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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。
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数学代写|信息论作业代写information theory代考|Direct sum of Hilbert spaces and operators
In this section, we briefly review direct sum of Hilbert spaces and operators, which will be involved in proofs of many results in this and the next chapter.
Consider a family of complex Hilbert spaces $\left{\mathbb{H}i\right}{i \in I}$, where $\mathbb{I}$ is a finite or countably infinite index set. We define the direct sum of this family of Hilbert spaces as
$$
\bigoplus_{i \in \mathbb{I}} \mathbb{H}i=\left{\left(\psi_i\right){i \in \mathbf{I}} \in \prod_{i \in \mathbb{I}} \mathbb{H}i \mid \psi_i \in \mathbb{H}_i, i \in \mathbb{I} \text {, and } \sum{i \in \mathbb{I}}\left|\psi_i\right|_{\mathrm{H}i}^2<+\infty\right} \text {, } $$ where $\prod{i \in \mathbb{I}}$ denotes the Cartesian product and $\sum_{i \in \mathbb{I}}$ denotes the generalized sum. The direct sum $\bigoplus_{i \in \mathrm{I}} \mathbb{H}{i \in \mathrm{I}}$ is a complex Hilbert space equipped with the inner produce $\langle\cdot\rangle{\oplus} \oplus_{\mathrm{icI}} \mathrm{H}i$ defined by $$ \left\langle\left(\phi_i\right){i \in \mathbb{I}},\left(\psi_i\right){i \in \mathbb{I}}\right\rangle{\oplus_{i \in \mathbb{I}} \mathbb{H}i}=\sum{i \in \mathbb{I}}\left\langle\phi_i, \psi_i\right\rangle_{\mathrm{H}i}, \quad \forall\left(\phi_i\right){i \in \mathbb{I}},\left(\psi_i\right){i \in \mathbb{I}} \in \bigoplus{i \in \mathbb{I}} \mathbb{H}i $$ If $\mathbb{H}_i=\mathbb{H}$ for all $i \in \mathbb{I}$, one can easily prove that for each $k \in \mathbb{N}$, the $k$-fold direct sum $$ \mathbb{H}^{\oplus k}=\underbrace{\mathbb{H} \oplus \mathbb{H} \oplus \cdots \mathbb{H}}{k \text { folds }}
$$
is isomorphic to $\mathbb{C}^k \otimes \mathbb{H}$. The isomorphism between $\mathbb{H}^{\oplus k}$ and $\mathbb{C}^k \otimes \mathbb{H}$ is relevant in the context of superpositions of quantum states and entanglement.
Let $\left(\mathrm{H}n\right){n=1}^{+\infty}$ be a sequence of complex Hilbert spaces. Let $\bigoplus_{n=1}^{+\infty} \mathbb{H}n$ be the direct sum of $\left(\mathrm{H}_n\right){n=1}^{+\infty}$ (see (2.8) and (2.9) for the definition of direct sum of Hilbert spaces and related properties).
For each $n \in \mathbb{N}$, let $\mathbf{T}n \in \mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_n\right)$ be a bounded linear operator on $\mathbb{H}_n$. We define the direct sum $\mathbf{T}=\bigoplus{n=1}^{+\infty} \mathbf{T}n: \bigoplus{n=1}^{+\infty} \mathbb{H}n \rightarrow \bigoplus{n=1}^{+\infty} \mathbb{H}n$ by $$ \mathbf{T}(\varphi)=\left(\mathbf{T}_n\left(\varphi_n\right)\right){n=1}^{+\infty}, \quad \forall \varphi=\left(\varphi_n\right){n=1}^{+\infty} \text {, } $$ where $\varphi_n \in \mathbb{H}_n$. We have the following result regarding $\mathbf{T}: \bigoplus{n=1}^{+\infty} \mathbb{H}n \rightarrow \bigoplus{n=1}^{+\infty} \mathbb{H}_n$.
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Composite system as tensor products
The Hilbert space $\mathbb{H}$ representing a composite quantum system that consists of $n$ subsystems can be written as tensor product of $n$ Hilbert spaces of its component systems described by $\mathbb{H}1, \ldots, \mathbb{H}_n$, i. e., $\mathbb{H}=\mathbb{H}_1 \otimes \ldots \otimes \mathbb{H}_n$. In particular, for a bipartite quantum system $\mathbb{H}$ that consists of component systems $\mathbb{H}_A$ and $\mathbb{H}_B$, we write $\mathbb{H}=\mathbb{H}_A \otimes \mathbb{H}_B$ or simply $\mathbb{H}{A B}$ where the rules/properties of tensor product of Hilbert spaces and operators reviewed in Subsection 2.7.1 are applicable.
In this subsection, we are interested in computing partial traces of a bounded linear operator defined on a composite Hilbert space over each of its component Hilbert spaces.
Recall from (1.23) that $\operatorname{tr}[\mathbf{T}]$, the trace of $\mathbf{T} \in \mathcal{T}(\mathbb{H})$, is defined as $\operatorname{tr}[\mathbf{T}]=\sum_{i=1}^{+\infty}\left\langle\phi_i\right.$, $\left.\mathbf{T} \phi_i\right\rangle_{\mathbb{H}}$, where $\left{\phi_i\right}_{i=1}^{+\infty}$ is any orthonormal basis of $\mathbb{H}$.
Assume that a quantum system $A$ interacts with another quantum system $B$. In this case, the composite Hilbert space $\mathbb{H}$ can be decomposed in the form $\mathbb{H}=\mathbb{H}A \otimes \mathbb{H}_B:=$ $\mathbb{H}{A B}$, where subsystems $A$ and $B$ are represented by the complex Hilbert spaces $\mathbb{H}A$ and $\mathbb{H}_B$, respectively. The partial trace operators $\operatorname{tr}{\mathrm{H}A}[\cdots]: \tau\left(\mathbb{H}{A B}\right) \rightarrow \widetilde{I}\left(\mathbb{H}B\right)$ and $\operatorname{tr}{\mathbb{H}B}[\cdots]: \tau\left(\mathbb{H}{A B}\right) \rightarrow \tau\left(\mathbb{H}A\right)$ can be defined abstractly as $$ \operatorname{tr}{\mathrm{H}B}\left[\mathbf{T}_A \otimes \mathbf{T}_B\right]=\mathbf{T}_A \operatorname{tr}\left[\mathbf{T}_B\right] \text { and } \quad \operatorname{tr}{\mathrm{H}A}\left[\mathbf{T}_A \otimes \mathbf{T}_B\right]=\operatorname{tr}\left[\mathbf{T}_A\right] \mathbf{T}_B $$ For notational simplicity, we often write $\operatorname{tr}{\mathbb{H}A}[\cdots]$ as $\operatorname{tr}_A[\cdot], \operatorname{tr}{\mathrm{H}B}[\cdots]$ as $\operatorname{tr}_B[\cdots]$, etc. For any trace-class operator $\mathbf{T} \in \mathcal{T}\left(\mathbb{H}{A B}\right)$, we are interested in computing its partial trace $\operatorname{tr}_A[\mathbf{T}]\left(\in \mathcal{T}\left(\mathbb{H}_B\right)\right)$ taken over the Hilbert space $\mathbb{H}_A$ and partial trace $\operatorname{tr}_B[\mathbf{T}](\epsilon$ $\tau\left(\mathbb{H}_A\right)$ ) taken over $\mathbb{H}_B$. The concept of partial trace of trace-class operators on the system that consists of any finite number of subsystems can be similarly extended.
We illustrate how to compute $\operatorname{tr}B[\mathbf{T}]$ below (note that the partial trace $\operatorname{tr}_A[\mathbf{T}]$ can be similarly computed). Let $\left(\psi_i\right){i=1}^{+\infty}$ be an orthonormal basis for $\mathbb{H}B$. We consider the following isometric isomorphism: $$ \bigoplus{i=1}^{+\infty}\left(\mathbb{H}A \otimes \mathbb{C} \psi_i\right) \mapsto \mathbb{H}{A B}:=\mathbb{H}_A \otimes \mathbb{H}_B
$$
信息论代写
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Direct sum of Hilbert spaces and operators
本节简单回顾一下Hilbert空间的直和和算子，本章和下一章的很多结果的证明都会涉及到这些。 定义这个 Hilbert 空间族的直和为
在哪里 $\prod i \in \mathbb{I}$ 表示笛卡尔积和 $\sum_{i \in \mathbb{I}}$ 表示广义和。直和 $\bigoplus_{i \in \mathrm{I}} \mathbb{H} i \in \mathrm{I}$ 是一个复杂的希尔伯特空间，配备 了内积 $\langle\cdot\rangle \oplus \oplus_{\mathrm{icI}} \mathrm{H} i$ 被定义为
$\left\langle\left(\phi_i\right) i \in \mathbb{I},\left(\psi_i\right) i \in \mathbb{I}\right\rangle \oplus_{i \in \mathbb{I}} \mathbb{H} i=\sum i \in \mathbb{I}\left\langle\phi_i, \psi_i\right\rangle_{\mathrm{H} i}, \quad \forall\left(\phi_i\right) i \in \mathbb{I},\left(\psi_i\right) i \in \mathbb{I} \in \bigoplus i \in \mathbb{I} \mathbb{I} i$
如果 $\mathbb{H}i=\mathbb{H}$ 对全部 $i \in \mathbb{I}$ ，可以很容易地证明，对于每个 $k \in \mathbb{N}$ ，这 $k$-折直和 $\mathbb{H}^{\oplus k}=\underbrace{\mathbb{H} \oplus \mathbb{H}^{\oplus} \oplus \cdots \mathbb{H}} k$ folds 同构于 $\mathbb{C}^k \otimes \mathbb{H}$. 之间的同构 $\mathbb{H}^{\oplus k}$ 和 $\mathbb{C}^k \otimes \mathbb{H}$ 在量子态和纠缠的叠加背景下是相关的。 让 $(\mathrm{H} n) n=1^{+\infty}$ 是复数布尔伯特空间的序列。让 $\bigoplus{n=1}^{+\infty} \mathbb{H} n$ 是的直和 $\left(\mathrm{H}_n\right) n=1^{+\infty}$ (希尔伯特空间 直和的定义及相关性质见 (2.8) 和 (2.9))。
对于每个 $n \in \mathbb{N}$ ， 让 $T n \in \mathfrak{B}\left(\mathbb{H}_n\right)$ 是一个有界线性算子 $\mathbb{H}_n$. 我们定义直和
$\mathbf{T}=\bigoplus n=1^{+\infty} \mathbf{T} n: \bigoplus n=1^{+\infty} \mathbb{H} n \rightarrow \bigoplus n=1^{+\infty} \mathbb{H} n$ 经过
$$
\mathbf{T}(\varphi)=\left(\mathbf{T}_n\left(\varphi_n\right)\right) n=1^{+\infty}, \quad \forall \varphi=\left(\varphi_n\right) n=1^{+\infty}
$$
在哪里 $\varphi_n \in \mathbb{H}_n$. 我们有以下关于结果 $\mathbf{T}: \bigoplus n=1^{+\infty} \mathbb{H} n \rightarrow \bigoplus n=1^{+\infty} \mathbb{H}_n$.
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Composite system as tensor products
㹷尔伯特空间 $\mathbb{H}$ 表示由以下组成的复合量子系统 $n$ 子系统可以写成张量积 $n$ 其组成系统的希尔伯特空间描 $\mathbb{H}B$ ， 我们写 $\mathbb{H}=\mathbb{H}_A \otimes \mathbb{H}_B$ 或者简单地 $\mathbb{H} A B$ 在第 2.7 .1 小节中审查的希尔伯特空间和运算符的张量 积的规则/属性适用的地方。 在本小节中，我们感兴趣的是计算在复合 Hilbert 空间上定义的有界线性算子在其每个分量 Hilbert 空间 上的部分迹。 回想一下 (1.23)tr $[\mathbf{T}]$ ，的痕迹 $\mathbf{T} \in \mathcal{T}(\mathbb{H})$ ，定义为 $\operatorname{tr}[\mathbf{T}]=\sum{i=1}^{+\infty}\left\langle\phi_i, \mathbf{T} \phi_i\right\rangle_{\mathbb{H}^{\prime}}$ ，在哪里 \left {\phi_ilright $}{i=1}^{\wedge}{+\backslash$ infty $}$ 是任何正交基 $\mathbb{H}$.
假设一个量子系统 $A$ 与另一个量子系统相互作用 $B$. 在这种情况下，复合希尔伯特空间 $\mathbb{H}$ 可以分解成形式 $\mathbb{H}=\mathbb{H} A \otimes \mathbb{H}_B:=\mathbb{H} A B$ ，其中子系统 $A$ 和 $B$ 由复杂的莃尔伯特空间表示 $\mathbb{H} A$ 和 $\mathbb{H}_B$ ，分别。偏迹算 子 $\operatorname{tr} H A[\cdots]: \tau(\mathbb{H} A B) \rightarrow \tilde{I}(\mathbb{H} B)$ 和 $\operatorname{tr} \mathbb{H} B[\cdots]: \tau(\mathbb{H} A B) \rightarrow \tau(\mathbb{H} A)$ 可以抽象定义为 $\operatorname{tr} \mathrm{H} B\left[\mathbf{T}_A \otimes \mathbf{T}_B\right]=\mathbf{T}_A \operatorname{tr}\left[\mathbf{T}_B\right]$ and $\quad \operatorname{tr} \mathrm{H} A\left[\mathbf{T}_A \otimes \mathbf{T}_B\right]=\operatorname{tr}\left[\mathbf{T}_A\right] \mathbf{T}_B$
为了符号简单，我们经常写 $\operatorname{tr} \mathbb{H} A[\cdots]$ 作为 $\operatorname{tr}_A[\cdot], \operatorname{tr} \mathrm{H} B[\cdots]$ 作为 $\operatorname{tr}_B[\cdots]$ 等。对于任何跟踪类运算符 $\mathbf{T} \in \mathcal{T}(\mathbb{H} A B)$ ，我们有兴趣计算它的部分踪迹 $\operatorname{tr}_A[\mathbf{T}]\left(\in \mathcal{T}\left(\mathbb{H}_B\right)\right)$ 接管希尔伯特空间 $\mathbb{H}_A$ 和部分痕迹 $\operatorname{tr}_B[\mathbf{T}]\left(\epsilon \tau\left(\mathbb{H}_A\right)\right)$ 被占领了 $\mathbb{H}_B$. 可以类似地扩展由任意有限个子系统组成的系统上的跟踪类算子的部 分跟踪概念。
我们举例说明如何计算 $\operatorname{tr} B[\mathbf{T}]$ 下面（注意部分跟踪 $\operatorname{tr}_A[\mathbf{T}]$ 可以类似地计算）。让 $\left(\psi_i\right) i=1^{+\infty}$ 是正交 基础 $\mathbb{H} B$. 我们考虑以下等距同构:
$$
\bigoplus i=1^{+\infty}\left(\mathbb{H} A \otimes \mathbb{C} \psi_i\right) \mapsto \mathbb{H} A B:=\mathbb{H}_A \otimes \mathbb{H}_B
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。