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凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题都有多项时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。
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数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Sparse descriptions and basis pursuit
In basis pursuit, there is a very large number of basis functions, and the goal is to find a good fit of the given data as a linear combination of a small number of the basis functions. (In this context the function family is linearly dependent, and is sometimes referred to as an over-complete basis or dictionary.) This is called basis pursuit since we are selecting a much smaller basis, from the given over-complete basis, to model the data.
Thus we seek a function $f \in \mathcal{F}$ that fits the data well,
$$
f\left(u_i\right) \approx y_i, \quad i=1, \ldots, m
$$
with a sparse coefficient vector $x$, i.e., $\operatorname{card}(x)$ small. In this case we refer to
$$
f=x_1 f_1+\cdots+x_n f_n=\sum_{i \in \mathcal{B}} x_i f_i
$$
where $\mathcal{B}=\left{i \mid x_i \neq 0\right}$ is the set of indices of the chosen basis elements, as a sparse description of the data. Mathematically, basis pursuit is the same as the regressor selection problem (see $\S 6.4$ ), but the interpretation (and scale) of the optimization problem are different.
Sparse descriptions and basis pursuit have many uses. They can be used for de-noising or smoothing, or data compression for efficient transmission or storage of a signal. In data compression, the sender and receiver both know the dictionary, or basis elements. To send a signal to the receiver, the sender first finds a sparse representation of the signal, and then sends to the receiver only the nonzero coefficients (to some precision). Using these coefficients, the receiver can reconstruct (an approximation of) the original signal.
One common approach to basis pursuit is the same as the method for regressor selection described in $\S 6.4$, and based on $\ell_1$-norm regularization as a heuristic for finding sparse descriptions. We first solve the convex problem
$$
\operatorname{minimize} \sum_{i=1}^m\left(f\left(u_i\right)-y_i\right)^2+\gamma|x|_1,
$$
where $\gamma>0$ is a parameter used to trade off the quality of the fit to the data, and the sparsity of the coefficient vector. The solution of this problem can be used directly, or followed by a refinement step, in which the best fit is found, using the sparsity pattern of the solution of (6.18). In other words, we first solve (6.18), to obtain $\hat{x}$. We then set $\mathcal{B}=\left{i \mid \hat{x}i \neq 0\right}$, i.e., the set of indices corresponding to nonzero coefficients. Then we solve the least-squares problem $$ \operatorname{minimize} \sum{i=1}^m\left(f\left(u_i\right)-y_i\right)^2
$$
with variables $x_i, i \in \mathcal{B}$, and $x_i=0$ for $i \notin \mathcal{B}$.
In basis pursuit and sparse description applications it is not uncommon to have a very large dictionary, with $n$ on the order of $10^4$ or much more. To be effective, algorithms for solving (6.18) must exploit problem structure, which derives from the structure of the dictionary signals.
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Interpolation with convex functions
In some special cases we can solve interpolation problems involving an infinitedimensional set of functions, using finite-dimensional convex optimization. In this section we describe an example.
We start with the following question: When does there exist a convex function $f: \mathbf{R}^k \rightarrow \mathbf{R}$, with $\operatorname{dom} f=\mathbf{R}^k$, that satisfies the interpolation conditions
$$
f\left(u_i\right)=y_i, \quad i=1, \ldots, m
$$ at given points $u_i \in \mathbf{R}^k$ ? (Here we do not restrict $f$ to lie in any finite-dimensional subspace of functions.) The answer is: if and only if there exist $g_1, \ldots, g_m$ such that
$$
y_j \geq y_i+g_i^T\left(u_j-u_i\right), \quad i, j=1, \ldots, m
$$
To see this, first suppose that $f$ is convex, $\operatorname{dom} f=\mathbf{R}^k$, and $f\left(u_i\right)=y_i$, $i=1, \ldots, m$. At each $u_i$ we can find a vector $g_i$ such that
$$
f(z) \geq f\left(u_i\right)+g_i^T\left(z-u_i\right)
$$
for all $z$. If $f$ is differentiable, we can take $g_i=\nabla f\left(u_i\right)$; in the more general case, we can construct $g_i$ by finding a supporting hyperplane to epi $f$ at $\left(u_i, y_i\right)$. (The vectors $g_i$ are called subgradients.) By applying (6.20) to $z=u_j$, we obtain (6.19).
Conversely, suppose $g_1, \ldots, g_m$ satisfy (6.19). Define $f$ as
$$
f(z)=\max _{i=1, \ldots, m}\left(y_i+g_i^T\left(z-u_i\right)\right)
$$
for all $z \in \mathbf{R}^k$. Clearly, $f$ is a (piecewise-linear) convex function. The inequalities $(6.19)$ imply that $f\left(u_i\right)=y_i$, for $i=1, \ldots, m$.
We can use this result to solve several problems involving interpolation, approximation, or bounding, with convex functions.
凸优化代写
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Sparse descriptions and basis pursuit
在基追踪中，基函数的数量非常多，目标是找到给定数据的良好拟合作为少量基函数的线性组合。（在这 种情况下，函数族是线性相关的，有时称为超完备基础或字典。）这称为基础追求，因为我们从给定的超 完备基础中选择一个更小的基础来建模数据。
因此我们寻求一个函数 $f \in \mathcal{F}$ 非常适合数据，
$$
f\left(u_i\right) \approx y_i, \quad i=1, \ldots, m
$$
具有稀疏系数向量 $x$ ，那是， $\operatorname{card}(x)$ 小的。在这种情况下，我们指的是
$$
f=x_1 f_1+\cdots+x_n f_n=\sum_{i \in \mathcal{B}} x_i f_i
$$
在哪里 \mathcal ${B}=\backslash l \mid f t\left{i \backslash m i d x _i \backslash n e q\right.$ 0 $\backslash$ right $}$ 是所选基本元素的索引集，作为数据的稀疏描述。在数学 上，基追求与回归量选择问题相同 (参见 $\$ 6.4$ )，但优化问题的解释 (和尺度) 不同。
稀疏描述和基础追求有很多用途。它们可用于降噪或平滑，或数据压缩以有效传输或存储信号。在数据压 缩中，发送方和接收方都知道字典或基本元素。为了向接收方发送信号，发送方首先找到信号的稀疏表 示，然后仅向接收方发送非零系数（以某种精度）。使用这些系数，接收器可以重建（近似）原始信号。
一种常见的基础追踪方法与中描述的回归量选择方法相同 $\S 6.4$, 并基于 $\ell_1$-范数正则化作为寻找稀疏描述 的启发式方法。我们首先解决凸问题
$$
\operatorname{minimize} \sum_{i=1}^m\left(f\left(u_i\right)-y_i\right)^2+\gamma|x|_1
$$
在哪里 $\gamma>0$ 是一个参数，用于权衡数据的拟合质量和系数向量的稀疏性。这个问题的解决方案可以直接 使用，或者在细化步骤之后使用 (6.18) 的解决方案的稀疏模式找到最佳拟合。也就是说，我们先求解 (6.18)，得到 $\hat{x}$. 然后我们设置 \mathcal ${B}=\backslash$ eft ${i \backslash m i d \backslash h a t{x} i \backslash n e q$ O right $}$ ，即对应于非零系数的一组索 引。然后我们解决最小二乘问题
$$
\operatorname{minimize} \sum i=1^m\left(f\left(u_i\right)-y_i\right)^2
$$
有变量 $x_i, i \in \mathcal{B}$ ，和 $x_i=0$ 为了 $i \notin \mathcal{B}$.
在基础追踪和稀疏描述应用中，有一个非常大的字典并不少见，其中 $n$ 按顺序 $10^4$ 或更多。为了有效，求 解 (6.18) 的算法必须利用问题结构，它源自字典信号的结构。
数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Interpolation with convex functions
在某些特殊情况下，我们可以使用有限维凸优化来解决涉及无限维函数集的揷值问题。在本节中，我们描 述了一个示例。
我们从以下问题开始：什么时候存在凸函数 $f: \mathbf{R}^k \rightarrow \mathbf{R}$ ，和dom $f=\mathbf{R}^k$ ，即满足揷值条件
$$
f\left(u_i\right)=y_i, \quad i=1, \ldots, m
$$
在给定点 $u_i \in \mathbf{R}^k$ ? （这里不限制 $f$ 位于函数的任何有限维子空间中。）答案是：当且仅当存在 $g_1, \ldots, g_m$ 这样
$$
y_j \geq y_i+g_i^T\left(u_j-u_i\right), \quad i, j=1, \ldots, m
$$
要看到这一点，首先假设 $f$ 是凸的， $\operatorname{dom} f=\mathbf{R}^k$ ，和 $f\left(u_i\right)=y_i, i=1, \ldots, m$. 在每一个 $u_i$ 我们可 以找到一个向量 $g_i$ 这样
$$
f(z) \geq f\left(u_i\right)+g_i^T\left(z-u_i\right)
$$
对全部 $z$. 如果 $f$ 是可微的，我们可以取 $g_i=\nabla f\left(u_i\right)$; 在更一般的情况下，我们可以构建 $g_i$ 通过找到 epi 的支持超平面 $f$ 在 $\left(u_i, y_i\right)$. (向量 $g_i$ 称为子梯度。) 通过将 (6.20) 应用于 $z=u_j$ ，我们得到 (6.19)。 相反，假设 $g_1, \ldots, g_m$ 满足 (6.19)。定义 $f$ 作为
$$
f(z)=\max _{i=1, \ldots, m}\left(y_i+g_i^T\left(z-u_i\right)\right)
$$
对全部 $z \in \mathbf{R}^k$. 清楚地， $f$ 是一个 (分段线性) 凸函数。不平等现象 $(6.19)$ 暗示 $f\left(u_i\right)=y_i$ ，为了 $i=1, \ldots, m$.
我们可以使用这个结果来解决几个涉及凸函数的揷值、近似或边界的问题。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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