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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。
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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Dynamic Method
In classical mathematics proofs of existence are rarely explicit. Two essential obstacles appear each time that we try to render such a proof explicit.
The first obstacle is the application of LEM. For instance, if you consider the proof that every univariate polynomial over a field $\mathbf{K}$ admits a decomposition into prime factors, you have a kind of algorithm whose key ingredient is: if $P$ is irreducible all is well, if $P$ can be decomposed into a product of two factors of degree $\geqslant 1$, all is still well, by induction hypothesis. Unfortunately the disjunction used to make the proof work ” $P$ is irreducible or $P$ can be decomposed into a product of two factors of degree $\geqslant 1$ ” is not explicit in general. In other words, even if a field is defined constructively, we cannot be sure that this disjunction can be made explicit by an algorithm. Here we find ourselves in the presence of a typical case where LEM “is an issue,” because the existence of an irreducible factor cannot be the object of a general algorithm.
The second obstacle is the application of Zorn’s lemma, which allows us to generalize to the uncountable case the usual proofs by induction in the countable case.
For example in Modern Algebra by van der Waerden the second pitfall is avoided by limiting ourselves to the countable algebraic structures.
However, we have two facts that are now well established from experience:
- The universal concrete results proven by the dubious abstract methods above have never been contradicted. We have even very often successfully extracted unquestionable constructive proofs from them. This would suggest that even if the abstract methods are in some way incorrect or contradictory, they have until now only been used with a sufficient amount of discernment.
- The key concrete results proven by the dubious abstract methods have not been invalidated either. On the contrary, they have often been validated by algorithms proven constructively. 1
Faced with this slightly paradoxical situation: the abstract methods are a priori dubious, but they do not fundamentally deceive us when they give us a result of a concrete nature. There are two possible reactions.
Either we believe that the abstract methods are fundamentally correct because they reflect a “truth,” some sort of “ideal Cantor universe” in which exists the true semantic of mathematics. This is the stance taken by Platonic realism, defended for instance by Gödel.
Or we think that the abstract methods truly are questionable. But then, unless we believe that mathematics falls within the domain of magic or of miracles, it must be explained why classical mathematics makes such few mistakes. If we believe in neither Cantor, nor miracles, we are led to believe that the abstract proofs of concrete results necessarily contain sufficient “hidden ingredients” to construct the corresponding concrete proofs.
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Splitting Fields and Galois Theory in Classical Mathematics
In this subsection we will offer a possible presentation of the splitting field of an arbitrary polynomial and of the Galois theory of a separable polynomial in classical mathematics. This allows us to understand the “detours” that we will be obligated to take to have an entirely constructive theory.
If $f$ is a monic polynomial, we work with the universal splitting algebra of $f$, $\mathbf{A}=\mathrm{Adu}_{\mathbf{K}, f}$ in which $f(T)=\prod_i\left(T-x_i\right)$, with $\mathrm{S}_n$ as a group of automorphisms (see Sect. III-4).
This algebra being a finite dimensional $\mathbf{K}$-vector space, all the ideals are themselves finite dimensional $\mathbf{K}$-vector spaces and we have the right to consider a strict ideal $\mathfrak{m}$ of maximum dimension as a $\mathbf{K}$-vector space (all of this by applying LEM). This ideal is automatically a maximal ideal. The quotient algebra $\mathbf{L}=\mathbf{A} / \mathrm{m}$ is then a splitting field for $f$. The group $G=\operatorname{St}(\mathfrak{m})$ operates on $\mathbf{L}$ and the fixed field of $G$, $\mathbf{L}^G=\mathbf{K}_1$, possesses the two following properties:
- $\mathbf{L} / \mathbf{K}_1$ is a Galois extension with $\operatorname{Gal}\left(\mathbf{L} / \mathbf{K}_1\right) \simeq G$.
- $\mathbf{K}_1 / \mathbf{K}$ is an extension obtained by successive additions of $p^{\text {th }}$ roots, where $p=$ char $(\mathbf{K})$.
Moreover, if $\mathbf{L}^{\prime}$ is another splitting field for $f$ with $f=\prod_i\left(T-\xi_i\right)$ in $\mathbf{L}^{\prime}[T]$, we have a unique homomorphism of $\mathbf{K}$-algebras $\varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{L}^{\prime}$ satisfying the equalities $\varphi\left(x_i\right)=\xi_i$ for $i \in \llbracket 1 . . n \rrbracket$. We can then show that $\operatorname{Ker} \varphi$, which is a maximal ideal of $A$, is necessarily a conjugate of $\mathfrak{m}$ under the action of $S_n$. Thus the splitting field is unique, up to isomorphism (this isomorphism is not unique if $G \neq{\mathrm{Id}}$ ).
Finally, when $f$ is separable, the situation is simplified because the universal splitting algebra is étale, and $\mathbf{K}_1=\mathbf{K}$.
The previous approach is possible from a constructive point of view if the field $\mathbf{K}$ is separably factorial and if the polynomial $f$ is separable, because then, since the universal splitting algebra $\mathbf{A}$ is étale, it can be decomposed into a finite product of étale fields over $\mathbf{K}$ (Corollary VI-1.13).
But when the field is not separably factorial, we face an a priori insurmountable obstacle, and we cannot hope to systematically and algorithmically obtain a splitting field that is strictly finite over $\mathbf{K}$.
If the characteristic is finite and if the polynomial is not separable, we need stronger factorization properties to construct a splitting field (the question is delicate, and very well presented in [MRR]).
交换代数代考
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|The Dynamic Method
在经典数学中，存在的证明很少是明确的。每次我们试图使这样的证明明确时，都会出现两个基本障碍。
第一个障碍是 LEM 的应用。例如，如果您考虑证明域上的每个单变量多项式钾承认分解为主要因素，你有一种算法，其关键成分是：如果P是不可约的一切都很好，如果P可以分解为两个度数的乘积⩾1，一切都还好，归纳假设。不幸的是，用于证明工作的析取”P是不可约的或P可以分解为两个度数的乘积⩾1” 一般不明确。换句话说，即使一个字段是构造性定义的，我们也不能确定这种析取是否可以通过算法明确表示。在这里，我们发现自己处于 LEM“是一个问题”的典型案例中，因为不可约因子的存在不能成为通用算法的对象。
第二个障碍是 Zorn 引理的应用，它使我们能够将可数情况下的通常归纳证明推广到不可数情况。
例如，在 van der Waerden 的现代代数中，第二个陷阱是通过将我们自己限制在可数代数结构来避免的。
然而，我们有两个事实现在已经从经验中得到证实：
- 上述可疑的抽象方法所证明的普遍具体结果从未被反驳过。我们甚至经常从他们那里成功地提取出无可置疑的建设性证据。这表明即使抽象方法在某种程度上是不正确的或自相矛盾的，它们直到现在也只是在足够的辨别力下被使用。
- 可疑的抽象方法证明的关键具体结果也没有作废。相反，它们经常被建设性证明的算法所验证。1个
面对这种有点自相矛盾的情况：抽象方法先验地是可疑的，但是当它们给我们一个具体的结果时，它们并没有从根本上欺骗我们。有两种可能的反应。
要么我们相信抽象方法从根本上是正确的，因为它们反映了一个“真理”，某种“理想的康托宇宙”，其中存在着数学的真正语义。这是柏拉图现实主义所采取的立场，例如哥德尔为之辩护。
或者我们认为抽象方法确实有问题。但是，除非我们相信数学属于魔法或奇迹的领域，否则必须解释为什么经典数学很少犯错误。如果我们既不相信康托尔也不相信奇迹，我们就会相信具体结果的抽象证明必然包含足够的“隐藏成分”来构建相应的具体证明。
数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Splitting Fields and Galois Theory in Classical Mathematics
在本小节中，我们将提供任意多项式的分裂域和经典数学中可分离多项式的伽罗瓦理论的可能表示。这使 我们能够理解为了拥有一个完全建设性的理论而不得不走的”弯路”。
如果 $f$ 是一元多项式，我们使用通用分裂代数 $f ， \mathbf{A}=\mathrm{Adu}_{\mathbf{K}, f}$ 其中 $f(T)=\prod_i\left(T-x_i\right)$ ，和 $\mathrm{S}_n$ 作为 一组自同构（见第 III-4 节）。
这个代数是有限维的 $\mathbf{K}$-向量空间，所有理想本身都是有限维的 $\mathbf{K}$-向量空间，我们有权考虑一个严格的理 想 $m$ 最大尺寸为 $\mathbf{K}$-向量空间 (所有这些都通过应用 LEM) 。这个理想自动成为最大理想。商代数 $\mathbf{L}=\mathbf{A} / \mathrm{m}$ 那么是一个分裂场 $f$. 群组 $G=\operatorname{St}(\mathfrak{m})$ 运作于 $\mathbf{L}$ 和固定领域 $G, \mathbf{L}^G=\mathbf{K}_1$, 具有以下两个性 质：
- $\mathbf{L} / \mathbf{K}_1$ 是一个伽罗华扩展 $\mathrm{Gal}\left(\mathbf{L} / \mathbf{K}_1\right) \simeq G$.
- $\mathbf{K}_1 / \mathbf{K}$ 是通过连续添加获得的扩展 $p^{\text {th }}$ 根，在哪里 $p=$ 字符 $(\mathbf{K})$.
此外，如果 $\mathbf{L}^{\prime}$ 是另一个分裂领域 $f$ 和 $f=\prod_i\left(T-\xi_i\right)$ 在 $\mathbf{L}^{\prime}[T]$ ，我们有一个唯一的同态 $\mathbf{K}$-代数 $\varphi: \mathbf{A} \rightarrow \mathbf{L}^{\prime}$ 满足等式 $\varphi\left(x_i\right)=\xi_i$ 为了 $i \in \backslash$ llbracket1.. $n \backslash$ rrbracket. 然后我们可以证明Ker $\varphi$ ， 这是一个极大的理想 $A$, 必然是的共轭 $m$ 的作用下 $S_n$. 因此，分裂场是唯一的，直到同构（这种同构不是 唯一的，如果 $G \neq \mathrm{Id}$ ).
最后，当 $f$ 是可分离的，情况被简化了，因为泛分裂代数是 étale，并且 $\mathbf{K}_1=\mathbf{K}$.
从建设性的角度来看，如果该领域K是可分离的阶乘，如果多项式 $f$ 是可分的，因为那时，自从通用分裂 代数 $\mathbf{A}$ 是 étale，它可以分解为 étale 域的有限乘积 $\mathbf{K}$ (推论 VI-1.13)。
但是当场不是可分阶乘时，我们面临着一个先验不可逾越的障碍，我们不能希望系统地和算法地获得一个 严格有限的分裂场K.
如果特征是有限的并且多项式不可分，我们需要更强的因式分解性质来构造分裂域（这个问题很微妙，在 [MRR] 中有很好的介绍)。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。