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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。
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数学代写|信息论作业代写information theory代考|Support of Borel measures
Consider the Borel measurable space $(\mathrm{X}, \mathcal{B}(\mathrm{X}))$, where $\mathrm{X}$ is a locally compact Hausdorff space (for the purpose of this book, we can simply assume that $\mathrm{X}$ is either a separable Banach or Hilbert space or a closed subset of a Banach or Hilbert space) and $\mathcal{B}(\mathrm{X})$ is the Borel $\sigma$-algebra of open subsets of $\mathrm{X}$.
We also recall some basic definitions in measure theory (see, e. g., Halmos [58] and Rudin [133]) as follows.
If $\mu: \mathcal{B}(\mathrm{X}) \rightarrow[0,+\infty]$ is a function such that (i) $\mu(B) \geq 0$ for all $B \in \mathcal{B}(\mathrm{X})$; (ii) $\mu(\emptyset)=0$ and (iii) $\mu\left(\bigcup_{i=1}^{+\infty} A_i\right)=\sum_{i=1}^{+\infty} \mu\left(A_i\right)$ for any sequence $\left(A_i\right)_{i=1}^{+\infty}$ of pairwise disjoint Borel sets (i. e., $A_i \cap A_j=\emptyset$ if $i \neq j$ ), then $\mu$ is called a Borel measure on $(\mathrm{X}, \mathcal{B}(\mathrm{X}))$. In this case, the triplet $(X, \mathcal{B}(X), \mu)$ will be referred to as a Borel measure space.
A Borel measure $\mu$ on $(X, \mathcal{B}(X))$ is said to be inner regular if
$$
\mu(B)=\sup {\mu(F) \mid \text { compact } F \subseteq B}, \quad \forall B \in \mathcal{B}(\mathrm{X})
$$
is said to be outer regular if
$$
\mu(B)=\inf {\mu(G) \mid \text { open } G \supseteq B}, \quad \forall B \in \mathcal{B}(\mathrm{X})
$$
The Borel measure $\mu$ is regular if it is both inner regular and outer regular. The Borel measure $\mu$ is said to be a Radon measure if it is both inner regular and locally finite (i. e., $\mu(F)<+\infty$ for all compact Borel set $F$ ). If the Borel measure $\mu$ is such that $\mu(\mathrm{X})=1$, then $\mu$ is called a Borel probability measure and the triplet $(\mathrm{X}, \mathcal{B}(\mathrm{X}), \mu)$ is called a Borel probability space. The collection of all Borel probability measures on $X$ will be denoted by $\mathcal{P}(\mathrm{X})$.
Without further mention, all Borel measures discussed in this book are assumed to be regular Borel measures.
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Continuous ensembles
A Borel probability measure $\mu \in \mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H})$ ), which is not a discrete ensemble (atomic measure), will be referred to as a continuous ensemble. The subset of $\mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H}))$ that consists of continuous ensembles will be denoted by $\mathcal{P}^{\text {con }}(\mathcal{S}(\mathbb{H}))$. Therefore, the space $\mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H}))$ can be decomposed as
$$
\mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H}))=\mathcal{P}^{\mathrm{dis}}(\mathcal{S}(\mathbb{H})) \cup \mathcal{P}^{\mathrm{con}}(\mathcal{S}(\mathbb{H}))
$$
The concept of support of a Borel measure (see Definition 3.1.1) and that of spectrum (see Definition 1.4.2) of a self-adjoint linear operator on a Hilbert space are closely related (see Proposition 1.4.3).
Concepts of discrete ensemble and continuous ensembles in quantum states was first introduced in Oreshkov and Calsamiglia [120] and applied to the context of infinite-dimensional quantum information by Holevo and Shirokov [81].
Example 3.1. To explore the relation between the support of a probability measure and the spectrum of a self-adjoint linear operator on a Hilbert space, let $\mu$ be a regular Borel measure on the Borel measurable space $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$. Consider the multiplication operator $(\mathbf{A} f)(x)=x f(x)$ on its natural domain $$
\operatorname{dom}(\mathbf{A})=\left{f \in L^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mu) \mid x f(x) \in L^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mu)\right}
$$
The multiplication operator A defined is a self-adjoint operator on the complex Hilbert space $L^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mu)$ equipped with the inner product $\langle\cdot, \cdot\rangle_{L^2}$ (see Example 1.3 ). Indeed,
$$
\begin{aligned}
\langle f, \mathbf{A} g\rangle_{L^2} & =\int_{\mathbb{R}} \overline{f(x)} x g(x) \mu(d x) \
& =\int_{\mathbb{R}} x \overline{f(x)} g(x) \mu(d x) \
& =\langle\mathbf{A} f, g\rangle_{L^2}, \quad \forall f, g \in L^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mu) .
\end{aligned}
$$
Thus, $\mathbf{A}$ is a self-adjoint linear operator on $L^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mu)$ and its spectrum coincides with the essential range of the identity function, which is precisely the support of $\mu$.
信息论代写
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Support of Borel measures
考虑 Borel 可测空间 $(\mathrm{X}, \mathcal{B}(\mathrm{X})$ ， 在哪里X 是一个局部紧致的 Hausdorff 空间（就本书而言，我们可以 简单地假设 $\mathrm{X}$ 是可分离的 Banach 或 Hilbert 空间或 Banach 或 Hilbert 空间的闭子集) 和 $\mathcal{B}(\mathrm{X})$ 是宝来 $\sigma$ 的开子集的代数X.
我们还回顾了测度论中的一些基本定义 (例如，参见 Halmos [58] 和 Rudin [133]) 如下。
如果 $\mu: \mathcal{B}(\mathrm{X}) \rightarrow[0,+\infty]$ 是一个函数使得 (i) $\mu(B) \geq 0$ 对全部 $B \in \mathcal{B}(\mathrm{X})$; (二) $\mu(\emptyset)=0($ (三)
$\mu\left(\bigcup_{i=1}^{+\infty} A_i\right)=\sum_{i=1}^{+\infty} \mu\left(A_i\right)$ 对于任何序列 $\left(A_i\right)_{i=1}^{+\infty}$ 成对不相交的 Borel 集（即， $A_i \cap A_j=\emptyset$ 如果
$i \neq j)$ ， 然后 $\mu$ 称为 Borel 测度 $(\mathrm{X}, \mathcal{B}(\mathrm{X}))$. 在这种情况下，三胞胎 $(X, \mathcal{B}(X), \mu)$ 将被称为 Borel 测度
空间。
Borel 措施 $\mu$ 在 $(X, \mathcal{B}(X))$ 如果
$$
\mu(B)=\sup \mu(F) \mid \text { compact } F \subseteq B, \quad \forall B \in \mathcal{B}(\mathrm{X})
$$
如果
$$
\mu(B)=\inf \mu(G) \mid \operatorname{open} G \supseteq B, \quad \forall B \in \mathcal{B}(\mathrm{X})
$$
Borel 测量 $\mu$ 如果它既是内部规则又是外部规则，则它是规则的。Borel 测量 $\mu$ 如果它既是内规则的又是局 部有限的（即， $\mu(F)<+\infty$ 适用于所有紧凑型 Borel 套装 $F$ ). 如果 Borel 测量 $\mu$ 是这样的 $\mu(\mathrm{X})=1$ ， 然后 $\mu$ 被称为 Borel 概率测度和三元组 $(\mathrm{X}, \mathcal{B}(\mathrm{X}), \mu)$ 称为 Borel 概率空间。所有 Borel 概率测度的集合 $X$ 将被表示为 $\mathcal{P}(\mathrm{X})$.
无需进一步提及，本书中讨论的所有 Borel 测度均假定为常规 Borel 测度。
数学代写|信息论作业代写information theory代考|Continuous ensembles
Borel 概率测度 $\mu \in \mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H})$ )，它不是离散系综（原子测度），将被称为连续系综。的子集 $\mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H})$ )由 连续系综组成的将表示为 $\mathcal{P}^{\text {con }}(\mathcal{S}(\mathbb{H}))$. 因此，空间 $\mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H}))$ 可以分解为
$$
\mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H}))=\mathcal{P}^{\text {dis }}(\mathcal{S}(\mathbb{H})) \cup \mathcal{P}^{\text {con }}(\mathcal{S}(\mathbb{H}))
$$
Borel 测度的支持概念 (见定义 3.1.1) 和希尔伯特空间上自伴线性算子的谱支持概念 (见定义 1.4.2) 密 切相关（见命题 1.4.3) 。
量子态中离散系综和连续系综的概念首先由 Oreshkov 和 Calsamiglia [120] 引入，并由 Holevo 和 Shirokov [81] 应用于无限维量子信息的背景。
示例 3.1。为了探索概率测度的支持与希尔伯特空间上自伴线性算子的谱之间的关系，让 $\mu$ 是 Borel 可测 空间上的常规 Borel 测度 $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$. 考虑乘法运算符 $(\mathbf{A} f)(x)=x f(x)$ 在其自然领域
定义的乘法运算符 $\mathrm{A}$ 是复 Hilbert 空间上的自伴随运算符 $L^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mu)$ 配备内积 $\langle\cdot, \cdot\rangle_{L^2}$ (参见示例 1.3)。的确，
$$
\langle f, \mathbf{A} g\rangle_{L^2}=\int_{\mathbb{R}} \overline{f(x)} x g(x) \mu(d x) \quad=\int_{\mathbb{R}} x \overline{f(x)} g(x) \mu(d x)=\langle\mathbf{A} f, g\rangle_{L^2}, \quad \forall f, g \in L^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}
$$
因此， $\mathbf{A}$ 是一个自伴随线性算子 $L^2(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mu)$ 其谱与恒等函数的本质范围重合，恰恰是对的支持 $\mu$.
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。