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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The log-concavity of the Lah numbers
Thanks to the simple formula
$$
\left\lfloor\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right\rfloor=\frac{n !}{k !}\left(\begin{array}{l}
n-1 \
k-1
\end{array}\right)
$$
given for the Lah numbers, it costs nothing to show that these numbers are strictly log-concave, i.e.,
$$
\left\lfloor\begin{array}{c}
n \
k-1
\end{array}\right\rfloor\left\lfloor\begin{array}{c}
n \
k+1
\end{array}\right\rfloor<\left\lfloor\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right\rfloor^2
$$
By (4.8), this inequality holds if and only if
$$
k(k-1)(n-k)<(k+1) k(n-k+1) .
$$
And this inequality is clearly true.
We now locate the maxima of the Lah numbers. The relations
$$
\left\lfloor\begin{array}{c}
n \
k-1
\end{array}\right\rfloor \leqq\left\lfloor\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right\rfloor
$$
are equivalent to
$$
k^2 \leqq n+1
$$
i.e., $k=\sqrt{n+1}$. Consequently, if $n+1$ is a square number, then there are two maximizing indices (the Lah numbers have a plateau)
$$
K_{n, 1}=\sqrt{n+1}-1, \quad \text { and } K_{n, 2}=\sqrt{n+1} .
$$
If, in turn, $n+1$ is not a square, then the maximizing index is unique (we have a peak), and
$$
K_n=\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor \text {. }
$$
These results are valid for all $n \geq 1$.
The above statements can be found in [456] where the results are given in a more general form (with respect to the $r$-Lah numbers).
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The zeros of the Lah polynomials
We have learned that the real zero property of a polynomial with positive coefficients implies the log-concavity of the coefficient sequence. Although we have just seen the strict log-concavity of $\left\lfloor\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right\rfloor$, it is not without interest to know that the Lah polynomials
$$
L_n(x)=\sum_{k=0}^n\left\lfloor\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right\rfloor x^k
$$
have the real zero property (note also that log-concavity does not imply the real zero property, as one of the exercises shows).
Our approach is similar to what we have done for the Bell polynomials. Remembering (2.54) we can easily give a recursive formula for the Lah polynomials:
$$
L_{n+1}(x)=n L_n(x)+x L_n(x)+x L_n^{\prime}(x)
$$
This is equivalent to
$$
L_{n+1}(x)=\frac{e^{-x}}{x^{n-1}}\left(x^n e^x L_n(x)\right)^{\prime}
$$
(Just perform the derivation and simplify.)
We show that all the polynomials $L_n(x)$ have only real zeros; they have $n-1$ negative zeros and one zero at $x=0$. This statement is true for $n \geq 1$.We proceed by induction. The $L_1(x)=x$ and $L_2(x)=x^2+2 x$ polynomials certainly satisfy the statement. Let us suppose that we have proven the statement up to a given $n$. Now invoke (4.9). By our assumption, the function $x^n e^x L_n(x)$ has a zero at $x=0$ of multiplicity $n+1$, and it has $n-1$ negative zeros as well. By Rolle’s theorem, we infer that $\left(x^n e^x L_n(x)\right)^{\prime}$ has zeros among the zeros of $L_n(x)$ (there are $n-2$ ), it has a zero between the rightmost negative zero of $L_n(x)$ and $x=0$. And, because $e^x$ tends to zero as $x \rightarrow-\infty$, there must be another extremum of $x^n e^x L_n(x)$ somewhere on the left-hand side of the leftmost zero of $L_n(x)$. This gives that the derivative has a zero in this place. These are $n$ negative real zeros. That $L_{n+1}$ has a zero at $x=0$ also can be seen: the already mentioned zero of multiplicity $n+1$ of $x^n e^x L_n(x)$ at $x=0$ reduces to a zero of multiplicity $n$ after taking the derivative, and the $x^{n-1}$ in the denominator cancels out all of these except one. This will be the zero of $L_{n+1}(x)$ at $x=0$. The proof is complete.
组合学代考
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The log-concavity of the Lah numbers
多亏了简单的公式
$$
\lfloor n k\rfloor=\frac{n !}{k !}(n-1 k-1)
$$
对于 Lah 数，证明这些数是严格对数凹的不需要任何成本，即
$$
\lfloor n k-1\rfloor\lfloor n k+1\rfloor<\lfloor n k\rfloor^2
$$
根据 (4.8)，此不等式成立当且仅当
$$
k(k-1)(n-k)<(k+1) k(n-k+1) .
$$
这种不平等显然是真实的。
我们现在找到 Lah 数的最大值。关系
$$
\lfloor n k-1\rfloor \leqq\lfloor n k\rfloor
$$
相当于
$$
k^2 \leqq n+1
$$
$\mathrm{IE} 。 k=\sqrt{n+1}$. 因此，如果 $n+1$ 是一个平方数，那么有两个最大化指标（Lah 数有一个平台)
$$
K_{n, 1}=\sqrt{n+1}-1, \quad \text { and } K_{n, 2}=\sqrt{n+1} .
$$
如果反过来， $n+1$ 不是正方形，则最大化索引是唯一的 (我们有一个峰值)，并且
$$
K_n=\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor
$$
这些结果对所有人都有效 $n \geq 1$.
上述陈述可以在 [456] 中找到，其中结果以更一般的形式给出（相对于 $r$-Lah 数字）。
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The zeros of the Lah polynomials
我们已经了解到，具有正系数的多项式的实零性质意味着系数序列的对数凹性。虽然我们刚刚看到了严格 的对数凹性 $\lfloor n k\rfloor$ ，并非没有兴趣知道 Lah 多项式
$$
L_n(x)=\sum_{k=0}^n\lfloor n k\rfloor x^k
$$
具有实零属性（另请注意，对数凹性并不意味着实零属性，如其中一个练习所示）。
我们的方法类似于我们对贝尔多项式所做的。记住 (2.54) 我们可以很容易地给出 Lah 多项式的递归公 式:
$$
L_{n+1}(x)=n L_n(x)+x L_n(x)+x L_n^{\prime}(x)
$$
这相当于
$$
L_{n+1}(x)=\frac{e^{-x}}{x^{n-1}}\left(x^n e^x L_n(x)\right)^{\prime}
$$
(只需执行推导和简化。)
我们证明所有多项式 $L_n(x)$ 只有实零；他们有 $n-1$ 负零和一个零在 $x=0$. 此声明适用于 $n \geq 1$. 我们通 过归纳法进行。这 $L_1(x)=x$ 和 $L_2(x)=x^2+2 x$ 多项式当然满足这个陈述。让我们假设我们已经证 明了给定的陈述 $n$. 现在调用 (4.9)。根据我们的假设，函数 $x^n e^x L_n(x)$ 有一个零 $x=0$ 多重性 $n+1$ ，它 有 $n-1$ 负零也是如此。根据罗尔定理，我们推断 $\left(x^n e^x L_n(x)\right)^{\prime}$ 在的零点之间有零点 $L_n(x) \quad($ 有 $n-2$ ） 它在最右边的负零之间有一个零 $L_n(x)$ 和 $x=0$. 而且，因为 $e^x$ 趋于零作为 $x \rightarrow-\infty$, 必须有另一个极 值 $x^n e^x L_n(x)$ 在最左边的零的左边某处 $L_n(x)$. 这给出导数在这个地方有一个零。这些都是 $n$ 负实零 点。那 $L_{n+1}$ 有一个零 $x=0$ 还可以看出：已经提到的多重性零 $n+1$ 的 $x^n e^x L_n(x)$ 在 $x=0$ 减少到零 的多重性 $n$ 取导数后， $x^{n-1}$ 在分母中抵消所有这些，除了一个。这将是零 $L_{n+1}(x)$ 在 $x=0$. 证明完成。
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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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