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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Prime and Maximal Ideals
In constructive mathematics, an ideal of a ring $\mathbf{A}$ is called a maximal ideal when the quotient ring is a field. ${ }^3$ An ideal is called a prime ideal when the quotient ring is without zerodivisors.
These definitions coincide with the usual definitions in the context of classical mathematics, except that we tolerate the trivial ring as a field and hence the ideal $\langle 1\rangle$ as a maximal ideal and as a prime ideal.
In a nontrivial ring, an ideal is strict, maximal and detachable if and only if the quotient ring is a nontrivial discrete field, it is strict, prime and detachable if and only if the quotient ring is a nontrivial integral ring.
Comment It is not without a certain apprehension that we declare the ideal $\langle 1\rangle$ both prime and maximal. This will force us to say “strict prime ideal” or “strict maximal ideal” in order to speak of the “usual” prime ideals and maximal ideals. Fortunately it will be a very rare occurrence.
We actually think that there was a casting error right at the beginning. To force a field or an integral ring to be nontrivial, something that seemed eminently reasonable a priori, has unconsciously led mathematicians to transform numerous constructive arguments into reductio ad absurdum arguments. To prove that an ideal constructed in the process of a computation is equal to $\langle 1\rangle$, we have made it a habit to reason as follows: if it wasn’t the case, it would be contained in a maximal ideal and the quotient would be a field, which case we reach the contradiction $0=1$. This argument happens to be a reductio ad absurdum simply because we have made the casting error: we have forbidden the trivial ring from being a field. Without this prohibition, we would present the argument as a direct argument of the following form: let us show that every maximal ideal of the quotient ring contains 1 . We will come back to this point in Sect. XV-6.
Moreover, as we will essentially use prime ideals and maximal ideals heuristically, our transgression of the usual prohibition regarding the trivial ring will have practically no consequence on reading this work. In addition, the reader will be able to see that this unusual convention does not force a modification of most of the results established specifically in classical mathematics, like the abstract local-global principle* II-2.13, Fact* II-2.12 or Lemma*1.1: it suffices for instance ${ }^4$ for the localization at a prime ideal $p$ to define it as the localization at the filter
$$
S \stackrel{\text { def }}{=}{x \in \mathbf{A} \mid x \in \mathfrak{p} \Rightarrow 1 \in \mathfrak{p}}
$$
Fundamentally we think that mathematics is purer and more elegant when we avoid using negation (this radically forbids reductio ad absurdum arguments for example). It is for this reason that you will not find any definitions that use negation in this book. 5
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Jacobson Radical and Units in an Integral Extension
1.7 Theorem Let $\mathbf{k} \subseteq \mathbf{A}$ with $\mathbf{A}$ integral over $\mathbf{k}$.
- If $y \in \mathbf{A}^{\times}$, then $y^{-1} \in \mathbf{k}[y]$.
- $\mathbf{k}^{\times}=\mathbf{k} \cap \mathbf{A}^{\times}$.
- $\operatorname{Rad} \mathbf{k}=\mathbf{k} \cap \operatorname{Rad} \mathbf{A}$ and the homomorphism $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} / \operatorname{Rad}(\mathbf{k}) \mathbf{A}$ reflects the units. ${ }^6$
D 1. Let $y, z \in \mathbf{A}$ such that $y z=1$. We have an integral dependence relation for $z$ : $z^n=a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_0\left(a_i \in \mathbf{k}\right)$. By multiplying by $y^n$ we obtain $1=y Q(y)$ so $z=Q(y) \in \mathbf{k}[y]$.
- In particular, if $y \in \mathbf{k}$ is invertible in $\mathbf{A}$, its inverse $z$ is in $\mathbf{k}$.
- Let $x \in \mathbf{k} \cap \operatorname{Rad} \mathbf{A}$, for all $y \in \mathbf{k}, 1+x y$ is invertible in $\mathbf{A}$ therefore also in $\mathbf{k}$. This gives the inclusion $\operatorname{Rad} \mathbf{k} \supseteq \mathbf{k} \cap \operatorname{Rad} \mathbf{A}$.
Let $x \in \operatorname{Rad} \mathbf{k}$ and $b \in \mathbf{A}$. We want to show that $y=-1+x b$ is invertible. We write an integral dependence relation for $b$
$$
b^n+a_{n-1} b^{n-1}+\cdots+a_0=0
$$
we multiply by $x^n$ and replace $b x$ with $1+y$. We get a polynomial in $y$ with coefficients in $\mathbf{k}: y^n+\cdots+\left(1+a_{n-1} x+\cdots+a_0 x^n\right)=0$. Therefore, $y R(y)=1+x S(x)$ is invertible in $\mathbf{k}$, and $y$ is invertible in $\mathbf{A}$.
Now let $y \in \mathbf{A}$ which is invertible modulo $\operatorname{Rad}(\mathbf{k}) \mathbf{A}$. A fortiori it is invertible modulo $\operatorname{Rad} \mathbf{A}$, so it is invertible.
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Prime and Maximal Ideals
在构造数学中，环的理想 $\mathbf{A}$ 当商环是域时，称为最大理想。 ${ }^3$ 当商环没有零因子时，理想被称为素理想。
这些定义与经典数学上下文中的通常定义一致，除了我们容忍平凡环作为一个场，因此理想 $\langle 1\rangle$ 作为最大 理想和素理想。
在非平凡环中，当且仅当商环是一个非平凡的离散域时，理想是严格的、最大的和可分离的，当且仅当商 环是非平凡的积分环时，它是严格的、素的和可分离的。
评论 我们宣布理想并非没有某种顾虑 $\langle 1\rangle$ 素数和极大值。这将迫使我们说“严格的素理想“或“严格的最大理 想”，以谈论“通常”的素理想和最大理想。幸运的是，这种情况将非常罕见。
我们实际上认为一开始就存在铸造错误。强制一个域或一个积分环变得不平凡，这似乎是先验的非常合理 的事情，却不知不觉地导致数学家将大量建设性论证转化为归谬法论证。证明在计算过程中构造的理想等 于 $\langle 1\rangle$ ，我们已经养成如下推理的习惯：如果不是这种情况，它将包含在最大理想中，商将是一个领域， 这种情况下我们会得出矛盾 $0=1$. 这个论证恰好是一个归谬法，只是因为我们犯了铸造错误：我们禁止 平凡的环成为一个领域。如果没有这条禁令，我们会将论证呈现为以下形式的直接论证: 让我们证明商环 的每个最大理想都包含 1。我们将在 Sect. 中回到这一点。XV-6。
此外，由于我们本质上将启发式地使用素数理想和最大理想，因此我们违反了关于平凡环的通常禁令，对 阅读本书几乎没有任何影响。此外，读者将能够看到，这种不寻常的约定不会强制修改经典数学中专门建 立的大多数结果，例如抽象的局部-全局原理* $|-2.13$ 、事实* $|-2.12$ 或引理* 1.1 : 例如就足够了 ${ }^4$ 用于定 位在一个主要的理想 $p$ 将其定义为过滤器的本地化
$$
S \stackrel{\text { def }}{=} x \in \mathbf{A} \mid x \in \mathfrak{p} \Rightarrow 1 \in \mathfrak{p}
$$
从根本上说，当我们避免使用否定时，我们认为数学会更纯粹、更优雅（例如，这从根本上禁止了反证法 论证)。正是出于这个原因，您不会在本书中找到任何使用否定的定义。5个
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Jacobson Radical and Units in an Integral Extension
1.7 定理令 $\mathbf{k} \subseteq \mathbf{A}$ 和 $\mathbf{A}$ 积分超过 $\mathbf{k}$.
- 如果 $y \in \mathbf{A}^{\times}$，然后 $y^{-1} \in \mathbf{k}[y]$.
- $\mathbf{k}^{\times}=\mathbf{k} \cap \mathbf{A}^{\times}$.
- $\operatorname{Rad} \mathbf{k}=\mathbf{k} \cap \operatorname{Rad} \mathbf{A}$ 和同态 $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} / \operatorname{Rad}(\mathbf{k}) \mathbf{A}$ 反映单位。 ${ }^6$
D 1. 让 $y, z \in \mathbf{A}$ 这样 $y z=1$. 我们有一个完整的依赖关系 $z: z^n=a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_0\left(a_i \in \mathbf{k}\right)$. 通 过乘以 $y^n$ 我们获得 $1=y Q(y)$ 所以 $z=Q(y) \in \mathbf{k}[y]$. - 特别是，如果 $y \in \mathbf{k}$ 是可逆的 $\mathbf{A}$ ，它的逆 $z$ 在 $\mathbf{k}$.
- 让 $x \in \mathbf{k} \cap \operatorname{Rad} \mathbf{A}$ ，对全部 $y \in \mathbf{k}, 1+x y$ 是可逆的 $\mathbf{A}$ 因此也在 $\mathbf{k}$. 这给出了包含 $\operatorname{Rad} \mathbf{k} \supseteq \mathbf{k} \cap \operatorname{Rad} \mathbf{A}$.
让 $x \in \operatorname{Rad} \mathbf{k}$ 和 $b \in \mathbf{A}$. 我们想表明 $y=-1+x b$ 是可逆的。我们为 $b$
$$
b^n+a_{n-1} b^{n-1}+\cdots+a_0=0
$$
我们乘以 $x^n$ 并更换 $b x$ 和 $1+y$. 我们得到一个多项式 $y$ 系数在
$\mathbf{k}: y^n+\cdots+\left(1+a_{n-1} x+\cdots+a_0 x^n\right)=0$. 所以， $y R(y)=1+x S(x)$ 是可逆的 $\mathbf{k} ，$ 和 $y$ 是 可逆的 $\mathbf{A}$.
现在让 $y \in \mathbf{A}$ 这是可逆模 $\operatorname{Rad}(\mathbf{k}) \mathbf{A}$. 更何况它是可逆模 $\operatorname{Rad} \mathbf{A}$ ，所以它是可逆的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。