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数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Martingales
A sequence of integrable random variables $\left{M(t): t \in \mathbb{Z}{+}\right}$is called adapted to an increasing family of $\sigma$-fields $\left{\mathcal{F}_t: t \in \mathbb{Z}{+}\right}$if $M(t)$ is $\mathcal{F}t$-measurable for each $t$. The sequence is called a martingale if $\mathrm{E}\left[M(t+1) \mid \mathcal{F}_t\right]=M(t)$ for all $t \in \mathbb{Z}{+}$, and a supermartingale if $\mathrm{E}\left[M(t+1) \mid \mathcal{F}t\right] \leq M(t)$ for $t \in \mathbb{Z}{+}$.
A martingale difference sequence $\left{Z(t): t \in \mathbb{Z}{+}\right}$is an adapted sequence of random variables such that the sequence $M(t)=\sum{i=0}^t Z(i), t \geq 0$, is a martingale.
The following result is basic:
Theorem 1.3.4. (Martingale Convergence Theorem) Let $M$ be a supermartingale, and suppose that
$$
\sup t \mathrm{E}[|M(t)|]<\infty . $$ Then ${M(t)}$ converges to a finite limit with probability one. If ${M(t)}$ is a positive, real valued supermartingale then by the smoothing property of conditional expectations (1.10), $$ \mathrm{E}[|M(t)|]=\mathrm{E}[M(t)] \leq \mathrm{E}[M(0)]<\infty, \quad t \in \mathbb{Z}{+}
$$
Hence we have as a direct corollary to the Martingale Convergence Theorem
Theorem 1.3.5. A positive supermartingale converges to a finite limit with probability one.
Since a positive supermartingale is convergent, it follows that its sample paths are bounded with probability one. The following result gives an upper bound on the magnitude of variation of the sample paths of both positive supermartingales, and general martingales.
数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Markov models
The Markov chains that we consider evolve on a countable state space, denoted X. The chain itself is denoted $\boldsymbol{X}=\left{X(t): t \in \mathbb{Z}_{+}\right}$, with transition law defined by the transition matrix $P$ :
$$
\mathrm{P}{X(t+1)=y \mid X(0), \ldots, X(t)}=P(x, y), \quad x, y \in \mathrm{X} .
$$
Examples of Markov chains include both the reflected and unreflected random walks defined in Section 1.3.3. The independence of the $\mathcal{E}$ guarantees the Markovian property (1.16).
The transition matrix is viewed as a (possibly infinite-dimensional) matrix. Likewise, a function $c: \mathrm{X} \rightarrow \mathbb{R}$ can be viewed as a column vector, and we can express conditional expectations as a matrix-vector product,
$$
\mathrm{E}[c(X(t+1)) \mid X(t)=x]=P c(x):=\sum_{y \in \mathbf{X}} P(x, y) c(y), \quad x \in \mathrm{X} .
$$
More generally, the matrix product is defined inductively by $P^0(x, y)=\mathbf{1}{{x=y}}$ and for $n \geq 1$, $$ P^n(x, y)=\sum P(x, z) P^{n-1}(z, y), \quad x, y \in \mathbf{X} . $$ Based on this we obtain the representation, $$ \mathrm{E}[c(X(t+n)) \mid X(t)=x]=P^n c(x), \quad x \in \mathrm{X}, t \geq 0, n \geq 1 . $$ Central to the theory of Markov chains is the following generalization, known as the strong Markov property. Recall that a random time $\tau$ is called a stopping time if there exists a sequence of functions $f_n: \mathrm{X}^{n+1} \rightarrow{0,1}, n \geq 0$, such that the event ${\tau=n}$ can be expressed as a function of the first $n$ samples of $\boldsymbol{X}$, $$ {\tau=n}=f_n(X(0), \ldots, X(n)), \quad n \geq 0 . $$ We write this as ${\tau=n} \in \mathcal{F}_n$, where $\left{\mathcal{F}_k: k \geq 0\right}$ is the filtration generated by $\boldsymbol{X}$. We let $\mathcal{F}\tau$ denote the $\sigma$-field generated by the events “before $\tau$ “: that is,
$$
\mathcal{F}_\tau:=\left{A: A \cap{\tau \leq n} \in \mathcal{F}_n, n \geq 0\right}
$$
复杂网络代写
数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Martingales
一个可积随机变量序列$\left{M(t): t \in \mathbb{Z}{+}\right}$被称为适应于一个不断增加的家族$\sigma$ -字段$\left{\mathcal{F}_t: t \in \mathbb{Z}{+}\right}$，如果$M(t)$是$\mathcal{F}t$，则每个$t$可测量。对于所有$t \in \mathbb{Z}{+}$序列称为鞅if $\mathrm{E}\left[M(t+1) \mid \mathcal{F}_t\right]=M(t)$，对于$t \in \mathbb{Z}{+}$序列称为上鞅if $\mathrm{E}\left[M(t+1) \mid \mathcal{F}t\right] \leq M(t)$。
一个鞅差分序列$\left{Z(t): t \in \mathbb{Z}{+}\right}$是一个随机变量的适应序列，使得序列$M(t)=\sum{i=0}^t Z(i), t \geq 0$是一个鞅。
下面的结果是基本的:
定理1.3.4。(鞅收敛定理)设$M$为上鞅，并设
$$
\sup t \mathrm{E}[|M(t)|]<\infty . $$然后${M(t)}$收敛到一个概率为1的有限极限。如果${M(t)}$是一个正的实值上鞅，则根据条件期望(1.10)的平滑性质，$$ \mathrm{E}[|M(t)|]=\mathrm{E}[M(t)] \leq \mathrm{E}[M(0)]<\infty, \quad t \in \mathbb{Z}{+}
$$
因此我们得到了鞅收敛定理的一个直接推论
定理1.3.5。正上鞅收敛到有限极限的概率为1。
由于正上鞅是收敛的，因此它的样本路径有界的概率为1。下面的结果给出了正上鞅和一般鞅的样本路径变化幅度的上界。
数学代写|复杂网络代写complex networks代考|Markov models
我们考虑的马尔可夫链在可数状态空间上演化，记为x，链本身记为$\boldsymbol{X}=\left{X(t): t \in \mathbb{Z}_{+}\right}$，其转移律由转移矩阵$P$定义:
$$
\mathrm{P}{X(t+1)=y \mid X(0), \ldots, X(t)}=P(x, y), \quad x, y \in \mathrm{X} .
$$
马尔可夫链的例子包括1.3.3节中定义的反射和非反射随机漫步。$\mathcal{E}$的独立性保证了马尔可夫性(1.16)。
转换矩阵被看作是一个(可能是无限维的)矩阵。同样，一个函数$c: \mathrm{X} \rightarrow \mathbb{R}$可以看作是一个列向量，我们可以将条件期望表示为一个矩阵-向量积，
$$
\mathrm{E}[c(X(t+1)) \mid X(t)=x]=P c(x):=\sum_{y \in \mathbf{X}} P(x, y) c(y), \quad x \in \mathrm{X} .
$$
更一般地说，矩阵积由$P^0(x, y)=\mathbf{1}{{x=y}}$归纳定义，对于$n \geq 1$, $$ P^n(x, y)=\sum P(x, z) P^{n-1}(z, y), \quad x, y \in \mathbf{X} . $$，基于此，我们得到了表示，$$ \mathrm{E}[c(X(t+n)) \mid X(t)=x]=P^n c(x), \quad x \in \mathrm{X}, t \geq 0, n \geq 1 . $$马尔可夫链理论的核心是以下推广，称为强马尔可夫性质。回想一下，如果存在一个函数序列$f_n: \mathrm{X}^{n+1} \rightarrow{0,1}, n \geq 0$，则随机时间$\tau$称为停止时间，使得事件${\tau=n}$可以表示为$\boldsymbol{X}$, $$ {\tau=n}=f_n(X(0), \ldots, X(n)), \quad n \geq 0 . $$的第一个$n$样本的函数。我们将其写为${\tau=n} \in \mathcal{F}n$，其中$\left{\mathcal{F}_k: k \geq 0\right}$是$\boldsymbol{X}$产生的过滤。我们让$\mathcal{F}\tau$表示“$\tau$之前”的事件生成的$\sigma$字段: $$ \mathcal{F}\tau:=\left{A: A \cap{\tau \leq n} \in \mathcal{F}_n, n \geq 0\right}
$$
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随机过程代考
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。 若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。 实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。 随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
贝叶斯方法代考
贝叶斯统计概念及数据分析表示使用概率陈述回答有关未知参数的研究问题以及统计范式。后验分布包括关于参数的先验分布，和基于观测数据提供关于参数的信息似然模型。根据选择的先验分布和似然模型，后验分布可以解析或近似，例如，马尔科夫链蒙特卡罗 (MCMC) 方法之一。贝叶斯统计概念及数据分析使用后验分布来形成模型参数的各种摘要，包括点估计，如后验平均值、中位数、百分位数和称为可信区间的区间估计。此外，所有关于模型参数的统计检验都可以表示为基于估计后验分布的概率报表。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
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机器学习代写
随着AI的大潮到来，Machine Learning逐渐成为一个新的学习热点。同时与传统CS相比，Machine Learning在其他领域也有着广泛的应用，因此这门学科成为不仅折磨CS专业同学的“小恶魔”，也是折磨生物、化学、统计等其他学科留学生的“大魔王”。学习Machine learning的一大绊脚石在于使用语言众多，跨学科范围广，所以学习起来尤其困难。但是不管你在学习Machine Learning时遇到任何难题，StudyGate专业导师团队都能为你轻松解决。
多元统计分析代考
基础数据: $N$ 个样本， $P$ 个变量数的单样本，组成的横列的数据表
变量定性: 分类和顺序；变量定量：数值
数学公式的角度分为: 因变量与自变量
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。