cs代写|复杂网络代写complex network代考|Solutions of differential systems

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在网络理论的背景下,复杂网络是具有非微观拓扑特征的图(网络)这些特征在格子或随机图等简单网络中不出现,但在代表真实系统的网络中经常出现。

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cs代写|复杂网络代写complex network代考|Solutions of differential systems

Consider the system
$$
\dot{x}(t)=f(t, x(t)), x(t) \in \mathbb{R}^{n}, t \in\left[t_{0},+\infty\right),
$$
where $f(t, x(t)):\left[t_{0},+\infty\right) \times \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{n}$. Denote by $x_{0}$ the initial value $x\left(t_{0}\right)$. A classical solution for the Cauchy problem of $(2.5)$ with $x\left(t_{0}\right)=x_{0}$ on $\left[t_{0}, T\right]$ is a continuously differentiable map $x(t):\left[t_{0}, T\right] \mapsto \mathbb{R}^{n}$ that satisfies (2.5). According to the well-known Peano’s theorem, one knows that if the function $f$ is continuous in a neighborhood of $t_{0}, x_{0}$, system (2.5) has at least one classical solution defined in a neighborhood of $t_{0}, x_{0}$. To proceed, the concept of Lipschitz condition is introduced.

Definition $2.2$ [27] A function $f(t, x(t)):\left[t_{0},+\infty\right) \times \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{m}$ is said to be globally Lipschitz in $x(t)$ uniformly over $t$ if there exists a positive scalar $L_{0}$ such that
$$
|f(t, x(t))-f(t, y(t))| \leq L_{0}|x(t)-y(t)|
$$
for all $(t, x(t))$ and $(t, y(t))$.
Theorem 2.1 [27] If $f(t, x(t)):\left[t_{0},+\infty\right) \times \mathbb{R}^{n} \mapsto \mathbb{R}^{n}$ is continuous in $t$ and globally Lipschitz in $x(t)$ uniformly over $t$, then, for all $x_{0} \in \mathbb{R}^{n}$, there exists a unique classical solution of (2.5) over the time interval $\left[t_{0},+\infty\right)$ with initial condition $x_{0}$.

However, since our view is toward systems with switching, the assumption that the function $f$ is continuous in both $t$ and $x(t)$ is too restrictive. The following example shows that, if the function is discontinuous, then classical solution of (2.5) might not exist.

Example 2.1 [27] Discontinuous Vector Field with Nonexistence of Classical Solutions: Consider the function $f(t, x(t)):[0,+\infty) \times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ defined by
$$
f(t, x(t))= \begin{cases}-1, & x(t)>0 \ 1, & x(t) \leq 0\end{cases}
$$
with initial value $x(0)=0$. It is obviously that the function $f$ is discontinuous at $x(t)=0$. Suppose there exists a classical solution $x(t):[0, T) \mapsto \mathbb{R}$ that satisfies (2.7). Then $\dot{x}(0)=f(0, x(0))=f(0,0)=1$ which implies that, for sufficiently small $t>0, x(t)>0$, and hence $\dot{x}(t)=f(t, x(t))=-1$. But this contradicts the fact that $t \mapsto \dot{x}(t)$ is continuous. Hence, there is no classical solution starting from zero.

It turns out that for the existence and uniqueness result to hold, it is sufficient to demand that $f$ is piecewise continuous in $t[82]$. So we consider the Carathéodory’s solution $x(\cdot)$ that is given by
$$
x(t)=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t} f(s, x(s)) d s .
$$
Note that (2.8) satisfies the differential equation (2.5) almost everywhere.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Multiple Lyapunov functions

To proceed, the notion of time dependent switching is introduced.
As a special kind of hybrid dynamic system, switched system has been studied for quite some time by researchers from applied mathematics, systems and control fields. Roughly speaking, a switched system is a dynamic system that consists of a number of subsystems and a switching rule that determines switches among these subsystems. Suppose the switched system is generated by the following family of subsystems
$$
\dot{x}(t)=f_{p}(t, x(t)), x(t) \in \mathbb{R}^{n}, p \in{1, \ldots, \kappa},
$$
together with a switching signal $\sigma(t):\left[t_{0},+\infty\right) \mapsto{1, \ldots, \kappa}$. Note that $\sigma(t)$ is a piecewise constant function that switches at the switching time instants $t_{1}, t_{2}, \ldots$, and is constant on the time interval $\left[t_{k}, t_{k+1}\right), k=0,1, \ldots .$ In this book, we assume $\sigma(t)$ is right continuous, i.e., $\sigma(t)=\lim {t} t \sigma(t)$, and $\inf {k \in \mathbb{N}}\left(t_{k+1}-t_{k}\right) \geq \tau_{m}$ for some given positive scalar $\tau_{m}$ where inf represents the infimum. Please see Figure $2.2$ for an example. Thus the switched systems with time-dependent switching signal $\sigma(t)$ can be described by the equation
$$
\dot{x}(t)=f_{\sigma(t)}(t, x(t)) .
$$
According to Theorem 2.1, each subsystem has a unique solution over arbitrary interval $\left[t_{k}, t_{k+1}\right), k=0,1, \ldots$, with arbitrary initial value $x\left(t_{k}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ if the function $f_{p}$, for each $p=1, \ldots, \kappa$, is globally Lipschitz in $x(t)$ uniformly over $t$. Thus the switched system (2.10) is well defined for arbitrary switching signal $\sigma(t)$ defined above and any given initial value $x\left(t_{0}\right) \in \mathbb{R}^{n}$. Throughout this chapter, we assume that such a globally Lipschitz condition holds for the subsystems, and thus the well-definedness of the switched system is guaranteed. We further assume that $f_{p}\left(t, \mathbf{0}{n}\right)=\mathbf{0}{n}$ for each $p=1, \ldots, \kappa$. Thus, the zero vector is an equilibrium point of the switched system (2.10). Next, some stability notions for the zero equilibrium point of switched systems are introduced.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Stability under slow switching

We firstly introduce the notion of dwell time. If there exist $\tau_{M} \geq \tau_{m}>0$ such that $\tau_{m} \leq t_{i+1}-t_{i} \leq \tau_{M}<+\infty$ for $i=0,1, \ldots$, then $\tau_{m}$ is called the dwell time of the switching signal $\sigma(t)$ (see Figure $2.4$ for a simple illustration). In the sequel, we assume that the switching signal $\sigma(t)$ always satisfies the condition that $\tau_{m} \leq t_{i+1}-t_{i} \leq \tau_{M}<+\infty$ for $i=0,1, \ldots .$

Theorem 2.2 [82] Suppose all subsystems in the family $(2.10)$ with $p \in{1, \ldots, \kappa}$ are globally exponentially stable, and there exists a Lyapunov function $V_{p}(t, x(t))$ : $\left[t_{0},+\infty\right) \times \mathbb{R}^{n} \mapsto[0,+\infty)$ for each $p \in{1, \ldots, \kappa}$ such that

(1) $a_{p}|x(t)|^{2} \leq V_{p}(t, x(t)) \leq b_{p}|x(t)|^{2}$;
(2) $\frac{\partial V_{p}(t, x(t))}{\partial t}+\frac{\partial V_{p}(t, x(t))}{x(t)} f_{p}(t, x(t)) \leq-c_{p}|x(t)|^{2}$,
with $a_{p}, b_{p}$, and $c_{p}$ being positive scalars. Then the switched system (2.10) is globally exponentially stable if the dwell time
$$
\tau_{m}>\frac{\ln \gamma}{\rho}, \gamma=\frac{\max {p=1, \ldots, \kappa} b{p}}{\min {p=1, \ldots, \kappa} a{p}}, \rho=\min \left{\frac{c_{1}}{b_{1}}, \ldots, \frac{c_{\kappa}}{b_{\kappa}}\right} .
$$

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复杂网络代写

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考虑系统

X˙(吨)=F(吨,X(吨)),X(吨)∈Rn,吨∈[吨0,+∞),
在哪里F(吨,X(吨)):[吨0,+∞)×Rn↦Rn. 表示为X0初始值X(吨0). 柯西问题的经典解(2.5)和X(吨0)=X0上[吨0,吨]是一个连续可微的映射X(吨):[吨0,吨]↦Rn满足(2.5)。根据著名的皮亚诺定理,我们知道如果函数F在邻域中是连续的吨0,X0, 系统 (2.5) 至少有一个经典解定义在吨0,X0. 为了继续,引入 Lipschitz 条件的概念。

定义2.2[27] 一个函数F(吨,X(吨)):[吨0,+∞)×Rn↦R米据说是全球 Lipschitz 在X(吨)均匀地超过吨如果存在正标量大号0这样

|F(吨,X(吨))−F(吨,是(吨))|≤大号0|X(吨)−是(吨)|
对所有人(吨,X(吨))和(吨,是(吨)).
定理 2.1 [27] 如果F(吨,X(吨)):[吨0,+∞)×Rn↦Rn是连续的吨在全球范围内,LipschitzX(吨)均匀地超过吨,那么,对于所有X0∈Rn, 在时间间隔内存在 (2.5) 的唯一经典解[吨0,+∞)有初始条件X0.

然而,由于我们的观点是针对具有切换功能的系统,因此假设函数F在两者中都是连续的吨和X(吨)太严格了。下面的例子表明,如果函数是不连续的,那么 (2.5) 的经典解可能不存在。

例 2.1 [27] 不存在经典解的不连续向量场:考虑函数F(吨,X(吨)):[0,+∞)×R↦R被定义为

F(吨,X(吨))={−1,X(吨)>0 1,X(吨)≤0
有初始值X(0)=0. 很明显,函数F是不连续的X(吨)=0. 假设存在经典解X(吨):[0,吨)↦R满足(2.7)。然后X˙(0)=F(0,X(0))=F(0,0)=1这意味着,对于足够小的吨>0,X(吨)>0, 因此X˙(吨)=F(吨,X(吨))=−1. 但这与事实相矛盾吨↦X˙(吨)是连续的。因此,没有从零开始的经典解。

事实证明,为了使存在唯一性结果成立,要求F是分段连续的吨[82]. 所以我们考虑 Carathéodory 的解决方案X(⋅)这是由

X(吨)=X0+∫吨0吨F(s,X(s))ds.
请注意,(2.8) 几乎在任何地方都满足微分方程 (2.5)。

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为了继续,引入时间相关切换的概念。
切换系统作为一种特殊的混合动力系统,已经被应用数学、系统和控制领域的研究人员研究了很长时间。粗略地说,切换系统是一个动态系统,它由若干子系统和决定这些子系统之间切换的切换规则组成。假设切换系统由以下子系统族生成

X˙(吨)=Fp(吨,X(吨)),X(吨)∈Rn,p∈1,…,ķ,
连同一个开关信号σ(吨):[吨0,+∞)↦1,…,ķ. 注意σ(吨)是在切换时刻切换的分段常数函数吨1,吨2,…, 并且在时间间隔上是常数[吨ķ,吨ķ+1),ķ=0,1,….在本书中,我们假设σ(吨)是右连续的,即,σ(吨)=林吨吨σ(吨), 和信息ķ∈ñ(吨ķ+1−吨ķ)≥τ米对于一些给定的正标量τ米其中 inf 表示下确界。请看图2.2例如。因此具有时间相关开关信号的开关系统σ(吨)可以用方程来描述

X˙(吨)=Fσ(吨)(吨,X(吨)).
根据定理 2.1,每个子系统在任意区间上都有唯一解[吨ķ,吨ķ+1),ķ=0,1,…, 具有任意初始值X(吨ķ)∈Rn如果函数Fp, 对于每个p=1,…,ķ, 是全局 Lipschitz 在X(吨)均匀地超过吨. 因此,开关系统(2.10)对于任意开关信号是很好定义的σ(吨)上面定义的和任何给定的初始值X(吨0)∈Rn. 在本章中,我们假设这样的全局 Lipschitz 条件适用于子系统,从而保证了切换系统的良好定义。我们进一步假设Fp(吨,0n)=0n对于每个p=1,…,ķ. 因此,零向量是切换系统 (2.10) 的平衡点。接下来,介绍了切换系统零平衡点的一些稳定性概念。

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我们首先介绍停留时间的概念。如果存在τ米≥τ米>0这样τ米≤吨一世+1−吨一世≤τ米<+∞为了一世=0,1,…, 然后τ米称为开关信号的驻留时间σ(吨)(见图2.4作一个简单的说明)。接下来,我们假设切换信号σ(吨)总是满足条件τ米≤吨一世+1−吨一世≤τ米<+∞为了一世=0,1,….

定理 2.2 [82] 假设族中的所有子系统(2.10)和p∈1,…,ķ是全局指数稳定的,并且存在一个 Lyapunov 函数在p(吨,X(吨)) : [吨0,+∞)×Rn↦[0,+∞)对于每个p∈1,…,ķ这样

(1) 一个p|X(吨)|2≤在p(吨,X(吨))≤bp|X(吨)|2;
(2) ∂在p(吨,X(吨))∂吨+∂在p(吨,X(吨))X(吨)Fp(吨,X(吨))≤−Cp|X(吨)|2,
与一个p,bp, 和Cp是正标量。如果停留时间,则切换系统(2.10)是全局指数稳定的

\tau_{m}>\frac{\ln \gamma}{\rho}, \gamma=\frac{\max {p=1, \ldots, \kappa} b{p}}{\min {p=1 , \ldots, \kappa} a{p}}, \rho=\min \left{\frac{c_{1}}{b_{1}}, \ldots, \frac{c_{\kappa}}{b_ {\kappa}}\right} 。\tau_{m}>\frac{\ln \gamma}{\rho}, \gamma=\frac{\max {p=1, \ldots, \kappa} b{p}}{\min {p=1 , \ldots, \kappa} a{p}}, \rho=\min \left{\frac{c_{1}}{b_{1}}, \ldots, \frac{c_{\kappa}}{b_ {\kappa}}\right} 。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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