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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Projective Schemes and Varieties
Let us give a short account of projective schemes, the projective counterpart of affine schemes.
Definition A.5.1. Let $A=\bigoplus_{d \geq 0} A_d$ be a graded ring and $A_{+}$the homogeneous ideal $\bigoplus_{d>0} A_d$, which is called the irrelevant ideal of $A$. We set
$\operatorname{Proj}(A):=\left{P \subset A \mid P\right.$ a homogeneous prime ideal, $\left.A_{+} \not \subset P\right}$.
The elements of $\operatorname{Proj}(A)$ are called relevant prime ideals of $A$, and $\operatorname{Proj}(A)$ is called the projective, or homogeneous, spectrum of $A$. For $X=\operatorname{Proj}(A)$ and $I \subset A$ a homogeneous ideal, the set
$$
V(I):={P \in X \mid P \supset I}
$$
is called the zero-set of $I$ in $X$.
We have $V\left(A_{+}\right)=\emptyset, V(\langle 0\rangle)=\operatorname{Proj}(A)$, and, as for $\operatorname{Spec}(A)$, the sets $V(I)$ are the closed sets of a topology, the Zariski topology on $\operatorname{Proj}(A)$. This is also the induced topology from $\operatorname{Proj}(A) \subset \operatorname{Spec}(A)$.
From now on, let $R$ be a Noetherian ring and $A=R\left[x_0, \ldots, x_n\right]$ the polynomial ring over $R$ with $A_d$ the homogeneous polynomials of degree $d$. Then $\operatorname{Proj}(A)$ is called the $n$-dimensional projective space over $R$ and is denoted by $\mathbb{P}_R$.
If $I \subset A=R\left[x_0, \ldots, x_n\right]$ is a homogeneous ideal, then $V(I)$ coincides with $\operatorname{Proj}(A / I)$ under the map sending $P \in V(I)$ to its residue class modulo $I$. This bijection is even a homeomorphism, and we shall consider $\operatorname{Proj}(A / I)$ as a closed subspace of $\mathbb{P}_R^n$.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Morphisms Between Varieties
The definition of morphisms between projective varieties is more complicated than for affine varieties. To see this, let us make a naive try by simply using homogeneous polynomials. Let $X \subset \mathbb{P}^n$ be a projective variety, and let $f_0, \ldots, f_m$ be homogeneous polynomials of the same degree $d$ in $K\left[x_0, \ldots, x_n\right]$.
If $p=\left(x_0: \ldots: x_n\right) \in X$ is a point with $f_i(p) \neq 0$ for at least one $i$ then $\left(f_0(p): \ldots: f_m(p)\right)$ is a well-defined point in $\mathbb{P}^m$. Thus, $f=\left(f_0: \ldots: f_m\right)$ defines a map $X \rightarrow \mathbb{P}^m$, provided that $X \cap V\left(f_0, \ldots, f_m\right)=\emptyset$. However, by Bézout’s theorem, the assumption $X \cap V\left(f_0, \ldots, f_m\right)=\emptyset$ is very restrictive as this is only possible if $\operatorname{dim}(X)+\operatorname{dim} V\left(f_0, \ldots, f_m\right)m$.
The naive approach is, in a sense, too global. The good definition of morphisms between projective and, more generally, quasi-projective varieties uses the concept of a regular function, where regularity is a local condition (not to be confused with regularity of a local ring). Since any affine variety is open in its projective closure, it is quasi-projective. Thus, we shall obtain a new definition of morphisms between affine varieties which turns out to be equivalent to the previous one, given in Section A.2.
Definition A.6.1. Let $X \subset \mathbb{P}_K^n$ and $Y \subset \mathbb{P}_K^m$ be quasi-projective varieties.
(1) A function $f: X \rightarrow K$ is called regular at a point $p \in X$ if there exists an open neighbourhood $U \subset X$ of $p$ and homogeneous polynomials $g, h \in K\left[x_0, \ldots, x_n\right]$ of the same degree such that, for each $q \in U$, we have
$$
f(q)=\frac{g(q)}{h(q)}, \quad h(q) \neq 0 .
$$
$f$ is called regular on $X$ if it is regular at each point of $X . \mathcal{O}(X)$ denotes the $K$-algebra of regular functions on $X$.
(2) A morphism $f: X \rightarrow Y$ is a continuous map such that for each open set $V \subset Y$ and for each regular function $g: V \rightarrow K$ the composition
$$
g \circ f: f^{-1}(V) \rightarrow K
$$
is a regular function on $f^{-1}(V)$.
Note that in (1), if $g$ and $h$ both have degree $d$, then
$$
\frac{g(\lambda q)}{h(\lambda q)}=\frac{\lambda^d g(q)}{\lambda^d h(q)}=\frac{g(q)}{h(q)}
$$
for all $\lambda \in K^*$, that is, the quotient $g / h$ is well-defined on $\mathbb{P}^n$. If $X \subset \mathbb{A}^n$ is quasi-affine, we can, equivalently, define $f: X \rightarrow K$ to be regular at $p$, if there exists an open neighbourhood $U$ of $p$ in $\mathbb{A}^n$ and polynomials $g, h \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$, not necessarily homogeneous, such that $h(q) \neq 0$ and $f(q)=g(q) / h(q)$ for all $q \in U$.
交换代数代考
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让我们简短地介绍一下射影方案，即仿射方案的射影对应。
A.5.1.定义设$A=\bigoplus_{d \geq 0} A_d$为分级环，$A_{+}$为齐次理想$\bigoplus_{d>0} A_d$，称为$A$的不相关理想。我们设定
$\operatorname{Proj}(A):=\left{P \subset A \mid P\right.$齐次素理想$\left.A_{+} \not \subset P\right}$。
$\operatorname{Proj}(A)$的元素称为$A$的相关素理想，$\operatorname{Proj}(A)$称为$A$的射影谱或齐次谱。对于$X=\operatorname{Proj}(A)$和$I \subset A$一个齐次理想，集合
$$
V(I):={P \in X \mid P \supset I}
$$
在$X$中称为$I$的零集。
我们有$V\left(A_{+}\right)=\emptyset, V(\langle 0\rangle)=\operatorname{Proj}(A)$，对于$\operatorname{Spec}(A)$，集合$V(I)$是拓扑的闭集，也就是$\operatorname{Proj}(A)$上的Zariski拓扑。这也是$\operatorname{Proj}(A) \subset \operatorname{Spec}(A)$推导出的拓扑结构。
从现在开始，设$R$为一个诺瑟环，$A=R\left[x_0, \ldots, x_n\right]$为$R$上的多项式环，$A_d$为次为$d$的齐次多项式。那么$\operatorname{Proj}(A)$被称为$R$上的$n$维射影空间，用$\mathbb{P}_R$表示。
如果$I \subset A=R\left[x_0, \ldots, x_n\right]$是一个齐次理想，那么$V(I)$与$\operatorname{Proj}(A / I)$在将$P \in V(I)$发送到其残馀类对$I$取模的映射下重合。这个双射甚至是一个同胚，我们将$\operatorname{Proj}(A / I)$看作$\mathbb{P}_R^n$的一个闭子空间。
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射影变异间态射的定义比仿射变异间态射的定义更为复杂。为了明白这一点，让我们简单地用齐次多项式做一个简单的尝试。设$X \subset \mathbb{P}^n$为射影变量，设$f_0, \ldots, f_m$为$K\left[x_0, \ldots, x_n\right]$中$d$次的齐次多项式。
如果$p=\left(x_0: \ldots: x_n\right) \in X$是一个点，$f_i(p) \neq 0$至少有一个$i$，那么$\left(f_0(p): \ldots: f_m(p)\right)$是$\mathbb{P}^m$中的一个定义良好的点。因此，$f=\left(f_0: \ldots: f_m\right)$定义了一个映射$X \rightarrow \mathbb{P}^m$，前提是$X \cap V\left(f_0, \ldots, f_m\right)=\emptyset$。然而，根据bsamzout定理，假设$X \cap V\left(f_0, \ldots, f_m\right)=\emptyset$是非常严格的，因为这只有在$\operatorname{dim}(X)+\operatorname{dim} V\left(f_0, \ldots, f_m\right)m$时才有可能。
从某种意义上说，这种天真的做法太过全球化。射影和更一般的拟射影变体之间的态射的良好定义使用正则函数的概念，其中正则性是一个局部条件(不要与局部环的正则性混淆)。因为任何仿射变种在其射影闭包中是开的，所以它是拟射影。因此，我们将得到仿射变体之间态射的一个新定义，它与a .2节中给出的定义等效。
A.6.1.定义让 $X \subset \mathbb{P}_K^n$ 和 $Y \subset \mathbb{P}_K^m$ 是拟射影变种。
(1)函数 $f: X \rightarrow K$ 在某一点上被称为正则 $p \in X$ 如果存在一个开放的社区 $U \subset X$ 的 $p$ 齐次多项式 $g, h \in K\left[x_0, \ldots, x_n\right]$ 在相同的程度上，对于每一个 $q \in U$，我们有
$$
f(q)=\frac{g(q)}{h(q)}, \quad h(q) \neq 0 .
$$
$f$ 叫做regular on $X$ 的每一点都是规则的 $X . \mathcal{O}(X)$ 表示 $K$正则函数的代数 $X$．
(2)态射 $f: X \rightarrow Y$ 连续映射是否对每个开集都满足 $V \subset Y$ 对于每一个正则函数 $g: V \rightarrow K$ 构图
$$
g \circ f: f^{-1}(V) \rightarrow K
$$
有常规功能吗 $f^{-1}(V)$．
注意，在(1)中，如果 $g$ 和 $h$ 都有学位 $d$那么，
$$
\frac{g(\lambda q)}{h(\lambda q)}=\frac{\lambda^d g(q)}{\lambda^d h(q)}=\frac{g(q)}{h(q)}
$$
对所有人 $\lambda \in K^*$，即商 $g / h$ 定义良好 $\mathbb{P}^n$． 如果 $X \subset \mathbb{A}^n$ 是准仿射的，我们可以等价地定义 $f: X \rightarrow K$ 有规律地 $p$，如果存在一个开放的社区 $U$ 的 $p$ 在 $\mathbb{A}^n$ 还有多项式 $g, h \in K\left[x_1, \ldots, x_n\right]$不一定是同质的，这样 $h(q) \neq 0$ 和 $f(q)=g(q) / h(q)$ 对所有人 $q \in U$．
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。