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组合学是数学的一个领域，主要涉及计数（作为获得结果的手段和目的）以及有限结构的某些属性。
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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The log-convexity of the Bell numbers
It was observed by K. Engel that the Bell numbers satisfy the reverse of the log-concavity inequality [216].
Definition 4.5.1. The sequence $a_0, a_1, \ldots$ is log-convex if for all $k \geq 1$
$$
a_k^2 \leq a_{k-1} a_{k+1} .
$$
Engel’s observation can therefore be phrased as follows: the Bell number sequence forms a log-convex sequence:
$$
B_n^2 \leq B_{n-1} B_{n+1} \quad(n \geq 1)
$$
See also [116]. The proof of Engel depends on some probabilistic results due to Harper [279].
The proof of log-convexity of $B_n$
The proof we are going to show is due to Spivey [532].
The total number of blocks in all the partitions of an $n$-element set is
$$
\sum_{k=1}^n k\left{\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right} .
$$
In Exercise 3 of Chapter 3, the reader was asked to prove that
$$
S_n:=\sum_{k=1}^n k\left{\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right}=B_{n+1}-B_n .
$$
To show this, separate the partitions counted by $B_{n+1}$ into (1) those which have a set consisting of the single element $n+1$ and (2) those which do not. It should be clear that there are $B_n$ of the former. Also, there are $S_n$ of the latter because each partition in group (2) is formed by adding $n+1$ to a set in a partition of ${1,2, \ldots, n}$. Thus, $B_{n+1}=B_n+S_n$.
The average number of blocks is the total number of blocks divided by the number of partitions. Hence, this average (for a fixed $n$ ) is equal
$$
A_n=\frac{1}{B_n} \sum_{k=1}^n k\left{\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right}=\frac{B_{n+1}}{B_n}-1 .
$$
Clearly, it is enough to show that $A_n$ is an increasing sequence ${ }^7$. Each partition of ${1,2, \ldots, n+1}$ can be associated with a partition of ${1,2, \ldots, n}$ by removing the element $n+1$ from the set containing it. Under the inverse of this mapping, each partition of ${1,2, \ldots, n}$ consisting of $k$ sets maps to $k$ partitions consisting of $k$ sets (if $n+1$ is placed in an already-existing set) and one partition consisting of $k+1$ sets (if $n+1$ is placed in a set by itself) out of the partitions of ${1,2, \ldots, n+1}$. Thus, partitions of ${1,2, \ldots, n}$ with more sets map to more partitions of ${1,2, \ldots, n+1}$ containing the same number of sets as well as one partition with one more set. This raises the average number of sets as we move from $n$ elements to $n+1$ elements, and thus $A_n$ is increasing. The proof is therefore done.
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The Bender-Canfield theorem
There is a condition for real sequences which is often useful to prove logconvexity or log-concavity. The statement is the following. Let $1, t_1, t_2, \ldots$ be a log-concave sequence of real numbers, and define $a_n$ via the generating function
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\exp \left(\frac{t_1}{1} x^1+\frac{t_2}{2} x^2+\frac{t_3}{3} x^3+\cdots\right) .
$$
Then $a_n$ is log-concave and $n ! a_n$ is log-convex.
This theorem was proved in [59] by E. A. Bender and R. Canfield. Let us see how to use it.
For instance, let us re-prove the log-convexity of the Bell numbers. Knowing that
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n !} u^n=\exp (\exp x-1)=\exp \left(\frac{1}{1 !} x^1+\frac{1}{2 !} x^2+\frac{1}{3 !} x^3+\cdots\right) .
$$
Thus, we choose $t_i=\frac{1}{(i-1) !}$ for all $i \geq 1$. Since
$$
\frac{1}{(i-2) !} \frac{1}{i !} \leq \frac{1}{(i-1) !}
$$
the sequence $t_i$ is log-concave. Then the Bender-Canfield theorem results that $B_n / n !$ is log-concave, and $n ! B_n / n !=B_n$ is log-convex.
We met the sequence $I_n$ counting involutions in Section 3.4. We saw that
$$
\sum_{n=0}^{\infty} I_n \frac{x^n}{n !}=e^{x+\frac{x^2}{2}} .
$$
Putting $x_1=x_2=1$, and $x_i=0$ for $i>2$ in (4.11), we see that we just get the result for the involutions. Since this $x_i$ sequence is log-concave, $I_n$ is log-convex, while $I_n / n$ ! is log-concave.
组合学代考
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The log-convexity of the Bell numbers
K. Engel 观察到 Bell 数满足对数凹性不等式的倒转 [216]。
定义 4.5.1。序列 $a_0, a_1, \ldots$ 是对数凸的，如果对所有 $k \geq 1$
$$
a_k^2 \leq a_{k-1} a_{k+1}
$$
因此，恩格尔的观察可以表述如下：贝尔数列形成一个对数凸数列:
$$
B_n^2 \leq B_{n-1} B_{n+1} \quad(n \geq 1)
$$
另见 [116]。Engel 的证明取决于 Harper [279] 的一些概率结果。
对数凸性的证明 $B_n$
我们要展示的证明来自 Spivey [532]。
一个分区的所有分区中的块总数 $n$ – 元素集是
在第 3 章的练习 3 中，要求读者证明
为了显示这一点，将由计数的分区分开 $B_{n+1}$ 到 (1) 那些有一个由单个元素组成的集合 $n+1(2)$ 没有的。 应该清楚的是，有 $B_n$ 前者。此外，还有 $S_n$ 后者是因为组 (2) 中的每个分区都是通过添加 $n+1$ 到一个分 区中的一个集合 $1,2, \ldots, n$. 因此， $B_{n+1}=B_n+S_n$.
平均块数是块总数除以分区数。因此，这个平均值（对于固定的 $n$ ) 是平等的
显然，足以证明 $A_n$ 是递增序列 ${ }^7$. 每个分区的 $1,2, \ldots, n+1$ 可以与分区相关联 $1,2, \ldots, n$ 通过删除元 素 $n+1$ 来自包含它的集合。在此映射的逆向下，每个分区 $1,2, \ldots, n$ 包含由…组成 $k$ 将地图设置为 $k$ 分 区组成 $k$ 集（如果 $n+1$ 被放置在一个已经存在的集合中）和一个分区由 $k+1$ 集 (如果 $n+1$ 被单独放 置在一个集合中）在分区之外 $1,2, \ldots, n+1$. 因此，分区 $1,2, \ldots, n$ 有更多的集合映射到更多的分区 $1,2, \ldots, n+1$ 包含相同数量的集合以及一个分区和另一个集合。当我们从 $n$ 元素到 $n+1$ 元素，因此 $A_n$ 在增加。因此证明成立。
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The Bender-Canfield theorem
实数序列有一个条件，通常可用于证明对数凸性或对数凹性。声明如下。让 $1, t_1, t_2, \ldots$ 是实数的对数凹 序列，并定义 $a_n$ 通过生成函数
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\exp \left(\frac{t_1}{1} x^1+\frac{t_2}{2} x^2+\frac{t_3}{3} x^3+\cdots\right)
$$
然后 $a_n$ 是对数凹的并且 $n ! a_n$ 是对数凸的。
EA Bender 和 R. Canfield 在 [59] 中证明了这个定理。让我们看看如何使用它。
例如，让我们重新证明贝尔数的对数凸性。知道
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n !} u^n=\exp (\exp x-1)=\exp \left(\frac{1}{1 !} x^1+\frac{1}{2 !} x^2+\frac{1}{3 !} x^3+\cdots\right) .
$$
因此，我们选择 $t_i=\frac{1}{(i-1) !}$ 对全部 $i \geq 1$. 自从
$$
\frac{1}{(i-2) !} \frac{1}{i !} \leq \frac{1}{(i-1) !}
$$
序列 $t_i$ 是对数凹的。然后 Bender-Canfield 定理的结果是 $B_n / n !$ 是对数凹的，并且 $n ! B_n / n !=B_n$ 是对 数凸的。
我们遇到了序列 $I_n$ 计算第 3.4 节中的对合。我们看到了
$$
\sum_{n=0}^{\infty} I_n \frac{x^n}{n !}=e^{x+\frac{x^2}{2}}
$$
推杆 $x_1=x_2=1$ ，和 $x_i=0$ 为了 $i>2$ 在 (4.11) 中，我们看到我们刚刚得到了对合的结果。从此 $x_i$ 序 列是对数凹的， $I_n$ 是对数凸的，而 $I_n / n !$ 是对数凹的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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