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交换代数Commutative Algebra代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了交换环的一个重要类别。与模运算相关的考虑导致了估值环的概念。代数域扩展对子域的限制导致了积分扩展和积分闭域的概念以及估值环扩展的分支的概念。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Rings of fractions
9.1 Remarks. Let $M$ be a module over the commutative ring $R$. By a minimal generating set for $M$ we shall mean a subset, say $\Delta$, of $M$ such that $\Delta$ generates $M$ but no proper subset of $\Delta$ generates $M$.
Observe that if $M$ is finitely generated, by $g_1, \ldots, g_n$ say, then a minimal generating set $\Delta$ for $M$ must be finite: this is because each $g_i(1 \leq i \leq n)$ can be expressed as
$$
g_i=\sum_{\delta \in \Delta} r_{i \delta} \delta
$$
with $r_{i \delta} \in R$ for all $\delta \in \Delta$ and almost all the $r_{i \delta}$ zero, so that the finite subset $\Delta^{\prime}$ of $\Delta$ given by
$$
\Delta^{\prime}=\bigcup_{i=1}^n\left{\delta \in \Delta: r_{i \delta} \neq 0\right}
$$
also generates $M$. (Recall that ‘almost all’ is an abbreviation for ‘all except possibly finitely many’.)
However, even a finitely generated $R$-module $M$ may have two minimal generating sets which have different cardinalities; that is, the number of elements in one minimal generating set for $M$ need not be the same as the number in another. To give an example of this phenomenon, consider the $\mathbb{Z}$-module $\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}$ : it is easy to check that ${1+6 \mathbb{Z}}$ and ${2+6 \mathbb{Z}, 3+6 \mathbb{Z}}$ are both minimal generating sets for $\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}$.
Of course, this unpleasant situation does not occur in vector space theory: a minimal generating set for a finitely generated vector space over a field forms a basis. We show now that it cannot occur for finitely generated modules over quasi-local rings. An interesting aspect of the discussion is that we use Nakayama’s Lemma to reduce to a situation where we can use vector space theory.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Modules over principal ideal domains
10.1 $\sharp$ EXERCISE. Let $R$ be a commutative ring, let $n \in \mathbb{N}$ and let $F$ be a free $R$-module with a base $\left(e_i\right)_{i=1}^n$ of $n$ elements. Let $c_1, \ldots, c_n \in R$. By
$$
f: F \longrightarrow \bigoplus_{i=1}^n R / R c_i
$$
such that $f\left(\sum_{i=1}^n r_i e_i\right)=\left(r_1+R c_1, \ldots, r_n+R c_n\right)$ for all $r_1, \ldots, r_n \in R$, and clearly $f$ is an epimorphism.
Show that $\operatorname{Ker} f$ is generated by $c_1 e_1, \ldots, c_n e_n$. Show further that, if $R$ is an integral domain, then $\operatorname{Ker} f$ is free, and determine $\operatorname{rank}(\operatorname{Ker} f)$ in this case.
Now let us return to our finitely generated module, $G$ say, over our PID $R$. Suppose that $G$ has a generating set with $n$ elements, where $n \in \mathbb{N}$. By $6.57, G$ can be expressed as a homomorphic image of a free $R$-module $F$ with a base $\left(e_i\right){i=1}^n$ of $n$ elements. Thus there is a submodule $H$ of $F$ such that $F / H \cong G$. If we could find $c_1, \ldots, c_n \in R$ such that $H$ is generated by $c_1 e_1, \ldots, c_n e_n$, then it would follow from 10.1 above that $$ G \cong F / H \cong R / R c_1 \oplus \cdots \oplus R / R c_n, $$ a direct sum of cyclic $R$-modules. In general, it is too much to hope that, for a specified base $\left(e_i\right){i=1}^n$ for $F$, it will always be possible to find such $c_1, \ldots, c_n \in R$ with the property that $H$ is generated by $c_1 e_1, \ldots, c_n e_n$ : just consider the $\mathbb{Z}$-submodule of $F^{\prime}:=\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ generated by $(1,3)$ and the base $\left(\tilde{e}i\right){i=1}^2$ for $F^{\prime}$ given by $\tilde{e}1=(1,0), \tilde{e}_2=(0,1)$. However, in this example, $(1,3)$ and $(0,1)$ form another base for $F^{\prime}$, and this is symptomatic of the general situation: we shall see that, given the submodule $H$ of the above finitely generated free module $F$ over the PID $R$, then it is always possible to find a base $\left(e_i^{\prime}\right){i=1}^n$ for $F$ and $c_1^{\prime}, \ldots, c_n^{\prime} \in R$ such that $H$ is generated by $c_1^{\prime} e_1^{\prime}, \ldots, c_n^{\prime} e_n^{\prime}$. This result provides the key to some of the main results of the chapter; our proof of it makes significant use of the fact that $R$ is a PID.
交换代数代考
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9.1备注设$M$为可交换环$R$上的一个模。所谓$M$的最小生成集，我们指的是$M$的一个子集，比如$\Delta$，使得$\Delta$生成$M$，而$\Delta$的适当子集不能生成$M$。
注意，如果$M$是由$g_1, \ldots, g_n$有限生成的，那么$M$的最小生成集$\Delta$必须是有限的:这是因为每个$g_i(1 \leq i \leq n)$都可以表示为
$$
g_i=\sum_{\delta \in \Delta} r_{i \delta} \delta
$$
用$r_{i \delta} \in R$对全部$\delta \in \Delta$和几乎全部$r_{i \delta}$取零，使$\Delta$的有限子集$\Delta^{\prime}$由
$$
\Delta^{\prime}=\bigcup_{i=1}^n\left{\delta \in \Delta: r_{i \delta} \neq 0\right}
$$
还生成$M$。(回想一下，‘almost all’是‘all except possibly limited many’的缩写。)
然而，即使是有限生成的$R$ -module $M$也可能有两个具有不同基数的最小生成集;也就是说，$M$的一个最小发电集中的元素数量不必与另一个最小发电集中的元素数量相同。要给出这种现象的示例，请考虑$\mathbb{Z}$ -模块$\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}$:很容易检查${1+6 \mathbb{Z}}$和${2+6 \mathbb{Z}, 3+6 \mathbb{Z}}$都是$\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z}$的最小发电集。
当然，这种不愉快的情况不会发生在向量空间理论中:在一个场上有限生成的向量空间的最小生成集形成了一个基。我们现在证明，对于准局部环上有限生成的模，它不可能发生。讨论的一个有趣的方面是我们使用中山引理来简化到我们可以使用向量空间理论的情况。
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10.1 $\sharp$ 锻炼。让 $R$ 是交换环，设 $n \in \mathbb{N}$ 让 $F$ 做一个自由的人 $R$-带底座的模块 $\left(e_i\right)_{i=1}^n$ 的 $n$ 元素。让 $c_1, \ldots, c_n \in R$． By
$$
f: F \longrightarrow \bigoplus_{i=1}^n R / R c_i
$$
因此，$f\left(\sum_{i=1}^n r_i e_i\right)=\left(r_1+R c_1, \ldots, r_n+R c_n\right)$对于所有$r_1, \ldots, r_n \in R$来说，显然$f$是一个外胚。
说明$\operatorname{Ker} f$是由$c_1 e_1, \ldots, c_n e_n$生成的。进一步说明，如果$R$是一个积分域，那么$\operatorname{Ker} f$是自由域，并在本例中确定$\operatorname{rank}(\operatorname{Ker} f)$。
现在让我们回到有限生成模块， $G$ 比如说，除以PID $R$． 假设 $G$ 有发电机组吗 $n$ 元素，其中 $n \in \mathbb{N}$． By $6.57, G$ 可以表示为一个自由的 $R$-模块 $F$ 有一个基底 $\left(e_i\right){i=1}^n$ 的 $n$ 元素。因此有一个子模块 $H$ 的 $F$ 这样 $F / H \cong G$． 如果我们能找到 $c_1, \ldots, c_n \in R$ 这样 $H$ 是由 $c_1 e_1, \ldots, c_n e_n$，那么从上面的10.1开始 $$ G \cong F / H \cong R / R c_1 \oplus \cdots \oplus R / R c_n, $$ 一个环的直接和 $R$-modules。一般来说，对于一个特定的基数，希望这样做是太过分了 $\left(e_i\right){i=1}^n$ 为了 $F$，你总有可能找到这样的人 $c_1, \ldots, c_n \in R$ 它的性质是 $H$ 是由 $c_1 e_1, \ldots, c_n e_n$ 考虑一下吧。 $\mathbb{Z}$的子模块 $F^{\prime}:=\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ 由 $(1,3)$ 底 $\left(\tilde{e}i\right){i=1}^2$ 为了 $F^{\prime}$ 由 $\tilde{e}1=(1,0), \tilde{e}_2=(0,1)$． 然而，在这个例子中， $(1,3)$ 和 $(0,1)$ 形成另一个基底 $F^{\prime}$，这是一般情况的症状:我们将看到，给定子模块 $H$ 的有限生成的自由模块 $F$ 过PID $R$，那么总有可能找到一个底 $\left(e_i^{\prime}\right){i=1}^n$ 为了 $F$ 和 $c_1^{\prime}, \ldots, c_n^{\prime} \in R$ 这样 $H$ 是由 $c_1^{\prime} e_1^{\prime}, \ldots, c_n^{\prime} e_n^{\prime}$． 这个结果为本章的一些主要结果提供了关键;我们对它的证明重要地利用了这样一个事实 $R$ 是一个PID。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。