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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Generalized Cramer Formula
We study in this subsection some generalizations of the usual Cramer formulas. We will exploit these in the following paragraphs.
For a matrix $A \in \mathbf{A}^{m \times n}$ we denote by $A_{\alpha, \beta}$ the matrix extracted on the rows $\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_r\right} \subseteq \llbracket 1 . . m \rrbracket$ and the columns $\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_s\right} \subseteq \llbracket 1 . . n \rrbracket$.
Suppose that the matrix $A$ is of rank $\leqslant k$. Let $V \in \mathbf{A}^{m \times 1}$ be a column vector such that the bordered matrix $[A \mid V]$ is also of rank $\leqslant k$. Let us call $A_j$ the $j$-th column of $A$. Let $\mu_{\alpha, \beta}=\operatorname{det}\left(A_{\alpha, \beta}\right)$ be the minor of order $k$ of the matrix $A$ extracted on the rows $\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_k\right}$ and the columns $\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_k\right}$. For $j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket$ let $\nu_{\alpha, \beta, j}$ be the determinant of the same extracted matrix, except that the column $j$ has been replaced with the extracted column of $V$ on the rows $\alpha$. Then, we obtain for each pair $(\alpha, \beta)$ of multi-indices a Cramer identity:
$$
\mu_{\alpha, \beta} V=\sum_{j=1}^k \nu_{\alpha, \beta, j} A_{\beta_j}
$$
due to the fact that the rank of the bordered matrix $\left[A_{1 . . m, \beta} \mid V\right]$ is $\leqslant k$. This can be read as follows:
$$
\begin{aligned}
\mu_{\alpha, \beta} V &=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}
\nu_{\alpha, \beta, 1} \
\vdots \
\nu_{\alpha, \beta, k}
\end{array}\right] \
&=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left[\begin{array}{c}
v_{\alpha_1} \
\vdots \
v_{\alpha_k}
\end{array}\right] \
&=A \cdot\left(\mathrm{I}n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 . m} \cdot V
\end{aligned}
$$
This leads us to introduce the following notation.
5.12 Notation We denote by $\mathcal{P}{\ell}$ the set of parts of $\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$ and $\mathcal{P}{k, \ell}$ the set of parts of $\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$ with $k$ elements. For $A \in \mathbf{A}^{m \times n}$ and $\alpha \in \mathcal{P}{k, m}, \beta \in \mathcal{P}{k, n}$
$$
\operatorname{Adj}{\alpha, \beta}(A):=\left(\mathrm{I}_n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 \ldots m} .
$$
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Generalized Inverses and Locally Simple Maps
Let $E$ and $F$ be two $\mathbf{A}$-modules, and $\varphi: E \rightarrow F$ be a linear map. We can see this as some sort of generalized system of linear equations (a usual system of linear equations corresponds to the free modules of finite rank case). Informally such a system of linear equations is considered to be “well-conditioned” if there is a systematic way to solve the equation $\varphi(x)=y$ for $x$ from a given $y$, when such a solution exists. More precisely, we ask if there exists a linear map $\psi: F \rightarrow E$ satisfying $\varphi(\psi(y))=y$ each time there exists a solution $x$. This amounts to asking $\varphi(\psi(\varphi(x)))=\varphi(x)$ for all $x \in E$.
This clarifies the importance of the Eq. (17) and leads to the notion of a generalized inverse.
The terminology regarding generalized inverses does not seem fully fixed. We adopt that of [Lancaster \& Tismenetsky].
In the book [Bhaskara Rao], the author uses the term “reflexive g-inverse.”
5.16 Definition Let $E$ and $F$ be two A-modules, and $\varphi: E \rightarrow F$ be a linear map. A linear map $\psi: F \rightarrow E$ is called a generalized inverse of $\varphi$ if we have
$$
\varphi \circ \psi \circ \varphi=\varphi \text { and } \psi \circ \varphi \circ \psi=\psi
$$
A linear map is said to be locally simple when it has a generalized inverse. The following fact is immediate.
5.17 Fact When $\psi$ is a generalized inverse of $\varphi$, we have:
- $\varphi \psi$ and $\psi \varphi$ are projections,
$-\operatorname{Im} \varphi=\operatorname{Im} \varphi \psi, \operatorname{Im} \psi=\operatorname{Im} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \varphi=\operatorname{Ker} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \psi=\operatorname{Ker} \varphi \psi$,
$-E=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \operatorname{Im} \psi$ and $F=\operatorname{Ker} \psi \oplus \operatorname{Im} \varphi$,
$-\operatorname{Ker} \varphi \simeq \operatorname{Coker} \psi$ and $\operatorname{Ker} \psi \simeq \operatorname{Coker} \varphi$.
Moreover $\varphi$ and $\psi$ provide by restriction reciprocal isomorphisms $\varphi_1$ and $\psi_1$ between $\operatorname{Im} \psi$ and $\operatorname{Im} \varphi$. In matrix form we obtain:
Remarks
1) If we have a linear map $\psi_0$ satisfying as in Theorem $5.14$ the equality $\varphi \psi_0 \varphi=\varphi$, we obtain a generalized inverse of $\varphi$ by stating $\psi=\psi_0 \varphi \psi_0$. In other words, a linear map $\varphi$ is locally simple if and only if there exists a $\psi$ satisfying $\varphi \psi \varphi=\varphi$.
2) A simple linear map between free modules of finite rank is locally simple (immediate verification).
3) Theorem $5.14$ informs us that a linear map which has rank $k$ in the sense of Definition $5.7$ is locally simple.
交换代数代考
数学代写|交换代数代写交换代数代考|广义Cramer公式
在这一小节中，我们研究一些常用Cramer公式的推广。我们将在接下来的段落中探讨这些
对于矩阵$A \in \mathbf{A}^{m \times n}$，我们用$A_{\alpha, \beta}$表示在行$\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_r\right} \subseteq \llbracket 1 . . m \rrbracket$和列$\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_s\right} \subseteq \llbracket 1 . . n \rrbracket$上提取的矩阵
假设矩阵$A$的秩是$\leqslant k$。设$V \in \mathbf{A}^{m \times 1}$是一个列向量，使得有边界的矩阵$[A \mid V]$的秩也是$\leqslant k$。让我们称$A_j$为$A$的$j$ -th列。设$\mu_{\alpha, \beta}=\operatorname{det}\left(A_{\alpha, \beta}\right)$是在行$\alpha=\left{\alpha_1, \ldots, \alpha_k\right}$和列$\beta=\left{\beta_1, \ldots, \beta_k\right}$上提取的矩阵$A$的$k$次余子数。对于$j \in \llbracket 1 . . k \rrbracket$，设$\nu_{\alpha, \beta, j}$为相同提取矩阵的行列式，只是列$j$已被$\alpha$行上提取的列$V$所取代。然后，对于每一对多指标$(\alpha, \beta)$，我们得到一个Cramer恒等式:
$$
\mu_{\alpha, \beta} V=\sum_{j=1}^k \nu_{\alpha, \beta, j} A_{\beta_j}
$$
，这是因为有边界矩阵$\left[A_{1 . . m, \beta} \mid V\right]$的秩为$\leqslant k$。
$$
\begin{aligned}
\mu_{\alpha, \beta} V &=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot\left[\begin{array}{c}
\nu_{\alpha, \beta, 1} \
\vdots \
\nu_{\alpha, \beta, k}
\end{array}\right] \
&=\left[A_{\beta_1} \ldots A_{\beta_k}\right] \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left[\begin{array}{c}
v_{\alpha_1} \
\vdots \
v_{\alpha_k}
\end{array}\right] \
&=A \cdot\left(\mathrm{I}n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 . m} \cdot V
\end{aligned}
$$
这导致我们引入以下表示法:
5.12表示法我们用$\mathcal{P}{\ell}$表示$\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$的部分的集合，用$\mathcal{P}{k, \ell}$表示$\llbracket 1 . . \ell \rrbracket$的部分的集合，其中包含$k$元素。对于$A \in \mathbf{A}^{m \times n}$和$\alpha \in \mathcal{P}{k, m}, \beta \in \mathcal{P}{k, n}$
$$
\operatorname{Adj}{\alpha, \beta}(A):=\left(\mathrm{I}_n\right){1 \ldots n, \beta} \cdot \operatorname{Adj}\left(A_{\alpha, \beta}\right) \cdot\left(\mathrm{I}m\right){\alpha, 1 \ldots m} .
$$
数学代写|交换代数代写交换代数代考|广义逆和局部简单映射
设$E$和$F$是两个$\mathbf{A}$ -模块，$\varphi: E \rightarrow F$是一个线性映射。我们可以把它看作某种广义线性方程组(通常的线性方程组对应于有限秩情况下的自由模)。非正式地说，这样的线性方程组被认为是“条件良好”的，如果有一种系统的方法可以从给定的$y$解出方程$\varphi(x)=y$ for $x$，如果这样的解存在。更准确地说，我们问是否存在一个线性映射$\psi: F \rightarrow E$满足$\varphi(\psi(y))=y$每次存在一个解$x$。这相当于向$\varphi(\psi(\varphi(x)))=\varphi(x)$请求所有$x \in E$。 这阐明了式(17)的重要性，并引出了广义逆的概念 关于广义逆的术语似乎并不完全固定。我们采用[兰开斯特＆蒂斯曼涅茨基]。
在书中[Bhaskara Rao]，作者使用术语“自反g逆”。
5.16定义设$E$和$F$是两个a模，$\varphi: E \rightarrow F$是一个线性映射。如果我们有
$$
\varphi \circ \psi \circ \varphi=\varphi \text { and } \psi \circ \varphi \circ \psi=\psi
$$
一个线性映射$\psi: F \rightarrow E$被称为$\varphi$的广义逆，当一个线性映射有广义逆时，它被称为局部简单的。下面的事实是直接的 当$\psi$是$\varphi$的广义逆时，我们有:
- $\varphi \psi$ 和 $\psi \varphi$ 是投影，
$-\operatorname{Im} \varphi=\operatorname{Im} \varphi \psi, \operatorname{Im} \psi=\operatorname{Im} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \varphi=\operatorname{Ker} \psi \varphi, \operatorname{Ker} \psi=\operatorname{Ker} \varphi \psi$，
$-E=\operatorname{Ker} \varphi \oplus \operatorname{Im} \psi$ 和 $F=\operatorname{Ker} \psi \oplus \operatorname{Im} \varphi$，
$-\operatorname{Ker} \varphi \simeq \operatorname{Coker} \psi$ 和 $\operatorname{Ker} \psi \simeq \operatorname{Coker} \varphi$
此外 $\varphi$ 和 $\psi$ 通过限制提供互同构 $\varphi_1$ 和 $\psi_1$ 之间 $\operatorname{Im} \psi$ 和 $\operatorname{Im} \varphi$。在矩阵形式中，我们得到:
备注
1)如果我们有一个线性映射 $\psi_0$ 在定理中满足 $5.14$ 平等 $\varphi \psi_0 \varphi=\varphi$的广义逆 $\varphi$ 通过说明 $\psi=\psi_0 \varphi \psi_0$。换句话说，一个线性映射 $\varphi$ 当且仅当存在 $\psi$ 令人满意的 $\varphi \psi \varphi=\varphi$.
2)有限秩自由模之间的简单线性映射是局部简单的(立即验证) $5.14$ 告诉我们有秩的线性映射 $k$ 在定义的意义上 $5.7$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。