数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|COM3523

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数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|COM3523

数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|Complex dynamics

This work presents a study of renormalization of quadratic polynomials and a rapid introduction to techniques in complex dynamics.
Around 1920 Fatou and Julia initiated the theory of iterated rational maps
$$
f: \widehat{\mathbb{C}} \rightarrow \widehat{\mathbb{C}}
$$
on the Riemann sphere. More recently methods of geometric function theory, quasiconformal mappings and hyperbolic geometry have contributed to the depth and scope of research in the field. The intricate structure of the family of quadratic polynomials was revealed by work of Douady and Hubbard [DH1], [Dou1]; analogies between rational maps and Kleinian groups surfaced with Sullivan’s proof of the no wandering domains theorem [Sul3] and continue to inform both subjects [Mc2].

It can be a subtle problem to understand a high iterate of a rational map $f$ of degree $d>1$. There is tension between expanding features of $f$-such as the fact that its degree tends to infinity under iteration – and contracting features, such as the presence of critical points. The best understood maps are those for which the critical points tend to attracting cycles. For such a map, the tension is resolved by the concentration of expansion in the Julia set or chaotic locus of the map, and the presence of contraction on the rest of the sphere.

The central goal of this work is to understand a high iterate of a quadratic polynomial. The special case we consider is that of an infinitely renormalizable polynomial $f(z)=z^2+c$.

For such a polynomial, the expanding and contracting properties lie in a delicate balance; for example, the critical point $z=0$ belongs to the Julia set and its forward orbit is recurrent. Moreover high iterates of $f$ can be renormalized or rescaled to yield new dynamical systems of the same general shape as the original map $f$.

This repetition of form at infinitely many scales provides the basic framework for our study. Under additional geometric hypotheses, we will show that the renormalized dynamical systems range in a compact family. Compactness is established by combining universal estimates for the hyperbolic geometry of surfaces with distortion theorems for holomorphic maps.

With this information in hand, we establish quasiconformal rigidity of the original polynomial $f$. Rigidity of $f$ supports conjectures about the behavior of a generic complex dynamical system, as described in the next section.

数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|Central conjectures

We now summarize the main problems which motivate our work.
Let $f: \widehat{\mathbb{C}} \rightarrow \widehat{\mathbb{C}}$ be a rational map of the Riemann sphere to itself of degree $d>1$. The map $f$ is hyperbolic if its critical points tend to attracting periodic cycles under iteration. Within all rational maps, the hyperbolic ones are among the best behaved; for example, when $f$ is hyperbolic there is a finite set $A \subset \widehat{\mathbb{C}}$ which attracts all points in an open, full-measure subset of the sphere (see $\S 3.4$ ).

One of the central problems in conformal dynamics is the following:

Conjecture $1.1$ (Density of hyperbolicity) The set of hyperbolic rational maps is open and dense in the space Rat $_d$ of all rational maps of degree $d$.

Openness of hyperbolic maps is known, but density is not. In some form this conjecture goes back to Fatou (see $\S 4.1$ ).

Much study has been devoted to special families of rational maps, particularly quadratic polynomials. Every quadratic polynomial $f$ is conjugate to one of the form $f_c(z)=z^2+c$ for a unique $c \in \mathbb{C}$. Even this simple family of rational maps exhibits a full spectrum of dynamical behavior, reflecting many of the difficulties of the general case. Still unresolved is:

Conjecture 1.2 The set of $c$ for which $z^2+c$ is hyperbolic forms ип ореп dense subsel of lhe complex plane.

The Mandelbrot set $M$ is the set of $c$ such that under iteration, $f_c^n(0)$ does not tend to infinity; here $z=0$ is the unique critical point of $f_c$ in $\mathbb{C}$. A component $U$ of the interior of $M$ is hyperbolic if $f_c$ is hyperbolic for some $c$ in $U$. It is known that the maps $f_c$ enjoy a type of structural stability as $c$ varies in any component of $\mathbb{C}-\partial M$; in particular, if $U$ is hyperbolic, $f_c$ is hyperbolic for every $c$ in $U$ (see $\S 4)$. It is clear that $f_c$ is hyperbolic when $c$ is not in $M$, because the critical point tends to the superattracting fixed point at infinity. Thus an equivalent formulation of Conjecture $1.2$ is:

Conjecture 1.3 Every component of the interior of the Mandelbrot set is hyperbolic.

An approach to these conjectures is developed in [MSS] and [McS], using quasiconformal mappings. This approach has the advantage of shifting the focus from a family of maps to the dynamics of a single map, and leads to the following:

Conjecture $1.4$ (No invariant line fields) A rational map $f$ carries no invariant line field on its Julia set, except when $f$ is double covered by an integral torus endomorphism.

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复杂系统与重整化代写

数学代写|复杂系统与重整化代写Complex Systems and Reengineering代考|Complex dynamics

这项工作介绍了二次多项式的重整化研究和复杂动力学技术的快速介绍。
1920 年前后,Fatou 和 Julia 提出了迭代有理映射理论

F:C^→C^
在黎曼球面上。最近,几何函数理论、拟共形映射和双曲几何的方法为该领域的研究深度和范围做出了贡献。Douady 和 Hubbard [DH1]、[Dou1] 的工作揭示了二次多项式族的复杂结构;有理映射和克莱因群之间的类比随着 Sullivan 对无游荡域定理 [Sul3] 的证明而浮出水面,并继续为这两个主题提供信息 [Mc2]。

理解有理图的高迭代可能是一个微妙的问题F学位d>1. 扩展功能之间存在紧张关系F-例如它的次数在迭代中趋于无穷大这一事实 – 以及收缩特征,例如临界点的存在。最容易理解的地图是那些关键点倾向于吸引循环的地图。对于这样的地图,张力通过 Julia 集或地图的混沌轨迹中的集中膨胀以及球体其余部分的收缩来解决。

这项工作的中心目标是理解二次多项式的高迭代。我们考虑的特殊情况是无限重整化多项式F(和)=和2+C.

对于这样的多项式,膨胀和收缩性质处于微妙的平衡状态;例如,临界点和=0属于 Julia 集,它的前向轨道是循环的。此外,高迭代F可以重新归一化或重新缩放以产生与原始地图具有相同一般形状的新动力系统F.

这种形式在无限多尺度上的重复为我们的研究提供了基本框架。在额外的几何假设下,我们将证明重整化动力系统范围在一个紧凑的族中。通过将曲面双曲几何的通用估计与全纯映射的畸变定理相结合来建立紧致性。

有了这些信息,我们就可以建立原始多项式的准共形刚度F. 刚度F支持关于一般复杂动力系统行为的猜想,如下一节所述。

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我们现在总结了激发我们工作的主要问题。
让F:C^→C^是黎曼球面到自身度数的有理映射d>1. 地图F如果它的临界点倾向于在迭代下吸引周期性循环,则它是双曲线的。在所有有理图中,双曲线是表现最好的;例如,当F是双曲的 存在有限集一种⊂C^它吸引了球体的一个开放的全测量子集中的所有点(请参阅§§3.4 ).

共形动力学的核心问题之一如下:

推测1.1(Density of hyperbolicity) 双曲有理映射集在 Rat 空间中是开稠密的d所有有理度图d.

双曲映射的开放性是已知的,但密度不是。在某种形式上,这个猜想可以追溯到 Fatou(见§§4.1).

许多研究都致力于特殊的有理映射族,尤其是二次多项式。每个二次多项式F与其中一种形式共轭FC(和)=和2+C一个独特的C∈C. 即使是这个简单的有理图族也表现出全方位的动态行为,反映了一般情况下的许多困难。还没有解决的是:

猜想 1.2 的集合C为了哪个和2+C是复平面的双曲形式 ип ореп 稠密子集。

曼德尔布洛特集米是一组C这样在迭代下,FCn(0)不趋于无穷大;这里和=0是唯一的临界点FC在C. 一个组件在内部的米是双曲线的如果FC对某些人来说是双曲线的C在在. 据了解,地图FC享受一种结构稳定性C的任何组成部分都不同C−∂米; 特别是,如果在是双曲线的,FC对每个都是双曲线的C在在(看§§4). 很清楚FC是双曲线的,当C不在米,因为临界点趋向于无穷远处的超吸引不动点。因此,猜想的等效公式1.2是:

猜想 1.3 Mandelbrot 集内部的每个分量都是双曲线的。

[MSS] 和 [McS] 中使用拟共形映射开发了这些猜想的方法。这种方法的优点是将焦点从一系列地图转移到单个地图的动态,并导致以下结果:

推测1.4(没有不变的线场)有理图F在其 Julia 集上不携带不变线域,除非F被积分环面自同态双重覆盖。

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广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

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有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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