗在n):=ε在(σ)在σ−1(1)⊗⋯⊗在σ−1(n)
其中，遵循 Koszul-Quillen 规则，

ε在(σ):=∏一世σ(j)(−1)p(在一世)p(在j)

特别是，如果在纯粹是偶数ε在(σ)=1, 而如果在纯粹是奇怪的ε在(σ)= 符号⁡(σ). 相应的正确动作小号n在空间上他⁡(在⊗n,在)是（谁）给的(F∈他⁡(在8n,在),σ∈小号n):

Fσ(在1⊗⋯⊗在n)=F(σ(在1⊗⋯⊗在n))

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Composition of Permutations and Shuffles

让n≥1和米1,…,米n≥0. 我们引入以下符号：

米0=0 和米一世=∑j=1一世米j,一世=1,…,n
给定σ∈小号n和τ1∈小号米1,…,τn∈小号米n，我们描述组成

σ(τ1,…,τn)∈小号米n
通过说它如何作用于张量幂在⊗米n向量空间的在:

(σ(τ1,…,τn))(在1⊗⋯⊗在米n)=σ(τ1(在1⊗⋯⊗在米1)⊗⋯⊗τn(在米n−1+1⊗⋯⊗在米n))
定义 3.1 一个排列σ∈小号米+n称为 (米,n)- 洗牌如果

σ(1)<⋯<σ(米),σ(米+1)<⋯<σ(米+n)
的子集(米,n)-shuffles 表示为小号米,n⊂小号米+n.
请注意，根据定义，小号0,n=小号n,0=1对于每个n≥0. 如果要么米或者n为负，我们设小号米,n=∅按照惯例。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|n-Graphs

对于有向图Γ，我们表示为在(Γ)的顶点集Γ，并由和(Γ)边的集合。我们称之为Γ一个n-图如果在(Γ)=1,…,n. 表示为G(n)所有的集合n- 没有蝌蚪的图，并通过G0(n)所有非循环的集合n-图表。一个n-图形大号将被称为n-line，或者只是一条线，如果它的边集是形式\left{i{1} \rightarrow i_{2}, i_{2} \rightarrow i_{3}, \ldots, i_{n-1} \rightarrow i_{n}\right}\left{i{1} \rightarrow i_{2}, i_{2} \rightarrow i_{3}, \ldots, i_{n-1} \rightarrow i_{n}\right}，在哪里\left{i_{1}, \ldots, i_{n}\right}\left{i_{1}, \ldots, i_{n}\right}是一个排列1,…,n.

我们有一个自然的左动作小号n在片场G(n)：为了n-图形Γ和排列σ，新的n-图形σ(Γ)被定义为与Γ但是带有标记为的顶点一世重新标记为σ(一世), 对于每个一世=1,…,n. 所以，如果n-图形Γ有一个定向边缘一世→j，那么n-图形σ(Γ)有定向边σ(一世)→σ(j). 注意小号n置换集合n-行。

让我们回顾一下n-图，如 [BDSHK19] 中所述。给定一个n-元组(米1,…,米n)的正整数，让米一世如（3.5）。如果Γ∈G(米n)，定义Δ一世米1,…,米n(Γ)∈G(米一世),一世=1,…,n，成为的子图Γ与顶点集相关联\left{M_{i-1}+1, \ldots, M_{i}\right}\left{M_{i-1}+1, \ldots, M_{i}\right}, 重新标记为\left{1, \ldots, m_{i}\right}\left{1, \ldots, m_{i}\right}. 也定义Δ0米1,…,米n(Γ)是从得到的图Γ通过折叠每个顶点和边Δ一世米1,…,米n(Γ)到单个顶点，重新标记为一世. 那么合成图就是图

Δ米1,…,米n:G(米n)→G(n)×G(米1)×⋯×G(米n) Γ↦(Δ0米1,…,米n(Γ),Δ1米1,…,米n(Γ),…,Δn米1,…,米n(Γ))

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4031

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Hochschild Cohomology Complex

First, we review the Hochschild cohomology complex, of which Harrison’s is a subcomplex, see [Hoc45] and [Har62]. We use the original Harrison’s definition. For other definitions see [GS87, Lod13].

Let $A$ be an associative algebra over the base field $\mathbb{F}$, and $M$ be an $A$-bimodule. We will write $A^{\otimes n}$ for the $n$-fold tensor product $A \otimes \cdots \otimes A$. The Hochschild cohomology complex is defined as follows. The space of $n$-cochains is
$$
\operatorname{Hom}\left(A^{\otimes n}, M\right),
$$
and the differential $d: \operatorname{Hom}\left(A^{8 n}, M\right) \rightarrow \operatorname{Hom}\left(A^{8 n+1}, M\right)$ is defined by
$$
\begin{aligned}
(d f)\left(a_{1} \otimes\right.&\left.\cdots \otimes a_{n+1}\right)=a_{1} f\left(a_{2} \otimes \cdots \otimes a_{n+1}\right) \
&+\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i} f\left(a_{1} \otimes \cdots \otimes a_{i-1} \otimes a_{i} a_{i+1} \otimes a_{i+2} \otimes \cdots \otimes a_{n+1}\right) \
&+(-1)^{n+1} f\left(a_{1} \otimes \cdots \otimes a_{n}\right) a_{n+1}
\end{aligned}
$$
Then $d^{2}=0$, and we get the Hochschild cohomology complex

$$
0 \longrightarrow M \stackrel{d}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}(A, M) \stackrel{d}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}\left(A^{\otimes 2}, M\right) \stackrel{d}{\longrightarrow} \cdots
$$
If $A$ is an associative algebra with a derivation $\partial: A \rightarrow A$, and $M$ is a differential bimodule over $A$ (i.e., the action of $\partial$ is compatible with the bimodule structure), we may consider the differential Hochschild cohomology complex by taking the subspace of $n$-cochains
$$
\operatorname{Hom}{2}[2]\left(A^{3 n}, M\right) $$ It is clear by the definition $(2.2)$ that the differential $d$ maps $\operatorname{Hom}{F[\partial]}\left(A^{\otimes n}, M\right)$ to $\operatorname{Hom}_{F[2]}\left(A^{\otimes n+1}, M\right)$. Hence, we have a cohomology subcomplex.

Remark $2.1$ It is straightforward, using the Koszul-Quillen rule, to extend the definition of the Hochschild complex to the case when $A$ is an associative superalgebra, as well as all other definitions and results of the paper. We restricted here to the purely even case for the simplicity of the exposition.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Monotone Permutations

Consider the symmetric group $S_{n}$. Using Harrison’s notation in [Har62] (see also [GS87]), we have the following definition:

Definition $2.2$ A permutation $\pi \in S_{n}$ is called monotone if, for each $i=1, \ldots, n$, one of the following two conditions holds:
(a) $\pi(j)<\pi$ (i) for all $j\pi(i)$ for all $j<i$.
(Not necessarily the same condition (a) or (b) holds for every i.) When (b) holds, we call $i$ a drop of $\pi$. Also, $\pi(1)=k$ is called the start of $\pi$ (and we say that $\pi$ starts at $k$ ).

We denote by $\mathcal{M}{n} \subset S{n}$ the set of monotone permutations, and by $\mathcal{M}{n}^{k} \subset \mathcal{M}{n}$ the set of monotone permutations starting at $k$.

Here is a simple description of all monotone permutations starting at $k$. Let us identify the permutation $\pi \in S_{n}$ with the $n$-tuple $[\pi(1), \ldots, \pi(n)]$. To construct all $\pi \in \mathcal{M}_{n}^{k}$, we let $\pi(1)=k$. Then, for every choice of $k-1$ positions in ${2, \ldots, n}$ we get a monotone permutation $\pi$ as follows. In the selected positions we put the numbers 1 to $k-1$ in decreasing order from left to right; in the remaining positions we write the numbers $k+1$ to $n$ in increasing order from left to right. (The selected positions are the drops of $\pi$.)
According to the above description, we have a bijective correspondence

associating the monotone permutation $\pi \in \mathcal{M}_{n}^{k}$ to the set $D(\pi)$ of drops of $\pi$, which are
$$
\pi^{-1}(k-1)<\pi^{-1}(k-2)<\cdots<\pi^{-1}(1) \in{2, \ldots, n}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Differential Harrison Cohomology Complex

Let us now recall Harrison’s original definition of his cohomology complex [Har62]. Let $A$ be a commutative associative algebra, and $M$ be a symmetric $A$-bimodule, i.e., such that $a m=m a$, for all $a \in A$ and $m \in M$. For every $1<k \leq n$ define the following endomorphism on the space $\operatorname{Hom}\left(A^{8 n}, M\right)$ :
$$
\left(L_{k} F\right)\left(a_{1} \otimes \cdots \otimes a_{n}\right):=\sum_{\pi \in \mathcal{M}{k}^{k}}(-1)^{\operatorname{dr}(\pi)} F\left(a{\pi(1)} \otimes \cdots \otimes a_{\pi(n)}\right) .
$$
A Harrison $n$-cochain is defined as a Hochschild $n$-cochain $F \in \operatorname{Hom}\left(A^{\otimes n}, M\right)$ fixed by all operators $L_{k}$ :
$$
L_{k} F=F, \text { for every } 2 \leq k \leq n .
$$
We will denote by
$$
C_{\text {Har }}^{n}(A, M) \subset \operatorname{Hom}\left(A^{\otimes n}, M\right)
$$
the space of Harrison $n$-cochains.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Hochschild Cohomology Complex

首先，我们回顾 Hochschild 上同调复形，其中 Harrison 是一个子复形，参见 [Hoc45] 和 [Har62]。我们使用原始的哈里森定义。其他定义见 [GS87, Lod13]。

让一个是基域上的结合代数F，和米豆一个-双模块。我们会写一个⊗n为了n-折叠张量积一个⊗⋯⊗一个. Hochschild 上同调复数定义如下。的空间n-cochains 是

他⁡(一个⊗n,米),
和微分d:他⁡(一个8n,米)→他⁡(一个8n+1,米)定义为

(dF)(一个1⊗⋯⊗一个n+1)=一个1F(一个2⊗⋯⊗一个n+1) +∑一世=1n(−1)一世F(一个1⊗⋯⊗一个一世−1⊗一个一世一个一世+1⊗一个一世+2⊗⋯⊗一个n+1) +(−1)n+1F(一个1⊗⋯⊗一个n)一个n+1
然后d2=0, 我们得到 Hochschild 上同调复数

0⟶米⟶d他⁡(一个,米)⟶d他⁡(一个⊗2,米)⟶d⋯
如果一个是带导数的结合代数∂:一个→一个，和米是一个差分双模一个（即，动作∂与双模结构兼容），我们可以通过取子空间来考虑微分 Hochschild 上同调复数n-cochains

他⁡2[2](一个3n,米)定义很清楚(2.2)那个差d地图他⁡F[∂](一个⊗n,米)至他F[2]⁡(一个⊗n+1,米). 因此，我们有一个上同调子复合体。

评论2.1使用 Koszul-Quillen 规则很简单，可以将 Hochschild 复合体的定义扩展到以下情况：一个是一个关联超代数，以及论文的所有其他定义和结果。为了说明的简单性，我们在此仅限于纯偶数情况。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Monotone Permutations

考虑对称群小号n. 使用 [Har62] 中的 Harrison 符号（另见 [GS87]），我们有以下定义：

定义2.2一个排列圆周率∈小号n被称为单调如果，对于每个一世=1,…,n，以下两个条件之一成立：
(a)圆周率(j)<圆周率(一) 为所有人j圆周率(一世)对所有人j<一世.
（不一定相同的条件 (a) 或 (b) 对每个 i 都成立。）当 (b) 成立时，我们称一世一滴圆周率. 还，圆周率(1)=ķ被称为开始圆周率（我们说圆周率开始于ķ ).

我们表示米n⊂小号n单调排列的集合，并且由米nķ⊂米n单调排列的集合开始于ķ.

这是对所有单调排列的简单描述，从ķ. 让我们识别排列圆周率∈小号n与n-元组[圆周率(1),…,圆周率(n)]. 构建所有圆周率∈米nķ，我们让圆周率(1)=ķ. 然后，对于每一个选择ķ−1职位2,…,n我们得到一个单调排列圆周率如下。在选定的位置，我们把数字 1 到ķ−1从左到右依次递减；在剩下的位置我们写数字ķ+1至n从左到右依次递增。（所选位置是圆周率.)
根据上面的描述，我们有一个双射对应

关联单调排列圆周率∈米nķ到集合D(圆周率)几滴圆周率，哪个是

圆周率−1(ķ−1)<圆周率−1(ķ−2)<⋯<圆周率−1(1)∈2,…,n

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Differential Harrison Cohomology Complex

现在让我们回顾一下哈里森对他的上同调复数 [Har62] 的原始定义。让一个是一个交换结合代数，并且米是对称的一个-bimodule，即，这样一个米=米一个，对所有人一个∈一个和米∈米. 对于每一个1<ķ≤n在空间上定义以下自同态他⁡(一个8n,米) :

(大号ķF)(一个1⊗⋯⊗一个n):=∑圆周率∈米ķķ(−1)博士⁡(圆周率)F(一个圆周率(1)⊗⋯⊗一个圆周率(n)).
一个哈里森n-cochain 被定义为 Hochschildn-cochainF∈他⁡(一个⊗n,米)由所有运营商确定大号ķ:

大号ķF=F, 对于每个 2≤ķ≤n.
我们将表示为

C头发 n(一个,米)⊂他⁡(一个⊗n,米)
哈里森的空间n-cochains。

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金融工程代写

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

有限元方法代写

随机分析代写

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH7333

Posted on 2022年6月7日2022年6月7日 by statistics-lab

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(Generalized) Linear Models 广义线性模型
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Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Pale Block and a Point

Let $V$ be a braided vector space of dimension 3 with braiding given in the basis $\left(x_{i}\right){i \in I{3}}$ by
$$
\left(c\left(x_{i} \otimes x_{j}\right)\right){i, j \in I{3}}=\left(\begin{array}{ccc}
\epsilon x_{1} \otimes x_{1} & \epsilon x_{2} \otimes x_{1} & q_{12} x_{3} \otimes x_{1} \
\epsilon x_{1} \otimes x_{2} & \epsilon x_{2} \otimes x_{2} & q_{12} x_{3} \otimes x_{2} \
q_{21} x_{1} \otimes x_{3} & q_{21}\left(x_{2}+x_{1}\right) \otimes x_{3} & q_{22} x_{3} \otimes x_{3}
\end{array}\right)
$$
Let $V_{1}=\left\langle x_{1}, x_{2}\right\rangle, V_{2}=\left\langle x_{3}\right\rangle$. Let $\Gamma=\mathbb{Z}^{2}$ with a basis $g_{1}, g_{2}$. We realize $V$ in $\mathrm{k} \Gamma \Gamma \Gamma D$ $g_{2} \cdot x_{2}=q_{21}\left(x_{2}+x_{1}\right), g_{i} \cdot x_{3}=q_{i 2} x_{3}$.

As usual, let $\tilde{q}{12}=q{12} q_{21}$; in particular the Dynkin diagram of the braided subspace $\left\langle x_{1}, x_{3}\right\rangle$ is $\overbrace{0}^{\epsilon} \widetilde{q}_{12} \quad q 22 .$

As for other cases, we consider $K=\mathscr{B}(V)^{\operatorname{co}} \mathscr{B}\left(V_{1}\right)$; then $K=\oplus_{n \geq 0} K^{n}$ inherits the grading of $\mathscr{B}(V) ; \mathscr{B}(V) \simeq K # \mathscr{B}\left(V_{1}\right)$ and $K$ is the Nichols algebra of $K^{1}=$ ad $_{c} \cdot \mathscr{B}\left(V_{1}\right)\left(V_{2}\right)$. Now $K^{1} \in \mathscr{A ( V _ { 1 } ) \pm \mathbb { k } \Gamma} \mathcal{D}\left(V_{1}\right) \pm \mathbb{D} \Gamma$ with the adjoint action and the coaction given by $(4.4)$, i.e., $\delta=\left(\pi_{\mathscr{B}\left(V_{1}\right) # f \in \Gamma} \otimes\right.$ id) $\Delta_{\mathscr{B}(V) # \mathrm{lk} \Gamma}$. Next we introduce $\Pi_{m, n}=$

$\left(\mathrm{ad}{c} x{1}\right)^{m}\left(\operatorname{ad}{c} x{2}\right)^{n} x_{3}$; we distinguish two cases:
By direct computation,
$$
\begin{aligned}
g_{1} \cdot \mathrm{II}{m, n}=q{12} \epsilon^{m+n} \mathrm{III}{m, n}, & g{2} \cdot w_{m} &=q_{21}^{m} q_{22} w_{m} \
z_{n+1}=x_{2} z_{n}-q_{12} \epsilon^{n} z_{n} x_{2}, & \mathrm{mI}{m+1, n} &=x{1} \mathrm{II}{m, n}-q{12} \epsilon^{m+n} \mathrm{II}{m, n} x{1} \
\partial_{1}\left(\mathrm{mI}{m, n}\right)=0, & \partial{2}\left(\mathrm{mI}{m, n}\right) &=0 \ \partial{3}\left(w_{m}\right) &=\prod_{0 \leq j \leq m-1}\left(1-\epsilon^{j} \tilde{q}{12}\right) x{1}^{m}
\end{aligned}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Block Has =1

Here $\mathscr{B}\left(V_{1}\right) \simeq S\left(V_{1}\right)$ is a polynomial algebra, so that $x_{1}$ and $x_{2}$ commute, and
$$
\left(\operatorname{ad}{c} x{2}\right)^{s} \mathrm{II}{m, n}=\mathrm{III}{m, n+s} \quad \text { for all } m, n, s \in \mathbb{N}{0} $$ Thus $\mathrm{mI}{m, n}, m, n \in \mathbb{N}{0}$ generate $K^{1}$. As in [AAH1, $\S 8.1$ ], we have that $$ g{2} \cdot \mathrm{II}{m, n}=q{21}^{m+n} q_{22} \sum_{0 \leq j \leq n}\left(\begin{array}{c}
n \
j
\end{array}\right) \mathrm{m}{m+j, n-j} $$ For $q \in \mathbb{k}^{\times}$, let $\in{p}(q)=V$ be the braided vector space as in (7.1) under the assumptions that $\epsilon=1, q_{12}=q=q_{21}^{-1}, q_{22}=-1$. We call $\mathscr{B}\left(\mathbb{E}{p}(q)\right)$ and the Nichols algebras $\mathscr{B B}\left(\mathfrak{E}{\pm}(q)\right), \mathscr{B}\left(\mathfrak{E}_{\star}(q)\right)$ studied in Propositions $7.2-7.4$ the Endymion algebras.

Proposition 7.1 The algebra $\mathcal{B}\left(\mathfrak{E}{p}(q)\right)$ is presented by generators $x{1}, x_{2}, x_{3}$ and relations
$$
\begin{aligned}
x_{1}^{p} &=0, \quad x_{2}^{p}=0, \quad x_{1} x_{2}=x_{2} x_{1}, \
x_{1} x_{3} &=q x_{3} x_{1}, \
z_{t}^{2} &=0, \quad t \in \mathbb{I}{0, p-1} \end{aligned} $$ The dimension of $\mathscr{B}\left(\mathfrak{E}{p}(q)\right)$ is $2^{p} p^{2}$, since it has a $P B W$-basis
$$
B=\left{x_{1}^{m_{1}} x_{2}^{m_{2}} z_{p-1}^{n_{p-1}} \ldots z_{0}^{n_{0}}: n_{i} \in{0,1}, m_{j} \in \mathbb{I}_{0, p-1}\right}
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Block Has=-1

Here $\mathscr{B}\left(V_{1}\right) \simeq \Lambda\left(V_{1}\right)$ is an exterior algebra and consequently $m_{m, n}, m, n \in{0,1}$ generates $K^{1}$. By direct computation,
$$
\begin{aligned}
&g_{2} \cdot z_{1}=q_{21} q_{22}\left(z_{1}+w_{1}\right), \quad \partial_{3}\left(z_{1}\right)=\left(1-\tilde{q}{12}\right) x{2}-\tilde{q}{12} x{1}, \
&\delta\left(z_{1}\right)=g_{1} g_{2} \otimes z_{1}+\left(\left(1-\tilde{q}{12}\right) x{2}-\tilde{q}{12} x{1}\right) g_{2} \otimes x_{3}
\end{aligned}
$$

Proposition 7.2 The algebra $\mathcal{B}\left(\mathfrak{E}{+}(q)\right)$ is presented by generators $x{1}, x_{2}, x_{3}$ and relations
$$
\begin{aligned}
x_{1}^{2} &=0, \quad x_{2}^{2}=0, \quad x_{1} x_{2}=-x_{2} x_{1}, \
\left(x_{2} x_{3}-q x_{3} x_{2}\right)^{2} &=0, \quad x_{3}^{p}=0, \
x_{3}\left(x_{2} x_{3}-q x_{3} x_{2}\right) &=q{ }^{-1}\left(x_{2} x_{3}-q x_{3} x_{2}\right) x_{3}, \
x_{1} x_{3} &=q x_{3} x_{1} .
\end{aligned}
$$
Let $z_{1}=x_{2} x_{3}-q x_{3} x_{2}$. Then $\mathcal{B}\left(\mathfrak{E}{+}(q)\right)$ has a PBW-basis $$ B=\left{x{1}^{m_{1}} x_{2}^{m_{1}} x_{3}^{m_{3}} z_{1}^{m_{4}}: m_{1}, m_{2}, m_{4} \in{0,1}, m_{3} \in \mathbb{I}{0, p-1}\right} $$ hence $\operatorname{dim} \mathcal{B}\left(\mathfrak{E}{+}(q)\right)=2^{3} p$.
Proof Notice that $x_{3}^{p}=0$ since $x_{3}$ is a point labeled with $q_{22}=1$ in $K^{1}$. Also, $B$ is a basis thanks to the isomorphism $\mathscr{B}\left(\mathfrak{E}{+}(q)\right) \simeq \mathscr{B}\left(K^{1}\right) # \mathscr{B}\left(V{1}\right)$. The rest of the proof follows as in [AAH1, Proposition 8.1.6].

Proposition $7.3$ The algebra $\mathcal{B}\left(\mathfrak{E}{-}(q)\right)$ is presented by generators $x{1}, x_{2}, x_{3}$ and relations $(7.17),(7.20)$,
$$
\begin{aligned}
x_{3}^{2} &=0, \quad\left(x_{2} x_{3}-q x_{3} x_{2}\right)^{p}=0, \
x_{3}\left(x_{2} x_{3}-q x_{3} x_{2}\right) &=-q^{-1}\left(x_{2} x_{3}-q x_{3} x_{2}\right) x_{3} .
\end{aligned}
$$
Let $z_{1}=x_{2} x_{3}-q x_{3} x_{2}$. Then $\mathcal{B}\left(\mathfrak{E}{-}(q)\right)$ has a $P B W$-basis $$ \boldsymbol{B}=\left{x{1}^{m_{1}} x_{2}^{m_{2}} x_{3}^{m_{3}} z_{1}^{m_{4}}: m_{1}, m_{2}, m_{3} \in{0,1}, m_{4} \in \mathbb{I}{0, p-1}\right} $$ hence $\operatorname{dim} \mathcal{B}\left(E{-}(q)\right)=2^{3} p$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|A Pale Block and a Point

让在是一个维数为 3 的编织向量空间，编织在基础 $\left(x_{i}\right) {i \in I {3}}b是$
\left(c\left(x_{i} \otimes x_{j}\right)\right) {i, j \in I {3}}=\left(

εX1⊗X1εX2⊗X1q12X3⊗X1 εX1⊗X2εX2⊗X2q12X3⊗X2 q21X1⊗X3q21(X2+X1)⊗X3q22X3⊗X3\right)
$$
让在1=⟨X1,X2⟩,在2=⟨X3⟩. 让Γ=从2有依据G1,G2. 我们意识到在在ķΓΓΓD G2⋅X2=q21(X2+X1),G一世⋅X3=q一世2X3.

像往常一样，让 $\tilde{q} {12}=q {12} q_{21};一世np一个r吨一世C在l一个r吨H和D是nķ一世nd一世一个Gr一个米○F吨H和br一个一世d和ds在bsp一个C和\left\langle x_{1}, x_{3}\right\rangle一世s\overbrace{0}^{\epsilon} \widetilde{q}_{12} \quad q 22 .$

至于其他情况，我们考虑ķ=乙(在)合作乙(在1); 然后ķ=⊕n≥0ķn继承了分级\mathscr{B}(V) ; \mathscr{B}(V) \simeq K # \mathscr{B}\left(V_{1}\right)\mathscr{B}(V) ; \mathscr{B}(V) \simeq K # \mathscr{B}\left(V_{1}\right)和ķ是 Nichols 代数ķ1=广告C⋅乙(在1)(在2). 现在ķ1∈一个(在1)±ķΓD(在1)±DΓ与伴随动作和由下式给出的共同作用(4.4)， IE，\delta=\left(\pi_{\mathscr{B}\left(V_{1}\right) # f \in \Gamma} \otimes\right.\delta=\left(\pi_{\mathscr{B}\left(V_{1}\right) # f \in \Gamma} \otimes\right.ID）\ Delta _ {\ mathscr {B} (V) # \ mathrm {lk} \ Gamma\ Delta _ {\ mathscr {B} (V) # \ mathrm {lk} \ Gamma. 接下来我们介绍圆周率米,n=

(一个dCX1)米(广告⁡CX2)nX3; 我们区分两种情况：
通过直接计算，

G1⋅我我米,n=q12ε米+n我我我米,n,G2⋅在米=q21米q22在米和n+1=X2和n−q12εn和nX2,米我米+1,n=X1我我米,n−q12ε米+n我我米,nX1 ∂1(米我米,n)=0,∂2(米我米,n)=0 ∂3(在米)=∏0≤j≤米−1(1−εjq~12)X1米

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Block Has =1

这里乙(在1)≃小号(在1)是多项式代数，所以X1和X2通勤，和

(广告⁡CX2)s我我米,n=我我我米,n+s 对所有人米,n,s∈ñ0因此米我米,n,米,n∈ñ0产生ķ1. 如 [AAH1,§§8.1]，我们有

G2⋅我我米,n=q21米+nq22∑0≤j≤n(n j)米米+j,n−j为了q∈ķ×，让∈p(q)=在是（7.1）中的编织向量空间，假设如下：ε=1,q12=q=q21−1,q22=−1. 我们称之为乙(和p(q))和 Nichols 代数乙乙(和±(q)),乙(和⋆(q))在命题中学习7.2−7.4Endymion 代数。

命题 7.1 代数乙(和p(q))由生成器提供X1,X2,X3和关系

X1p=0,X2p=0,X1X2=X2X1, X1X3=qX3X1, 和吨2=0,吨∈我0,p−1的维度乙(和p(q))是2pp2，因为它有一个磷乙在-基础

B=\left{x_{1}^{m_{1}} x_{2}^{m_{2}} z_{p-1}^{n_{p-1}} \ldots z_{0}^{ n_{0}}: n_{i} \in{0,1}, m_{j} \in \mathbb{I}_{0, p-1}\right}B=\left{x_{1}^{m_{1}} x_{2}^{m_{2}} z_{p-1}^{n_{p-1}} \ldots z_{0}^{ n_{0}}: n_{i} \in{0,1}, m_{j} \in \mathbb{I}_{0, p-1}\right}

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Block Has=-1

这里乙(在1)≃Λ(在1)是一个外部代数，因此米米,n,米,n∈0,1生成ķ1. 通过直接计算，

G2⋅和1=q21q22(和1+在1),∂3(和1)=(1−q~12)X2−q~12X1, d(和1)=G1G2⊗和1+((1−q~12)X2−q~12X1)G2⊗X3

命题 7.2 代数 $\mathcal{B}\left(\mathfrak{E} {+}(q)\right)一世spr和s和n吨和db是G和n和r一个吨○rsx {1}、x_{2}、x_{3}一个ndr和l一个吨一世○nsX12=0,X22=0,X1X2=−X2X1, (X2X3−qX3X2)2=0,X3p=0, X3(X2X3−qX3X2)=q−1(X2X3−qX3X2)X3, X1X3=qX3X1.大号和吨z_{1}=x_{2} x_{3}-q x_{3} x_{2}.吨H和n\mathcal{B}\left(\mathfrak{E}{+}(q)\right)H一个s一个磷乙在−b一个s一世sB=\left{x{1}^{m_{1}} x_{2}^{m_{1}} x_{3}^{m_{3}} z_{1}^{m_{4}}： m_{1}, m_{2}, m_{4} \in{0,1}, m_{3} \in \mathbb{I}{0, p-1}\right}B=\left{x{1}^{m_{1}} x_{2}^{m_{1}} x_{3}^{m_{3}} z_{1}^{m_{4}}： m_{1}, m_{2}, m_{4} \in{0,1}, m_{3} \in \mathbb{I}{0, p-1}\right}H和nC和\operatorname{dim} \mathcal{B}\left(\mathfrak{E}{+}(q)\right)=2^{3} p.磷r○○Fñ○吨一世C和吨H一个吨x_{3}^{p}=0s一世nC和x_{3}一世s一个p○一世n吨l一个b和l和d在一世吨Hq_{22}=1一世nK^{1}.一个ls○,乙一世s一个b一个s一世s吨H一个nķs吨○吨H和一世s○米○rpH一世s米\mathscr{B}\left(\mathfrak{E}{+}(q)\right) \simeq \mathscr{B}\left(K^{1}\right) # \mathscr{B}\left(V {1}\右）$。其余证明如 [AAH1, Proposition 8.1.6] 中所述。

主张7.3代数乙(和−(q))由生成器提供X1,X2,X3和关系(7.17),(7.20),

X32=0,(X2X3−qX3X2)p=0, X3(X2X3−qX3X2)=−q−1(X2X3−qX3X2)X3.
让和1=X2X3−qX3X2. 然后乙(和−(q))有个磷乙在-基础

\boldsymbol{B}=\left{x{1}^{m_{1}} x_{2}^{m_{2}} x_{3}^{m_{3}} z_{1}^{m_{ 4}}: m_{1}, m_{2}, m_{3} \in{0,1}, m_{4} \in \mathbb{I}{0, p-1}\right}\boldsymbol{B}=\left{x{1}^{m_{1}} x_{2}^{m_{2}} x_{3}^{m_{3}} z_{1}^{m_{ 4}}: m_{1}, m_{2}, m_{3} \in{0,1}, m_{4} \in \mathbb{I}{0, p-1}\right}因此暗淡⁡乙(和−(q))=23p.

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MTH 4107

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MTH 4107

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Presentation by Generators and Relations

We still assume that the interaction is weak. We start by some general Remarks that are proved exactly as in [AAH1, $\S 4.3]$.
Remark 4.6 Let
$$
y_{2 k}=x_{21}^{k}, \quad y_{2 k+1}=x_{1} x_{21}^{k}, \quad k \in \mathbb{N}{0} . $$ By Lemma $4.2$ $$ \partial{3}\left(z_{l}\right)=\mu_{t} y_{t}, \quad z_{t} y_{n}=\epsilon^{m t} q_{21}^{n} y_{n} z_{t}, \quad t, n \in \mathbb{N}{0} $$ Lemma 4.7 Assume that $\epsilon^{2}=q{22}^{2}=1$. In $\mathscr{B}\left(\mathfrak{L}\left(q_{22}, \mathscr{G}\right)\right)$, or correspondingly $B_{-}\left(\mathfrak{L}\left(q_{22}, \mathscr{G}\right)\right)$.
$$
\begin{array}{rlrl}
z_{|x|+1} & =0 \
z_{t} z_{t+1} & =q_{21} q_{22} z_{t+1} z_{t} & t \in \mathbb{N}{0}, t<|x| & \ z{t}^{2} & =0 & t \in \mathbb{N}{0}, \epsilon^{t} q{22}=-1 \
\partial_{3}\left(z_{t}^{n+1}\right) & =\mu_{t} q_{21}^{n t} q_{22}^{n} n y_{t} z_{t}^{n}, & n, t \in \mathbb{N}{0}, \epsilon^{t} q{22}=1
\end{array}
$$

Lemma 4.8 Let $\mathscr{B}$ be a quotient algebra of $T(V)$. Assume that $x_{1} x_{3}=q_{12} x_{3} x_{1}$, and either
(a) (3.1), or else
(b) $(3.7), x_{21} x_{3}=q_{12}^{2} x_{3} x_{21}$
hold in $\mathscr{B}$. Then for all $n \in \mathbb{N}{0}$, $$ \begin{aligned} x{1} z_{n} &=\epsilon^{n} q_{12} z_{n} x_{1} \
x_{21} z_{n} &=q_{12}^{2} z_{n} x_{21}
\end{aligned}
$$
Lemma 4.9 Let $\mathscr{B}$ be a quotient algebra of $T(V), \epsilon^{2}=q_{22}^{2}=1$.
(i) Assume that (4.20) and (4.21) hold in $\mathscr{B}$. Then for $0 \leq t<k \leq|r|$,
$$
z_{t} z_{k}=\epsilon^{t k} q_{21}^{k-t} q_{22} z_{k} z_{t}
$$
(ii) Assume that $z_{t}^{2}=0$ in $\mathscr{B}$ for $t \in \mathbb{N}{0}$ such that $\epsilon^{t} q{22}=-1$. Then $z_{t} z_{t+1}=$ $q_{21} q_{22} z_{I+1} z_{t}$ in $\mathscr{B}$.
In other words, (ii) says that (4.21) for a specific $t$ implies (4.20) for $t$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Setting and the Main Result

Let $\theta \in \mathbb{N}{\geq 3}, \mathbb{I}{2, \theta}=\mathbb{I}{\theta}-{1}, \mathbb{I}{\theta}^{\dagger}=\mathbb{I}{\theta} \cup\left{\frac{3}{2}\right}$. Let $\lfloor i\rfloor$ be the largest integer $\leq i$. We start from the data $$ \left(q{i j}\right){i, j \in \mathbb{I}{\theta}} \in\left(\mathbb{k}^{\times}\right)^{\theta \times \theta}, \quad q_{11}^{2}=1 ; \quad\left(a_{2}, \ldots, a_{\theta}\right) \in \mathbb{k}^{\mathbb{I}_{2, \theta}}
$$

We assume that $q_{11}=1=: a_{1}$. Let $(V, c)$ be the braided vector space of dimension $\theta+1$, with a basis $\left(x_{i}\right){i \in \mathbb{I}{\theta}^{\dagger}}$ and braiding given by
$$
c\left(x_{i} \otimes x_{j}\right)= \begin{cases}q_{\lfloor i\rfloor j} x_{j} \otimes x_{i}, & i \in \mathbb{I}{\theta}^{\dagger}, j \in \mathbb{I}{\theta} \ q_{\lfloor i\rfloor 1}\left(x_{\frac{3}{2}}+a_{\lfloor i\rfloor} x_{1}\right) \otimes x_{i}, & i \in \mathbb{I}{\theta}^{\dagger}, j=\frac{3}{2}\end{cases} $$ We say that the block and the points have discrete ghost if $a{j} \in \mathbb{F}{p}^{\mathrm{I}{2, \theta}},\left(a_{j}\right) \neq 0$. When this is the case, we pick the representative $r_{j} \in \mathbb{Z}$ of $2 a_{j}$ by imposing $r_{j} \in$ ${1-p, \ldots,-1,0}$, and set $\mathscr{G}{j}=-r{j}$. The ghost between the block and the points is the vector $\mathscr{G}=\left(\mathscr{G}{j}\right){j \in \mathrm{I}{2, \theta}}$ given by $$ \mathscr{G}=-\left(r{j}\right){j \in \mathbb{I}{2, \theta}} \in \mathbb{N}{0}^{\mathbb{I}{2, \theta}}
$$
The braided subspace $V_{1}$ spanned by $x_{1}, x_{\frac{3}{2}}$ is $\simeq \mathcal{V}(1,2)$, while $V_{\text {diag }}$ spanned by $\left(x_{i}\right){i \in \mathbb{I}{2, \theta}}$ is of diagonal type. Obviously,
$$
V=V_{1} \oplus V_{\text {diag }}
$$
Let $\mathcal{X}$ be the set of connected components of the Dynkin diagram of the matrix $\mathbf{q}=\left(q_{i j}\right){i, j \in \mathbb{I}{2, \theta}}$. If $J \in \mathcal{X}$, then we set $J^{\prime}=\mathbb{I}{2, \theta}-J$, $$ V{J}=\sum_{j \in J} \mathbb{k}{g j}^{\chi{j},} \quad \mathscr{G}{J}=\left(\mathscr{G}{j}\right)_{j \in J} .
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Presentation of the Nichols Algebras

We give defining relations and an explicit PBW-basis of $\mathscr{B}(V)$, for all $V$ as in Theorem $5.3$, assuming that the Dynkin diagram of $V_{\text {diag }}$ is connected, i.e., $V_{\text {diag }}=V_{J}$, where $J=\mathrm{I}{2, \theta}$. Essentially the relations are the same as in [AAH1] up to adding the suitable $p$-powers; we omit the proofs as they are minor variations of those in loc. cit. The passage from connected $V{\text {diag }}$ to the general case is standard, just add the quantum commutators between points in different components. Since the case $|J|=1$ was treated in Sect. 4 , we also suppose that $|J|>1$. These braided vector spaces have names given in [AAH1], see Table 2. The braided vector subspace $V_{1} \oplus \mathrm{k} x_{2}$ of such $V$ is of type

$\mathfrak{L}(-1,2)$ when $V$ is of type $\mathfrak{L}\left(A_{2}, 2\right)$,
$\mathfrak{L}(\omega, 1)$ when $V$ is of type $\mathfrak{L}\left(A(1 \mid 0)_{3} ; \omega\right)$, or
$\mathfrak{L}(-1,1)$ for all the other cases.
Thus the subalgebra generated by $V_{1} \oplus \mathrm{kx} x_{2}$ is a Nichols algebra. We recall its relations up to the change of index with respect to Sect. 4 ; the 2 and 3 there are now $\frac{3}{2}$ and 2. As in (2.2), we set $x_{i_{1} i_{2} \ldots i_{M}}=\operatorname{ad}{c} x{i_{1}} x_{i_{2} \ldots i_{M}}$. Also, we have now $z_{n}=\left(\operatorname{ad}{c} x{\frac{3}{2}}\right)^{n} x_{2}, n \in \mathbb{N}{0} .$ First, the defining relations of $\mathscr{B}(\mathcal{L}(-1,1))$ are $$ \begin{aligned} &x{\frac{2}{2}} x_{1}-x_{1} x_{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2} x_{1}^{2}, \
&x_{1}^{p} \
&x_{\frac{3}{2}}^{p}, \
&x_{1} x_{2}-q_{12} x_{2} x_{1}, \
&\left(\operatorname{ad}{c} x{\frac{3}{2}}^{2}\right)^{2} x_{2}, \
&x_{2}^{2}, x_{\frac{3}{2}}^{2} 2^{\circ}
\end{aligned}
$$

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Presentation by Generators and Relations

我们仍然假设交互作用很弱。我们从一些在 [AAH1,§§4.3].
备注 4.6 让

是2ķ=X21ķ,是2ķ+1=X1X21ķ,ķ∈ñ0.引理4.2

∂3(和l)=μ吨是吨,和吨是n=ε米吨q21n是n和吨,吨,n∈ñ0引理 4.7 假设ε2=q222=1. 在乙(大号(q22,G))，或相应地乙−(大号(q22,G)).

和|X|+1=0 和吨和吨+1=q21q22和吨+1和吨吨∈ñ0,吨<|X| 和吨2=0吨∈ñ0,ε吨q22=−1 ∂3(和吨n+1)=μ吨q21n吨q22nn是吨和吨n,n,吨∈ñ0,ε吨q22=1

引理 4.8 让乙是一个商代数吨(在). 假使，假设X1X3=q12X3X1, 或者
(a) (3.1), 或者
(b)(3.7),X21X3=q122X3X21
握住乙. 那么对于所有人n∈ñ0,

X1和n=εnq12和nX1 X21和n=q122和nX21
引理 4.9 让乙是一个商代数吨(在),ε2=q222=1.
(i) 假设 (4.20) 和 (4.21) 成立乙. 那么对于0≤吨<ķ≤|r|,

和吨和ķ=ε吨ķq21ķ−吨q22和ķ和吨
(ii) 假设和吨2=0在乙对于 $t \in \mathbb{N} {0}s在CH吨H一个吨\epsilon^{t}q {22}=-1.吨H和nz_{t} z_{t+1}=q_{21} q_{22} z_{I+1} z_{t}一世n\mathscr{B}.我n○吨H和r在○rds,(一世一世)s一个是s吨H一个吨(4.21)F○r一个sp和C一世F一世C吨一世米pl一世和s(4.20)F○rt$。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Setting and the Main Result

让\theta \in \mathbb{N}{\geq 3}, \mathbb{I}{2, \theta}=\mathbb{I}{\theta}-{1}, \mathbb{I}{\theta} ^{\dagger}=\mathbb{I}{\theta} \cup\left{\frac{3}{2}\right}\theta \in \mathbb{N}{\geq 3}, \mathbb{I}{2, \theta}=\mathbb{I}{\theta}-{1}, \mathbb{I}{\theta} ^{\dagger}=\mathbb{I}{\theta} \cup\left{\frac{3}{2}\right}. 让⌊一世⌋是最大的整数≤一世. 我们从数据开始

(q一世j)一世,j∈我θ∈(ķ×)θ×θ,q112=1;(一个2,…,一个θ)∈ķ我2,θ

我们假设q11=1=:一个1. 让(在,C)是维数的编织向量空间θ+1, 有基础(X一世)一世∈我θ†和编织由

C(X一世⊗Xj)={q⌊一世⌋jXj⊗X一世,一世∈我θ†,j∈我θ q⌊一世⌋1(X32+一个⌊一世⌋X1)⊗X一世,一世∈我θ†,j=32我们说块和点有离散重影如果一个j∈Fp我2,θ,(一个j)≠0. 在这种情况下，我们选择代表rj∈从的2一个j通过强加rj∈ 1−p,…,−1,0, 并设置Gj=−rj. 块和点之间的幽灵是向量G=(Gj)j∈我2,θ由

G=−(rj)j∈我2,θ∈ñ0我2,θ
编织子空间在1跨越X1,X32是≃在(1,2)，尽管在诊断跨越(X一世)一世∈我2,θ是对角线类型。明显地，

在=在1⊕在诊断
让X是矩阵的 Dynkin 图的连通分量集q=(q一世j)一世,j∈我2,θ. 如果Ĵ∈X，那么我们设Ĵ′=我2,θ−Ĵ,

在Ĵ=∑j∈ĴķGjχj,GĴ=(Gj)j∈Ĵ.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Presentation of the Nichols Algebras

我们给出了定义关系和明确的 PBW 基础乙(在)，对所有人在如定理5.3, 假设 Dynkin 图在诊断是连接的，即在诊断 =在Ĵ，在哪里Ĵ=我2,θ. 本质上，关系与 [AAH1] 中的相同，直到添加合适的p-权力；我们省略了证明，因为它们是 loc 中那些的微小变化。同上。从连接的通道在诊断对于一般情况是标准的，只需在不同组件的点之间添加量子换向器。自此案|Ĵ|=1在教派接受治疗。4，我们还假设|Ĵ|>1. 这些编织向量空间的名称在 [AAH1] 中给出，见表 2。编织向量子空间在1⊕ķX2这样的在是类型

大号(−1,2)什么时候在是类型大号(一个2,2),
大号(ω,1)什么时候在是类型大号(一个(1∣0)3;ω)，或者
大号(−1,1)对于所有其他情况。
因此生成的子代数在1⊕ķXX2是 Nichols 代数。我们回想起它与 Sect 指数变化的关系。4；现在有 2 和 332和 2. 如 (2.2) 中，我们设置X一世1一世2…一世米=广告⁡CX一世1X一世2…一世米. 另外，我们现在有和n=(广告⁡CX32)nX2,n∈ñ0.一、定义关系乙(大号(−1,1))是X22X1−X1X12+12X12, X1p X32p, X1X2−q12X2X1, (广告⁡CX322)2X2, X22,X3222∘

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MAST90017

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Realizations

Let $H$ be a Hopf algebra. A $Y D-p a i r$ for $H$ is a pair $(g, \chi) \in G(H) \times \operatorname{Hom}{\text {alg }}(H$, $\mathbb{k})$ such that $$ \chi(h) g=\chi\left(h{(2)}\right) h_{(1)} g \mathcal{S}\left(h_{(3)}\right), \quad h \in H
$$
Let $\mathrm{k}{g}^{\chi}$ be a one-dimensional vector space with $H$-action and $H$-coaction given by $\chi$ and $g$ respectively; then (3.16) says that $\mathbb{k}{g}^{\chi} \in{ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$. If $\chi \in \operatorname{Hom}{\text {alg }}(H, \mathbb{k})$, then the space of $(\chi, \chi)$-derivations is
$$
\operatorname{Der}{\chi, \chi}(H, \mathbb{x})=\left{\eta \in H^{*}: \eta(h \ell)=\chi(h) \eta(\ell)+\chi(\ell) \eta(h) \forall h, \ell \in H\right} $$ A YD-triple for $H$ is a collection $(g, \chi, \eta)$ where $(g, \chi)$ is a YD-pair for $H$, $\eta \in \operatorname{Der}{\chi, \chi}(H, \mathrm{k}), \eta(g)=1$ and
$$
\eta(h) g_{1}=\eta\left(h_{-} 2\right) h_{-} 1 g_{2} \mathcal{S}\left(h_{-} 3\right), \quad h \in H .
$$
Given a YD-triple $(g, \chi, \eta)$ we define $\mathcal{V}{g}(\chi, \eta) \in{ }{H}^{H} \mathcal{Y} \mathcal{D}$ as the vector space with a basis $\left(x_{i}\right){i \in \mathbb{I}{2}}$, whose $H$-action and $H$-coaction are given by
$$
h \cdot x_{1}=\chi(h) x_{1}, \quad h \cdot x_{2}=\chi(h) x_{2}+\eta(h) x_{1}, \quad \delta\left(x_{i}\right)=g \otimes x_{i}, \quad h \in H, i \in \mathbb{I}{2} $$ the compatibility is granted by (3.16), (3.17). As a braided vector space, $\mathcal{V}{g}(\chi, \eta) \simeq$ $\mathcal{V}(\epsilon, 2), \epsilon=\chi(g)$.

Consequently, if $H$ is finite-dimensional and $\epsilon^{2}=1$, then $\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H$ is a Hopf algebra satisfying $$ \operatorname{dim}\left(\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H\right)=\left{\begin{array}{l}
p^{2} \operatorname{dim} H, \text { when } \epsilon=1 \
4 p^{2} \operatorname{dim} H, \text { when } \epsilon=-1
\end{array}\right.
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Exhaustion in Rank 2

We recall some facts from [AAH1, $3.4$ ].
Let $H$ be a Hopf algebra with bijective antipode and $V \in{ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$. Let $0=V{0} \subsetneq$ $V_{1} \cdots \subsetneq V_{d}=V$ be a flag of Yetter-Drinfeld submodules with $\operatorname{dim} V_{i}=\operatorname{dim} V_{i-1}+$ 1 for all $i$. Then $V^{\text {diag }}:=$ gr $V$ is of diagonal type. If $B$ is a pre-Nichols algebra of $V$, then it is a graded filtered Hopf in ${ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$ and $\mathcal{B}^{\text {diag }}:=\operatorname{gr} \mathscr{B}$ is a pre-Nichols algebra of $V^{\text {diag }}$. Proposition $3.3$ Let $\epsilon \in \mathbb{k}^{\times}$. If $\operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2))<\infty$, then $\epsilon^{2}=1$. Proof Let $\mathcal{V}=\mathcal{V}(\epsilon, 2)$; it has a flag as above and $\mathcal{V}^{\text {diag }}$ is the braided vector space of diagonal type with matrix $\left(q{i j}\right){i, j \in \mathbb{I}{2}}, q_{i j}=\epsilon$ for all $i, j \in \mathbb{I}{2}$. Hence $$ \operatorname{dim} \mathscr{B}\left(\mathcal{V}^{\text {diag }}\right) \leq \operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2)) $$ Step 1 If $\epsilon \notin \mathbb{G}{\infty}$, then $\operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2))=\infty$.
Proof Here $\operatorname{dim} \mathscr{B}\left(\mathcal{V}^{\text {diag }}\right)=\infty$ by Example $2.1$ and (3.19) applies.
Step 2 If $\epsilon \in \mathbb{G}{N}^{\prime}, N \geq 4$, then $\operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, \ell))=\infty$ for all $\ell \geq 2$. Proof Here $\mathcal{V}^{\text {diag }}$ is of Cartan type with Cartan matrix $\left(\begin{array}{cc}2 & 2-N \ 2-N & 2\end{array}\right)$. Thus Theorem $2.2$ and (3.19) apply. Step 3 Let $\epsilon \in \mathbb{G}{3}^{\prime}$. Then $\operatorname{dim} \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2))=\infty$.
Proof The proof of [AAH1, $\S 3.5$ – Step 3] holds verbatim.
The Proposition is proved.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Weak Interaction

Here $q_{12} q_{21}=1$. In general,
$$
c_{\mid V_{1} \otimes V_{2}}^{2}=\mathrm{id} \Longleftrightarrow q_{12} q_{21}=1 \text { and } a=0 .
$$

If $a=0$, then
$$
\mathscr{B}(V) \simeq \mathscr{B}(\mathcal{V}(\epsilon, 2)) \otimes \mathscr{B}\left(\mathrm{k} x_{3}\right)
$$
Here $\otimes$ denotes the braided tensor product of Hopf algebras (the structure of Hopf algebra in $\mathrm{kG} \mathcal{Y} \mathcal{D}$ ).

From now on we assume that the ghost is discrete, in particular $\neq 0$. We follow the exposition in [AAH1, $\$ 4.2]$.
Lemma 4.2 The following formulae hold in $\mathscr{B}(V)$ for all $n \in \mathbb{N}{0}$ : $g{1} \cdot z_{n}=\epsilon^{n} q_{12} z_{n}, \quad x_{1} z_{n}=\epsilon^{n} q_{12} z_{n} x_{1}, \quad x_{21}^{n} x_{2}=\left(n \epsilon x_{1}+x_{2}\right) x_{21}^{n}$,
$g_{2} \cdot z_{n}=q_{21}^{n} q_{22} z_{n}, \quad x_{21} z_{n}=q_{12}^{2} z_{n} x_{21}, \quad x_{2} z_{n}=\epsilon^{n} q_{12} z_{n} x_{2}+z_{n+1} .$
Proof The proof of [AAH1, Lemma 4.2.1] is valid in any characteristic.
Let $\left(\mu_{n}\right){n \in \mathbb{N}{0}}$ be the family of elements of $\mathbb{k}$ defined recursively by
$$
\mu_{0}=1, \quad \mu_{2 k+1}=-(a+k \epsilon) \mu_{2 k}, \quad \mu_{2 k}=(a+k+\epsilon(a+k-1)) \mu_{2 k-1}
$$
This can be reformulated as
$$
\begin{array}{ll}
\mu_{n+1} & = \begin{cases}(2 a+n) \mu_{n} & \text { if } n \text { is odd, } \
-\frac{2 a+n}{2} \mu_{n} & \text { if } n \text { is even, }\end{cases} \
\mu_{n+1} & = \begin{cases}\mu_{n} & \text { if } n \text { is odd }, \
-\left(a-\frac{n}{2}\right) \mu_{n} & \text { if } n \text { is even, } \epsilon=1\end{cases}
\end{array}
$$
Thus $\mu_{n}=0 \Longleftrightarrow n>|r|$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Realizations

让H是一个 Hopf 代数。一个是D−p一个一世r为了H是一对(G,χ)∈G(H)×他⁡阿尔格 (H, ķ)这样

χ(H)G=χ(H(2))H(1)G小号(H(3)),H∈H
让ķGχ是一个一维向量空间H-行动和H-合作由χ和G分别; 然后（3.16）说ķGχ∈HH是D. 如果χ∈他⁡阿尔格 (H,ķ)，那么空间(χ,χ)- 推导是

\operatorname{Der}{\chi, \chi}(H, \mathbb{x})=\left{\eta \in H^{*}: \eta(h \ell)=\chi(h) \eta (\ell)+\chi(\ell) \eta(h) \forall h, \ell \in H\right}\operatorname{Der}{\chi, \chi}(H, \mathbb{x})=\left{\eta \in H^{*}: \eta(h \ell)=\chi(h) \eta (\ell)+\chi(\ell) \eta(h) \forall h, \ell \in H\right}一个 YD 三元组H是一个集合(G,χ,这)在哪里(G,χ)是 YD 对H, 这∈的⁡χ,χ(H,ķ),这(G)=1和

这(H)G1=这(H−2)H−1G2小号(H−3),H∈H.
给定一个 YD-triple(G,χ,这)我们定义在G(χ,这)∈HH是D作为有基的向量空间(X一世)一世∈我2，谁的H-行动和H-coaction 由下式给出

H⋅X1=χ(H)X1,H⋅X2=χ(H)X2+这(H)X1,d(X一世)=G⊗X一世,H∈H,一世∈我2兼容性由 (3.16), (3.17) 授予。作为编织向量空间，在G(χ,这)≃ 在(ε,2),ε=χ(G).

因此，如果H是有限维的并且ε2=1，然后\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H是一个 Hopf 代数满足 $$ \operatorname{dim}\left(\mathscr{B}\left(\mathcal{V}{g}(\chi, \eta)\right) # H\right)=\left{

p2暗淡⁡H, 什么时候 ε=1 4p2暗淡⁡H, 什么时候 ε=−1\正确的。
$$

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Exhaustion in Rank 2

我们从 [AAH1,3.4]。
让H是具有双射对映体的 Hopf 代数和在∈HH是D. 让0=在0⊊ 在1⋯⊊在d=在成为 Yetter-Drinfeld 子模块的标志暗淡⁡在一世=暗淡⁡在一世−1+1 为所有一世. 然后在诊断 :=克在是对角线类型。如果乙是一个前 Nichols 代数在, 那么它是一个分级过滤的 Hopf 在HH是D和乙诊断 :=克⁡乙是一个前 Nichols 代数在诊断 . 主张3.3让ε∈ķ×. 如果暗淡⁡乙(在(ε,2))<∞，然后ε2=1. 证明让在=在(ε,2); 它有一个如上所述的标志，并且在诊断是带矩阵的对角线型编织向量空间(q一世j)一世,j∈我2,q一世j=ε对所有人一世,j∈我2. 因此

暗淡⁡乙(在诊断 )≤暗淡⁡乙(在(ε,2))步骤 1 如果ε∉G∞，然后暗淡⁡乙(在(ε,2))=∞.
证明在这里暗淡⁡乙(在诊断 )=∞通过示例2.1(3.19) 适用。
步骤 2 如果ε∈Gñ′,ñ≥4，然后暗淡⁡乙(在(ε,ℓ))=∞对所有人ℓ≥2. 证明在这里在诊断是具有 Cartan 矩阵的 Cartan 类型(22−ñ 2−ñ2). 因此定理2.2和 (3.19) 适用。步骤 3 让ε∈G3′. 然后暗淡⁡乙(在(ε,2))=∞.
证明 [AAH1,§§3.5– 步骤 3] 逐字保留。
命题得到证明。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Weak Interaction

这里q12q21=1. 一般来说，

C∣在1⊗在22=一世d⟺q12q21=1 和一个=0.

如果一个=0，然后

乙(在)≃乙(在(ε,2))⊗乙(ķX3)
这里⊗表示 Hopf 代数的编织张量积（Hopf 代数的结构ķG是D ).

从现在开始，我们假设幽灵是离散的，特别是≠0. 我们按照 [AAH1,$4.2].
引理 4.2 下列公式成立乙(在)对所有人n∈ñ0 : G1⋅和n=εnq12和n,X1和n=εnq12和nX1,X21nX2=(nεX1+X2)X21n,
G2⋅和n=q21nq22和n,X21和n=q122和nX21,X2和n=εnq12和nX2+和n+1.
证明 [AAH1, Lemma 4.2.1] 的证明对任何特征都有效。
让(μn)n∈ñ0成为元素的族ķ递归定义为

μ0=1,μ2ķ+1=−(一个+ķε)μ2ķ,μ2ķ=(一个+ķ+ε(一个+ķ−1))μ2ķ−1
这可以重新表述为

μn+1={(2一个+n)μn 如果 n 很奇怪， −2一个+n2μn 如果 n 甚至， μn+1={μn 如果 n 很奇怪 , −(一个−n2)μn 如果 n 甚至， ε=1
因此μn=0⟺n>|r|.

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非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|MATH4314

Posted on 2022年6月7日2022年6月7日 by statistics-lab

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Main Result

To describe more precisely our main Theorem we need first to discuss blocks.
For $k<\ell \in \mathbb{N}{0}$, we set $\mathbb{I}{k, \ell}={k, k+1, \ldots, \ell}, \mathbb{I}{\ell}=\mathbb{I}{1, \ell}$. A block $\mathcal{V}(\epsilon, \ell)$, where $\epsilon \in \mathbb{k}^{\times}$and $\ell \in \mathbb{N}{\geq 2}$, is a braided vector space with a basis $\left(x{i}\right){i \in \mathbb{I}{\ell}}$ such that for $i, j \in \mathbb{I}{\ell}, 1{i} \otimes x_{1}\right)=\epsilon x_{1} \otimes x_{i}, \quad c\left(x_{i} \otimes x_{j}\right)=\left(\epsilon x_{j}+x_{j-1}\right) \otimes x_{i} . $$ In characteristic 0 , the only Nichols algebras of blocks with finite GKdim are the Jordan plane $\mathscr{B}(\mathcal{V}(1,2))$ and the super Jordan plane $\mathscr{B}(\mathcal{V}(-1,2))$; both have GKdim $=2$. In our context with $p>2$, the Jordan plane $\mathscr{B}(\mathcal{V}(1,2)$ ) has dimension $p^{2}[\mathrm{CLW}]$; see Lemma 3.1. Our starting result is that the super Jordan plane $\mathscr{B}(\mathcal{V}(-1,2))$ has dimension $4 p^{2}$, see Proposition $3.2$. For simplicity a block $\mathcal{V}(\epsilon, 2)$ of dimension 2 is called an $\epsilon$-block. We also prove that a block $\mathcal{V}(\epsilon, 2)$ has finitedimensional Nichols algebra only when $\epsilon=\pm 1$, see Proposition 3.3.

The braided vector spaces in this paper belong to the class analogous to the one considered in [AAH1]. Briefly, $(V, c)$ belongs to this class if
$$
\begin{aligned}
V &=V_{1} \oplus \cdots \oplus V_{t} \oplus V_{t+1} \oplus \cdots \oplus V_{\theta} \
c\left(V_{i} \otimes V_{j}\right) &=V_{j} \otimes V_{i}, i, j \in \mathbb{I}{\theta} \end{aligned} $$ where $V{h}$ is a $\epsilon_{h}$-block, with $\epsilon_{h}^{2}=1$, for $h \in \mathbb{I}{t}$; and $\operatorname{dim} V{i}=1$ with braiding determined by $q_{i i} \in \mathbb{k}^{\times}$(we say that $i$ is a point), $i \in \mathbb{I}{t+1, \theta}$; the braiding between points $i$ and $j$ is given by $q{i j} \in \mathrm{k}^{\times}$while the braiding between a point and block, respectively two blocks, should have the form as in (4.1), respectively (6.1). For convenience, we attach to $(V, c)$ a flourished graph $\mathcal{D}$ with $\theta$ vertices, those corresponding to a 1 -block decorated with $\boxplus$, those to $-1$-block decorated with $\boxminus$ and the point $i$ with $q_{i i}$. If $i \neq j$ are points, and there is an edge between them decorated by $\tilde{q}{i j}:=q{i j} q_{j i}$ when this is $\neq-1$, or no edge if $\tilde{q}{i j}=1$. If $h$ is a block and $j$ is a point, then there is an edge between $h$ and $j$ decorated either by $\mathscr{S}{h j}$ if the interaction is weak and $\mathscr{S}{h j} \neq 0$ is the ghost, cf. (4.2), or by ( $\left.-, \mathscr{S}{h j}\right)$ if the interaction is mild and $\mathscr{S}{h j}$ is the ghost; but no edge if the interaction is weak and $\mathscr{S}{h j}=0$. There are no edges between blocks and we assume that the diagram is connected by a well-known reduction argument.

This class of braided vector spaces together with those of diagonal type does not exhaust that of Yetter-Drinfeld modules arising from abelian groups; there are still those containing a pale block as in [AAH1, Chapter 8]. Synthetically our main result is the following.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Preliminaries

The q-numbers are the polynomials
$$
(n){\mathrm{q}}=\sum{j=0}^{n-1} \mathrm{q}^{j}, \quad(n){\mathrm{q}}^{!}=\prod{j=1}^{n}(j){\mathrm{q}}, \quad\left(\begin{array}{c} n \ i \end{array}\right){\mathrm{q}}=\frac{(n){\mathrm{q}}^{!}}{(n-i){\mathrm{q}}^{!}(i){\mathrm{q}}^{!}} \in \mathbb{Z}[\mathrm{q}] $$ $n \in \mathbb{N}, 0 \leq i \leq n$. If $q \in \mathbb{k}$, then $(n){q},(n){q}^{!},\left(\begin{array}{c}n \ i\end{array}\right){q}$ denote the evaluations of $(n){q}$, $(n){\mathrm{q}}^{!},\left(\begin{array}{l}n \ i\end{array}\right)_{\mathrm{q}}$ at $\mathrm{q}=q$.

Let $\mathbb{G}{N}$ be the group of $N$-th roots of unity, and $\mathbb{G}{N}^{\prime}$ the subset of primitive roots of order $N ; \mathbb{G}{\infty}=\bigcup{N \in \mathbb{N}} \mathbb{G}_{N}$. All the vector spaces, algebras, and tensor products are over k.
All Hopf algebras have bijective antipode.

Let $\Gamma$ be an abelian group. We denote by $\widehat{\Gamma}$ the group of characters of $\Gamma$. The category $\mathrm{k}{\mathrm{k} \Gamma} \mathcal{Y D}$ of Yetter-Drinfeld modules over the group algebra $\mathrm{k} \Gamma$ consists of $\Gamma$ graded $\Gamma$-modules, the $\Gamma$-grading being denoted by $V=\oplus{g \in \Gamma} V_{g}$; that is, $h V_{g}=V_{g}$ for all $g, h \in \Gamma$. If $g \in \Gamma$ and $\chi \in \widehat{\Gamma}$, then the one-dimensional vector space $\mathbb{k}{g}$, $^{k}$ with action and coaction given by $g$ and $\chi$, is in ${ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$. Let $W \in \mathrm{k}{\mathrm{k} \Gamma}^{\mathrm{V} \Gamma} \mathcal{D}$ and $\left(w{i}\right){i \in I}$ a basis of $W$ consisting of homogeneous elements of degree $g{i}, i \in I$, respectively. Then there are skew-derivations $\partial_{i}, i \in I$, of $T(W)$ such that for all $x, y \in T(W)$, $i, j \in I$
$$
\partial_{i}\left(w_{j}\right)=\delta_{i j}, \quad \partial_{i}(x y)=\partial_{i}(x)\left(g_{i} \cdot y\right)+x \partial_{i}(y)
$$
For a definition of Yetter-Drinfeld modules over arbitrary Hopf algebras we refer, e.g., to [R, 11.6].

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Nichols Algebras

Nichols algebras are graded Hopf algebras $\mathscr{B}=\oplus_{n \geq 0} \mathscr{B}^{n}$ in ${ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$ coradically graded and generated in degree one. They are completely determined by $V:=\mathscr{B}^{1} \in$ ${ }{H}^{H} \mathcal{Y D}$ and it is customary to denote $\mathscr{B}=\mathscr{B}(V)$. If $W \in{ }{\mathrm{k} \Gamma}^{\mathrm{k} \Gamma} \mathcal{Y D}$ as in Sect. 2.2, then the skew-derivations $\partial{i}$ induce skew-derivations on $\mathscr{B}(W)$. Moreover, an element $w \in \mathscr{B}^{k}(W), k \geq 1$, is zero if and only if $\partial_{i}(w)=0$ in $\mathscr{B}(W)$ for all $i \in I$. A pre-Nichols algebra of $V$ is a graded Hopf algebra in ${ }_{H}^{H} \mathcal{Y} \mathcal{D}$ generated in degree one, with the one-component isomorphic to $V$.

Example $2.1$ Let $V$ be of dimension 1 with braiding $c=\epsilon$ id. Let $N$ be the smallest natural number such that $(N)_{\epsilon}=0$. Then $\mathscr{B}(V)=\mathbb{k}[T] /\left\langle T^{N}\right\rangle$, or $\mathscr{B}(V)=\mathrm{k}[T]$ if such $N$ does not exist.

A braided vector space $V$ is of diagonal type if there exists a basis $\left(x_{i}\right){i \in \mathrm{I}{i}}$ of $V$ and $\mathbf{q}=\left(q_{i j}\right){i, j \in \mathbb{L}{j}} \in \mathbb{k}^{\theta \times \theta}$ such that $q_{i j} \neq 0$ and $c\left(x_{i} \otimes x_{j}\right)=q_{i j} x_{j} \otimes x_{i}$ for all $i, j \in \mathbb{I}=\mathbb{I}{\theta}$. Given a braided vector space $V$ of diagonal type with a basis $\left(x{i}\right)$, we denote in $T(V)$, or $\mathscr{B}(V)$, or any intermediate Hopf algebra,
$$
x_{i j}=\left(\operatorname{ad}{c} x{i}\right) x_{j}, \quad x_{i_{1} i_{2} \ldots i_{M}}=\left(\operatorname{ad}{c} x{i_{1}}\right) x_{i_{2} \ldots i M},
$$
for $i, j, i_{1}, \ldots, i_{M} \in \mathbb{I}, M \geq 2$. A braided vector space $V$ of diagonal type is of Cartan type if there exists a generalized Cartan matrix $\mathbf{a}=\left(a_{i j}\right)$ such that $q_{i j} q_{j i}=$ $q_{i i}^{a_{i j}}$ for all $i \neq j$.

Theorem $2.2$ If $V$ is of Cartan type with matrix a that is not finite, then $\operatorname{dim} \mathscr{B}(V)=\infty$.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|The Main Result

为了更准确地描述我们的主要定理，我们首先需要讨论块。
为了ķ<ℓ∈ñ0，我们设置我ķ,ℓ=ķ,ķ+1,…,ℓ,我ℓ=我1,ℓ. 一块在(ε,ℓ)，在哪里ε∈ķ×和ℓ∈ñ≥2, 是一个带基的编织向量空间(X一世)一世∈我ℓ这样对于i, j \in \mathbb{I}{\ell}, 1{i} \otimes x_{1}\right)=\epsilon x_{1} \otimes x_{i}, \quad c\left(x_{ i} \otimes x_{j}\right)=\left(\epsilon x_{j}+x_{j-1}\right) \otimes x_{i} 。i, j \in \mathbb{I}{\ell}, 1{i} \otimes x_{1}\right)=\epsilon x_{1} \otimes x_{i}, \quad c\left(x_{ i} \otimes x_{j}\right)=\left(\epsilon x_{j}+x_{j-1}\right) \otimes x_{i} 。我nCH一个r一个C吨和r一世s吨一世C0,吨H和○nl是ñ一世CH○ls一个lG和br一个s○Fbl○Cķs在一世吨HF一世n一世吨和Gķd一世米一个r和吨H和Ĵ○rd一个npl一个n和\mathscr{B}(\mathcal{V}(1,2))一个nd吨H和s在p和rĴ○rd一个npl一个n和\mathscr{B}(\mathcal{V}(-1,2));b○吨HH一个在和Gķd一世米=2.我n○在rC○n吨和X吨在一世吨Hp>2,吨H和Ĵ○rd一个npl一个n和\mathscr{B}(\mathcal{V}(1,2))H一个sd一世米和ns一世○np ^ {2} [\ mathrm {CLW}];s和和大号和米米一个3.1.○在rs吨一个r吨一世nGr和s在l吨一世s吨H一个吨吨H和s在p和rĴ○rd一个npl一个n和\mathscr{B}(\mathcal{V}(-1,2))H一个sd一世米和ns一世○n4 p^{2},s和和磷r○p○s一世吨一世○n3.2.F○rs一世米pl一世C一世吨是一个bl○Cķ\mathcal{V}(\epsilon, 2)○Fd一世米和ns一世○n2一世sC一个ll和d一个n\ε−bl○Cķ.在和一个ls○pr○在和吨H一个吨一个bl○Cķ\mathcal{V}(\epsilon, 2)H一个sF一世n一世吨和d一世米和ns一世○n一个lñ一世CH○ls一个lG和br一个○nl是在H和n\epsilon=\pm 1$，见命题 3.3。

本文中的编织向量空间属于类似于 [AAH1] 中考虑的类。简要地，(在,C)如果属于这个类

在=在1⊕⋯⊕在吨⊕在吨+1⊕⋯⊕在θ C(在一世⊗在j)=在j⊗在一世,一世,j∈我θ在哪里在H是一个εH-块，与εH2=1，为了H∈我吨; 和暗淡⁡在一世=1编织由q一世一世∈ķ×（我们说一世是一个点），一世∈我吨+1,θ; 点之间的编织一世和j是（谁）给的q一世j∈ķ×而一个点和块之间的编织，分别是两个块，应该分别具有（4.1）和（6.1）中的形式。为方便起见，我们附上(在,C)蓬勃发展的图表D和θ顶点，对应于 1 装饰的块⊞, 那些−1-块装饰⊟和重点一世和q一世一世. 如果一世≠j是点，它们之间有一条边q~一世j:=q一世jqj一世当这是≠−1，或者如果没有边q~一世j=1. 如果H是一个块并且j是一个点，那么之间有一条边H和j由小号Hj如果相互作用很弱并且小号Hj≠0是鬼魂，cf。(4.2)，或由 (−,小号Hj)如果相互作用是温和的并且小号Hj是鬼；但如果相互作用很弱，则没有优势小号Hj=0. 块之间没有边，我们假设该图是由一个众所周知的归约论点连接的。

这类编织向量空间与对角类型的向量空间并没有穷尽由阿贝尔群产生的 Yetter-Drinfeld 模；仍然有那些包含如 [AAH1，第 8 章] 中的苍白块。综合而言，我们的主要结果如下。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Preliminaries

q 数是多项式

(n)q=∑j=0n−1qj,(n)q!=∏j=1n(j)q,(n 一世)q=(n)q!(n−一世)q!(一世)q!∈从[q]n∈ñ,0≤一世≤n. 如果q∈ķ，然后(n)q,(n)q!,(n 一世)q表示评价(n)q, (n)q!,(n 一世)q在q=q.

让Gñ成为一组ñ-th 统一的根，和Gñ′原始序根的子集ñ;G∞=⋃ñ∈ñGñ. 所有向量空间、代数和张量积都超过 k。
所有 Hopf 代数都有双射对映。

让Γ是一个阿贝尔群。我们表示Γ^的字符组Γ. 类别ķķΓ是D群代数上的 Yetter-Drinfeld 模块ķΓ由组成Γ分级Γ-模块，Γ-分级表示为在=⊕G∈Γ在G; 那是，H在G=在G对所有人G,H∈Γ. 如果G∈Γ和χ∈Γ^, 那么一维向量空间ķG, ķ与行动和合作G和χ, 在HH是D. 让在∈ķķΓ在ΓD和(在一世)一世∈我一个基础在由度数的同质元素组成G一世,一世∈我，分别。然后有偏导数∂一世,一世∈我，的吨(在)这样对于所有人X,是∈吨(在),一世,j∈我

∂一世(在j)=d一世j,∂一世(X是)=∂一世(X)(G一世⋅是)+X∂一世(是)
对于任意 Hopf 代数上的 Yetter-Drinfeld 模块的定义，我们参考例如 [R, 11.6]。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Nichols Algebras

Nichols 代数是分级 Hopf 代数乙=⊕n≥0乙n在HH是Dcoradically 分级并在一级生成。它们完全由在:=乙1∈ HH是D并且习惯上表示乙=乙(在). 如果在∈ķΓķΓ是D就像在教派中一样。2.2，然后是偏导数∂一世诱导偏斜推导乙(在). 此外，一个元素在∈乙ķ(在),ķ≥1, 为零当且仅当∂一世(在)=0在乙(在)对所有人一世∈我. 一个前尼科尔斯代数在是分级 Hopf 代数HH是D在一阶生成，单组分同构在.

例子2.1让在尺寸为 1，带编织层C=εID。让ñ是最小的自然数，使得(ñ)ε=0. 然后乙(在)=ķ[吨]/⟨吨ñ⟩，或者乙(在)=ķ[吨]如果这样ñ不存在。

编织向量空间在如果存在基础，则为对角线类型(X一世)一世∈我一世的在和q=(q一世j)一世,j∈大号j∈ķθ×θ这样q一世j≠0和C(X一世⊗Xj)=q一世jXj⊗X一世对所有人一世,j∈我=我θ. 给定一个编织向量空间在有基的对角线型(X一世)，我们在吨(在)，或者乙(在)，或任何中间 Hopf 代数，

X一世j=(广告⁡CX一世)Xj,X一世1一世2…一世米=(广告⁡CX一世1)X一世2…一世米,
为了一世,j,一世1,…,一世米∈我,米≥2. 编织向量空间在如果存在广义 Cartan 矩阵，则对角线类型是 Cartan 类型一个=(一个一世j)这样q一世jqj一世= q一世一世一个一世j对所有人一世≠j.

定理2.2如果在是 Cartan 类型，矩阵 a 不是有限的，那么暗淡⁡乙(在)=∞.

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