如果你也在 怎样代写交换代数Commutative Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。交换代数Commutative Algebra本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。
交换代数Commutative Algebra代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了交换环的一个重要类别。与模运算相关的考虑导致了估值环的概念。代数域扩展对子域的限制导致了积分扩展和积分闭域的概念以及估值环扩展的分支的概念。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Rings of fractions
Recall the construction: if $R$ is an integral domain, then $S:=R \backslash{0}$ is a multiplicatively closed subset of $R$ in the sense of 3.43 (that is $1 \in S$ and $S$ is closed under multiplication); an equivalence relation $\sim$ on $R \times S$ given by, for $(a, s),(b, t) \in R \times S$,
$$
(a, s) \sim(b, t) \quad \Longleftrightarrow \quad a t-b s=0
$$
is considered; the equivalence class which contains $(a, s)$ (where $(a, s) \in$ $R \times S$ ) is denoted by $a / s$; and the set of all the equivalence classes of $\sim$ can be given the structure of a field in such a way that the rules for addition and multiplication resemble exactly the familiar high school rules for addition and multiplication of fractions.
The generalization which concerns us in this chapter applies to any multiplicatively closed subset $S$ of an arbitrary commutative ring $R$ : once again, we consider an equivalence relation on the set $R \times S$, but in this case the definition of the relation is more complicated in order to overcome problems created by the possible presence of zerodivisors. Apart from this added complication, the construction is remarkably similar to that of the field of fractions of an integral domain, although the end product does not have quite such good properties: we do not often get a field, and, in fact, the general construction yields what is known as the ring of fractions $S^{-1} R$ of $R$ with respect to the multiplicatively closed subset $S$; this ring of fractions may have non-zero zerodivisors; and, although there is a natural ring homomorphism $f: R \rightarrow S^{-1} R$, this map is not automatically injective.
However, on the credit side, we should point out right at the beginning that one of the absolutely fundamental examples of this construction arises when we take for the multiplicatively closed subset $S$ of $R$ the complement $R \backslash P$ of a prime ideal $P$ of $R$ : in this case, the new ring of fractions $S^{-1} R$ turns out to be a quasi-local ring, denoted by $R_P$; furthermore, the passage from $R$ to $R_P$ for appropriate $P$, referred to as ‘localization at $P$ ‘, is often a powerful tool in commutative algebra.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Modules
Definition. Let $R$ be a commutative ring. A module over $R$, or an $R$-module, is an additively written Abelian group $M$ furnished with a ‘scalar multiplication’ of its elements by elements of $R$, that is, a mapping
$$
\text { . }: R \times M \rightarrow M \text {, }
$$
such that
(i) $r .\left(m+m^{\prime}\right)=r . m+r . m^{\prime}$ for all $r \in R, m, m^{\prime} \in M$,
(ii) $\left(r+r^{\prime}\right) \cdot m=r . m+r^{\prime} \cdot m$ for all $r, r^{\prime} \in R, m \in M$,
(iii) $\left(r r^{\prime}\right) \cdot m=r \cdot\left(r^{\prime} \cdot m\right)$ for all $r, r^{\prime} \in R, m \in M$, and
(iv) $1_R \cdot m=m$ for all $m \in M$.
6.2 REMARKs. (i) In practice, the ‘ ‘ denoting scalar multiplication of a module element by a ring element is usually omitted.
(ii) The axioms in 6.1 should be familiar to the reader from his undergraduate studies of vector spaces. Indeed, a module over a field $K$ is just a vector space over $K$. In our study of module theory, certain fundamental facts about vector spaces will play a crucial rôle: it will be convenient for us to introduce the abbreviation $K$-space for the more cumbersome ‘vector space over $K$ ‘.
(iii) The axioms in 6.1 have various easy consequences regarding the manipulation of expressions involving addition, subtraction and scalar multiplication, such as, for example, the fact that
$$
\left(r-r^{\prime}\right) m=r m-r^{\prime} m \quad \text { for all } r, r^{\prime} \in R \text { and } m \in M \text {. }
$$
We shall not dwell on such points.
Examples. Let $R$ be a commutative ring, and let $I$ be an ideal of $R$.
(i) A very important example of an $R$-module is $R$ itself: $R$ is, of course, an Abelian group, the multiplication in $R$ gives us a mapping
$$
\text { . : } R \times R \rightarrow R,
$$
and the ring axioms ensure that this ‘scalar multiplication’ turns $R$ into an $R$-module.
(ii) Since $I$ is closed under addition and under multiplication by arbitrary elements of $R$, it follows that $I$ too is an $R$-module under the addition and multiplication of $R$.
(iii) We show next that the residue class ring $R / I$ can be viewed as an $R$-module. Of course, $R / I$ has a natural Abelian group structure; we need to provide it with a scalar multiplication by elements of $R$. To this end, let $s, s^{\prime} \in R$ be such that $s+I=s^{\prime}+I$ in $R / I$, and let $r \in R$. Thus $s-s^{\prime} \in I$, and so $r s-r s^{\prime}=r\left(s-s^{\prime}\right) \in I$; hence $r s+I=r s^{\prime}+I$. It follows that we can unambiguously define a mapping
$$
\begin{array}{ccc}
R \times R / I & \longrightarrow & R / I \
(r, s+I) & \longmapsto & r s+I,
\end{array}
$$
and it is routine to check that $R / I$ becomes an $R$-module with respect to this ‘scalar multiplication’.
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Rings of fractions
回想一下结构:如果$R$是一个积分域，那么$S:=R \反斜杠{0}$是$R$在3.43意义上的乘闭子集(即$1 \在S$中并且$S$在乘法下是闭的);对于$(a, S)， $(b, t) \在R \ * S$上的等价关系$\sim$给出，
$ $
(a, s) \sim(b, t) \quad \ longlefightrow \quad a t-b s=0
$ $
被认为是;包含$(a, s)$(其中$(a, s) \在$ $R \乘以s$中)的等价类用$a / s$表示;并且所有等价类的集合$\sim$可以给出一个域的结构这样的加法和乘法规则就像我们所熟悉的高中分数的加法和乘法规则一样。
本章所讨论的概化适用于任意交换环R$的任何相乘闭子集S$:我们再一次考虑集合R$ \乘以S$上的等价关系，但在这种情况下，关系的定义更为复杂，以便克服可能存在零因子所产生的问题。除了这个额外的复杂性之外，它的构造与积分域的分数域的构造非常相似，尽管最终产物没有那么好的性质:我们不经常得到一个域，事实上，一般的构造产生了所谓的分数环$S^{-1} R$， $R$相对于乘闭子集$S$;这个分数环可以有非零的零因子;并且，虽然存在一个自然环同态$f: R \右移S^{-1} R$，但是这个映射不是自动内射的。
然而，从好的方面来说，我们应该在一开始就指出当我们取R$的乘闭子集$S$的补$R \反斜线P$时，这种构造的一个绝对基本的例子出现了:在这种情况下，新的分数环$S^{-1} R$是一个拟局部环，用$R_P$表示;此外，从$R$到$R_P$的适当$P$的通道，称为“在$P$的定位”，通常是交换代数中的一个强大工具。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Modules
定义。设$R$为可交换环。$R$上的一个模块，或$R$ -模块，是一个加法写的阿贝尔群$M$，它的元素与$R$的元素进行“标量乘法”，即映射
$$
\text { . }: R \times M \rightarrow M \text {, }
$$
这样
(i) $r .\left(m+m^{\prime}\right)=r . m+r . m^{\prime}$适用于所有$r \in R, m, m^{\prime} \in M$;
(ii) $\left(r+r^{\prime}\right) \cdot m=r . m+r^{\prime} \cdot m$适用于所有$r, r^{\prime} \in R, m \in M$;
(iii) $\left(r r^{\prime}\right) \cdot m=r \cdot\left(r^{\prime} \cdot m\right)$适用于所有$r, r^{\prime} \in R, m \in M$，以及
(iv) $1_R \cdot m=m$适用于所有$m \in M$。
6.2备注(i)在实践中，表示模块元素与环元素的标量乘法的“”通常被省略。
(ii)在本科学习过向量空间的读者应该熟悉6.1中的公理。事实上，一个模在一个场$K$上就是一个向量空间在$K$上。在我们对模块理论的研究中，关于向量空间的一些基本事实将起到至关重要的rôle作用:为了方便起见，我们引入了缩写$K$ -space来代替更繁琐的“$K$上的向量空间”。
(iii) 6.1中的公理对于涉及加法、减法和标量乘法的表达式的操作有各种简单的结果，例如
$$
\left(r-r^{\prime}\right) m=r m-r^{\prime} m \quad \text { for all } r, r^{\prime} \in R \text { and } m \in M \text {. }
$$
我们将不再详述这些问题。
例子。设$R$为交换环，设$I$为$R$的一个理想。
(i) $R$ -模块的一个非常重要的例子是$R$本身:$R$当然是一个阿贝尔群，在$R$中的乘法给我们一个映射
$$
\text { . : } R \times R \rightarrow R,
$$
环公理确保这个“标量乘法”将$R$变成$R$ -模块。
(ii)由于$I$对$R$的任意元素的加法和乘法是封闭的，因此$I$在$R$的加法和乘法下也是一个$R$ -模块。
(iii)接下来我们将证明剩余类环$R / I$可以看作是一个$R$ -模块。当然，$R / I$有一个天然的阿贝尔群结构;我们需要为它提供一个标量乘以$R$的元素。为此目的，让$s, s^{\prime} \in R$变成$s+I=s^{\prime}+I$在$R / I$中，让$r \in R$。于是$s-s^{\prime} \in I$，于是$r s-r s^{\prime}=r\left(s-s^{\prime}\right) \in I$;因此，$r s+I=r s^{\prime}+I$。因此，我们可以明确地定义映射
$$
\begin{array}{ccc}
R \times R / I & \longrightarrow & R / I \
(r, s+I) & \longmapsto & r s+I,
\end{array}
$$
对于这个标量乘法，我们可以检查$R / I$是否变成了$R$ -模块。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。