如果你也在 怎样代写交换代数Commutative Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。交换代数Commutative Algebra本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。
交换代数Commutative Algebra代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了交换环的一个重要类别。与模运算相关的考虑导致了估值环的概念。代数域扩展对子域的限制导致了积分扩展和积分闭域的概念以及估值环扩展的分支的概念。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Big modules
Lemma 3.66. (Kaplansky) Let $R$ be a ring, and let $F$ be an $R$-module which is a direct sum of countably generated submodules: say $F=\bigoplus_{\lambda \in \Lambda} E_\lambda$. Then every direct summand of $F$ is again a direct sum of countably generated submodules.
Proof. We ClaIM that there is an ordinal filtration $\left{F_i\right}_{i \leq \alpha}$ on $F$ satisfying all of the following properties. (i) For all $i<\alpha, F_{i+1} / F_i$ is countably generated. (ii) If $M_i=F_i \cap M, N_i=F_i \cap N$, then $F_i=M_i \oplus N_i$.
(iii) For each $i$ there is a subset $\Lambda_i$ of $\Lambda$ such that $F_i=\bigoplus_{\lambda \in \Lambda_i} \Lambda_i$.
SUFFICIENCY OF CLAIM: If so, $\left{M_i\right}_{i \leq \alpha}$ is an ordinal filtration on $M$. Moreover, since $M_i \subset M_{i+1}$ are both direct summands of $F, M_i$ is a direct summand of $M_{i+1}$. The Transfinite Dévissage Lemma (Lemma 3.51) applies to give
$$
M \cong \operatorname{Gr}(M)=\bigoplus_{i<\alpha} M_{i+1} / M_i .
$$
Moreover, for all $i<\alpha$ we have
$$
F_{i+1} / F_i=\left(M_{i+1} \oplus N_{i+1}\right) /\left(M_i \oplus N_i\right) \cong M_{i+1} / M_i \oplus N_{i+1} / N_i,
$$
which shows that each successive quotient $M_{i+1} / M_i$ is countably generated. Therefore $M$ is a direct sum of countably generated submodules.
PROOF OF CLAIM: We will construct the filtration by transfinite induction. The base case and the limit ordinal induction step are forced upon us by the definition of ordinal filtration: we must have $F_0={0}$, and for any limit ordinal $\beta \leq \alpha$, assuming we have defined $F_i$ for all $i<\beta$ we must have $F_\beta=\bigcup_{i<\beta} F_i$.
So consider the case of a successor ordinal $\beta=\beta^{\prime}+1$. Let $Q_1$ be any $E_\lambda$ which is not contained in $F_{\beta^{\prime}}$. (Otherwise we have $F_{\beta^{\prime}}=F$ and we may just define $F_i=F$ for all $\beta \leq i \leq \alpha$.) Let $x_{11}, x_{12}, \ldots$ be a sequence of generators of $Q_1$, and decompose $x_{11}$ into its $M$ – and $N$-components. Let $Q_2$ be the direct sum of the finitely many $E_\lambda$ which are necessary to write both of these components, and let $x_{21}, x_{22}, \ldots$ be a sequence of generators for $Q_2$. Similarly decompose $x_{12}$ into $M$ and $N$ components, and let $Q_3$ be the direct sum of the finitely many $E_\lambda$ needed to write out these components, and let $x_{31}, x_{32}, \ldots$ be a sequence of generators of $Q_3$. We continue to carry out this procedure for all $x_{i j}$, proceeding according to a diagonal enumeration of $\mathbb{Z}^{+} \times \mathbb{Z}^{+}$: i.e., $x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{13}, x_{22}, x_{31}, \ldots$ Put $F_\beta=\left\langle F_{\beta^{\prime}},\left{x_{i j}\right}_{i, j \in \mathbb{Z}^{+}}\right\rangle_R$. This works!
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Co/chain complexes
Let $R$ be a ring. A chain complex $C$. of $R$-modules is a family $\left{C_n\right}_{n \in \mathbb{Z}}$ of $R$-modules together with for all $n \in \mathbb{Z}$, an $R$-module map $d_n: C_n \rightarrow C_{n-1}$ such that for all $n, d_{n-1} \circ d_n=0$. (It is often the case that $C_n=0$ for all $n<0$, but this is not a required part of the definition.)
An example of a chain complex of $R$-modules is any long exact sequence. However, from the perspective of homology theory this is a trivial example in the following precise sense: for any chain complex we may define its homology modules: for all $n \in \mathbb{Z}$, we put
$$
H_n(C)=\operatorname{Ker}\left(d_n\right) / \operatorname{Im}\left(d_{n+1}\right) .
$$
Example: Let $X$ be any topological space. For any ring $R$, we have the singular chain complex $S(X)$. $S(X)n=0$ for $n<0$, and for $n \geq 0, S(X)_n$ is the free $R$-module with basis the set of all continuous maps $\Delta_n \rightarrow X$, where $\Delta_n$ is the standard $n$-dimensional simplex. A certain carefully defined alternating sum of restrictions to faces of $\Delta_n$ gives rise to a boundary map $d_n: S(X)_n \rightarrow S(X){n-1}$, and the indeed the homology groups of this complex are nothing else than the singular homology groups $H_n(X, R)$ with coefficients in $R$.
If $C_{\boldsymbol{\bullet}}$ and $D_{\boldsymbol{\bullet}}$ are two chain complexes of $R$-modules, a homomorphism $\eta: C_{\boldsymbol{\bullet}} \rightarrow$ $D_{\bullet}$ is given by maps $\eta_n: C_n \rightarrow D_n$ for all $n$ rendering the following infinite ladder commutative:
INSERT ME!.
In this way one has evident notions of a monomorphism and epimorphisms of chain complexes. In fact the chain complexes of $R$-modules form an abelian category and thus these notions have a general categorical meaning, but it turns out they are equivalent to the much more concrete naive conditions: $\eta$ is a monomorphism iff each $\eta_n$ is injective and is an epiomorphism iff each $\eta_n$ is surjective.
In particular it makes sense to consider a short exact sequence of chain complexes:
$$
0 \longrightarrow A_{\bullet} \longrightarrow B_{\bullet} \longrightarrow C_{\bullet}
$$
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Big modules
引理3.66。设$R$是一个环，设$F$是一个$R$ -模块，它是可数生成的子模块的直接和:例如$F=\bigoplus_{\lambda \in \Lambda} E_\lambda$。然后，$F$的每个直接和仍然是生成的可数子模块的直接和。
证明。我们声称在$F$上有一个序滤$\left{F_i\right}{i \leq \alpha}$满足以下所有性质。(i)对于所有人，$i<\alpha, F{i+1} / F_i$是可数的。(ii)如果$M_i=F_i \cap M, N_i=F_i \cap N$，则$F_i=M_i \oplus N_i$。
(iii)对于每个$i$, $\Lambda$有一个子集$\Lambda_i$，使得$F_i=\bigoplus_{\lambda \in \Lambda_i} \Lambda_i$。
声明的充分性:如果是这样，$\left{M_i\right}{i \leq \alpha}$是$M$上的有序过滤。而且，由于$M_i \subset M{i+1}$都是$F, M_i$的直接和，所以也是$M_{i+1}$的直接和。超限dsamvisage引理(引理3.51)适用于给出
$$
M \cong \operatorname{Gr}(M)=\bigoplus_{i<\alpha} M_{i+1} / M_i .
$$
此外，对于所有$i<\alpha$我们有
$$
F_{i+1} / F_i=\left(M_{i+1} \oplus N_{i+1}\right) /\left(M_i \oplus N_i\right) \cong M_{i+1} / M_i \oplus N_{i+1} / N_i,
$$
这表明每个连续商$M_{i+1} / M_i$都是可数生成的。因此$M$是可数生成子模块的直接和。
证明:我们将用超限归纳法构造过滤。基本情况和极限序数归纳步骤是由序数过滤的定义强加给我们的:我们必须有$F_0={0}$，对于任何极限序数$\beta \leq \alpha$，假设我们已经为所有$i<\beta$定义了$F_i$，我们必须有$F_\beta=\bigcup_{i<\beta} F_i$。
考虑后继序数$\beta=\beta^{\prime}+1$的情况。设$Q_1$为未包含在$F_{\beta^{\prime}}$中的任何$E_\lambda$。(否则我们有$F_{\beta^{\prime}}=F$，我们可以为所有$\beta \leq i \leq \alpha$定义$F_i=F$。)设$x_{11}, x_{12}, \ldots$为$Q_1$的一系列生成器，并将$x_{11}$分解为其$M$ -和$N$ -组件。设$Q_2$为编写这两个组件所需的有限多个$E_\lambda$的直接和，并设$x_{21}, x_{22}, \ldots$为$Q_2$的一系列生成器。同样地，将$x_{12}$分解为$M$和$N$组件，并设$Q_3$为写出这些组件所需的有限多个$E_\lambda$的直接和，并设$x_{31}, x_{32}, \ldots$为$Q_3$的一系列生成器。我们继续对所有$x_{i j}$执行此过程，根据$\mathbb{Z}^{+} \times \mathbb{Z}^{+}$的对角线枚举进行:即$x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{13}, x_{22}, x_{31}, \ldots$ Put $F_\beta=\left\langle F_{\beta^{\prime}},\left{x_{i j}\right}_{i, j \in \mathbb{Z}^{+}}\right\rangle_R$。这是可行的!
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Co/chain complexes
让 $R$ 做个戒指。链式配合物 $C$． 的 $R$-modules是一个族 $\left{C_n\right}{n \in \mathbb{Z}}$ 的 $R$-modules with for all $n \in \mathbb{Z}$，还有 $R$-模块映射 $d_n: C_n \rightarrow C{n-1}$ 对于所有人来说 $n, d_{n-1} \circ d_n=0$． 例:通常情况是 $C_n=0$ 对所有人 $n<0$，但这不是定义的必要部分。)
的链式复合体的例子 $R$-modules是任意长的精确序列。然而，从同调理论的角度来看，这是一个简单的例子，在以下确切意义上:对于任何链复合体，我们都可以定义它的同调模:对于所有 $n \in \mathbb{Z}$，我们把
$$
H_n(C)=\operatorname{Ker}\left(d_n\right) / \operatorname{Im}\left(d_{n+1}\right) .
$$
例子:让 $X$ 是任意拓扑空间。对于任何环 $R$，我们有奇异链复合体 $S(X)$． $S(X)n=0$ 为了 $n<0$，以及 $n \geq 0, S(X)_n$ 免费吗? $R$-具有基的模块，所有连续映射的集合 $\Delta_n \rightarrow X$，其中 $\Delta_n$ 是标准吗? $n$-维单纯形。的面孔的某种仔细定义的交替的限制总和 $\Delta_n$ 生成边界图 $d_n: S(X)_n \rightarrow S(X){n-1}$实际上，这个配合物的同调群就是奇异同调群 $H_n(X, R)$ 有系数 $R$．
如果$C_{\boldsymbol{\bullet}}$和$D_{\boldsymbol{\bullet}}$是$R$ -模块的两个链配合物，则映射$\eta_n: C_n \rightarrow D_n$给出了所有$n$的同态$\eta: C_{\boldsymbol{\bullet}} \rightarrow$$D_{\bullet}$，表示以下无限阶梯可交换:
插入我!
这样，我们就有了链配合物的单态和附胚的明显概念。事实上，$R$ -模的链复形形成了一个阿贝尔范畴，因此这些概念具有一般的范畴意义，但结果证明，它们等价于更具体的朴素条件:如果每个$\eta_n$是单射，$\eta$就是单态;如果每个$\eta_n$是满射，就是表态。
特别地，考虑一个短的精确链配合物序列是有意义的:
$$
0 \longrightarrow A_{\bullet} \longrightarrow B_{\bullet} \longrightarrow C_{\bullet}
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。