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宇宙学是天文学的一个分支，涉及宇宙的起源和演变，从大爆炸到今天，再到未来。宇宙学的定义是 “对整个宇宙的大尺度特性进行科学研究”。
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物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Einstein equations for tensor perturbations
Now let us read off the perturbations to the Einstein tensor induced by tensor modes. Since the Ricci scalar is unperturbed by tensor perturbations, the first-order Einstein tensor is simply
$$
\delta G_j^i=\delta R_j^i .
$$
To get $R^i{ }j$, we contract $g^{i k} R{k j}$, using the Ricci tensor we computed in Eq. (6.67). The first term, proportional to the contraction of $g^{i k} g_{k j}=\delta^i$, has no first-order piece; the remaining terms are explicitly of first order in $h^{\mathrm{TT}}$, so we can set $g^{i k}=\delta^{i k} / a^2$, leading to
$$
\delta G_j^i=\delta^{i k}\left[\frac{3}{2} H h_{k j, 0}^{\mathrm{TT}}+\frac{h_{k j, 00}^{\mathrm{TT}}}{2}+\frac{k^2}{2 a^2} h_{k j}^{\mathrm{TT}}\right] .
$$
Finally, we specialize to the case of $\hat{k}=\hat{\boldsymbol{e}}z$ to derive a set of evolution equations for the tensor variables, $h{+}$and $h_{\times}$(the final equation will be independent of this convenience choice).
To derive an equation for $h_{+}$, let us consider the difference between the ${ }1$ and ${ }^2{ }_2$ components of the Einstein tensor. The Einstein tensor in Eq. (6.70) is proportional to $h{i j}^{\mathrm{TT}}$ and its derivatives. Since $h_{11}^{\mathrm{TT}}=-h_{22}^{\mathrm{TT}}=h_{+}, \delta G_1^1$ is equal and opposite to $\delta G_2^2$. Therefore,
$$
\delta G_1^1-\delta G_2^2=3 H h_{+, 0}+h_{+, 00}+\frac{k^2 h_{+}}{a^2} .
$$
Now we change to conformal time so that $h_{+, 0}=h_{+}^{\prime} / a$ and $h_{+, 00}=h_{+}^{\prime \prime} / a^2-\left(a^{\prime} / a^3\right) h_{+}^{\prime}$. Then,
$$
a^2\left[\delta G_1^1-\delta G_2^2\right]=h_{+}^{\prime \prime}+2 \frac{a^{\prime}}{a} h_{+}^{\prime}+k^2 h_{+} .
$$
The right-hand side of this component of Einstein’s equations is zero in the absence of anisotropic stress (Exercise 6.9). This means that gravitational waves are not produced by the perturbations to matter that we derived in $\mathrm{Ch}$. 5. Anisotropies in the radiation components (photons and neutrinos) do have an anisotropic stress, given by their quadrupole. As we argued in the previous section, for photons the quadrupole is suppressed during the radiation-dominated era, so their source term can be ignored. The most relevant quantity on the right-hand side of the tensor Einstein equations then is the neutrino anisotropic stress. This does provide a source term for gravitational waves, which leads to a damping of tensor modes on small scales. We neglect it here since we will focus on large-scale tensor modes throughout the rest of the book.
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Verifying the decomposition theorem
Now that we have computed the contributions to the Einstein tensor $G_{\mu \nu}$ from scalars and tensors, we can demonstrate the decomposition of these two types of perturbations. To do this, remember that we obtained the scalar equations by considering the two components of the Einstein tensor:
$$
G^0{ }0 ; \quad\left(\hat{k}_i \hat{k}_j-\frac{1}{3} \delta{i j}\right) G^i{ }_j .
$$
Inserting these components into Einstein’s equations led to Eq. (6.41) and Eq. (6.48). If we can show that tensor perturbations do not contribute to these two components, then we will have convinced ourselves of at least part of the decomposition theorem, namely that the equations governing scalar perturbations are not affected by tensors.
Tensor perturbations do not contribute to $G^0 0$, for $G^0$ depends on $R_{00}$ and $R$, and we have seen that both of these do not depend on $h_{+}$or $h_{\times}$. Now let us show that $\left(\hat{k}i \hat{k}_j-\delta{i j} / 3\right) G^i{ }j$ also does not pick up a contribution from tensor perturbations. Multiply Eq. (6.70) by the projection operator: $$ \begin{aligned} \left(\hat{k}_i \hat{k}_j-\frac{1}{3} \delta{i j}\right) \delta G^i{ }j= & \left(\hat{k}^i \hat{k}^j-\frac{1}{3} \delta^{i j}\right) \ & \times\left[\frac{3}{2} H h{i j, 0}^{\mathrm{TT}}+\frac{h_{i j, 00}^{\mathrm{TT}}}{2}+\frac{k^2}{2 a^2} h_{i j}^{\mathrm{TT}}\right] .
\end{aligned}
$$
All the terms on the right-hand side are zero: they either involve contractions such as $\hat{k}^i h_{i j}^{\mathrm{TT}}$ (and time derivatives thereof), which vanish thanks to transversality, or the trace of $h_{i j}^{\mathrm{TT}}$, which vanishes since $h_{i j}^{\mathrm{TT}}$ is trace-free. The scalar equations we derived in the previous section are therefore unchanged by the presence of tensor modes. This is a manifestation of the decomposition theorem.
宇宙学代考
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Einstein equations for tensor perturbations
现在让我们读出张量模式对爱因斯坦张量的扰动。由于 Ricci 标量不受张量扰动的影响，一阶爱因斯坦张 量就是
$$
\delta G_j^i=\delta R_j^i .
$$
要得到 $R^i j$ ，我们签约 $g^{i k} R k j$ ，使用我们在方程式中计算的 Ricci 张量。(6.67)。第一项，与收缩成正比 $g^{i k} g_{k j}=\delta^i$ ，没有一阶块; 其余条款明确是一阶的 $h^{\mathrm{TT}}$ ，所以我们可以设置 $g^{i k}=\delta^{i k} / a^2$ ，导致
$$
\delta G_j^i=\delta^{i k}\left[\frac{3}{2} H h_{k j, 0}^{\mathrm{TT}}+\frac{h_{k j, 00}^{\mathrm{TT}}}{2}+\frac{k^2}{2 a^2} h_{k j}^{\mathrm{TT}}\right] .
$$
最后，我们专注于以下情况 $\hat{k}=\hat{e} z$ 推导一组张量变量的演化方程， $h+$ 和 $h_{\times}$（最终方程将独立于这种 方便的选择）。
推导出方程式 $h_{+}$，让我们考虑两者之间的区别 1 和 ${ }^2{ }2$ 爱因斯坦张量的分量。方程式中的爱因斯坦张量。 (6.70) 与 $h i j^{\mathrm{TT}}$ 及其衍生物。自从 $h{11}^{\mathrm{TT}}=-h_{22}^{\mathrm{TT}}=h_{+}, \delta G_1^1$ 等于和相反 $\delta G_2^2$. 所以，
$$
\delta G_1^1-\delta G_2^2=3 H h_{+, 0}+h_{+, 00}+\frac{k^2 h_{+}}{a^2} .
$$
现在我们改为共形时间，这样 $h_{+, 0}=h_{+}^{\prime} / a$ 和 $h_{+, 00}=h_{+}^{\prime \prime} / a^2-\left(a^{\prime} / a^3\right) h_{+}^{\prime}$.然后，
$$
a^2\left[\delta G_1^1-\delta G_2^2\right]=h_{+}^{\prime \prime}+2 \frac{a^{\prime}}{a} h_{+}^{\prime}+k^2 h_{+} .
$$
在没有各向异性应力的情况下，爱因斯坦方程的这个分量的右侧为零（练习 6.9）。这意味着引力波不是 由我们推导的物质扰动产生的Ch. 5. 辐射成分（光子和中微子）中的各向异性确实具有由它们的四极子 给出的各向异性应力。正如我们在上一节中讨论的那样，对于光子来说，四极子在辐射主导的时代受到 抑制，因此可以忽略它们的源项。张量爱因斯坦方程右侧最相关的量是中微子各向异性应力。这确实为 引力波提供了源项，导致小尺度上张量模式的阻尼。我们在这里忽略它，因为我们将在本书的其余部分 关注大规模张量模式。
物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Verifying the decomposition theorem
现在我们已经计算了对爱因斯坦张量的贡献 $G_{\mu \nu}$ 从标量和张量，我们可以证明这两种扰动的分解。为 此，请记住我们通过考虑爱因斯坦张量的两个分量获得了标量方程:
$$
G^0 0 ; \quad\left(\hat{k}i \hat{k}_j-\frac{1}{3} \delta i j\right) G_j^i . $$ 将这些组件揷入爱因斯坦的方程式导致方程式。(6.41) 和方程式。(6.48)。如果我们能够证明张量扰动 对这两个分量没有贡献，那么我们将至少相信分解定理的一部分，即控制标量扰动的方程不受张量影 响。 张量扰动对 $G^0 0$ ，为了 $G^0$ 依赖于取决于 $R{00}$ 和 $R$ ，我们已经看到这两者都不依赖于 $h_{+}$或者 $h_{\times}$. 现在让 我们证明 $\left(\hat{k} i \hat{k}j-\delta i j / 3\right) G^i j$ 也没有从张量扰动中获得贡献。乘以方程式。(6.70) 由投影算子: $$ \left(\hat{k}_i \hat{k}_j-\frac{1}{3} \delta i j\right) \delta G^i j=\left(\hat{k}^i \hat{k}^j-\frac{1}{3} \delta^{i j}\right) \quad \times\left[\frac{3}{2} H h i j, 0^{\mathrm{TT}}+\frac{h{i j, 00}^{\mathrm{TT}}}{2}+\frac{k^2}{2 a^2} h_{i j}^{\mathrm{TT}}\right] .
$$
右侧的所有项都为零：它们要么涉及收缩，例如 $\hat{k}^i h_{i j}^{\mathrm{TT}}$ (及其时间导数），由于横向性或 $h_{i j}^{\mathrm{TT}}$ ，自此诮 失 $h_{i j}^{\mathrm{TT}}$ 无痕。因此，我们在上一节中导出的标量方程不会因张量模式的存在而改变。这是分解定理的体 现。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。