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在网络理论的背景下，复杂网络是具有非微观拓扑特征的图（网络）这些特征在格子或随机图等简单网络中不出现，但在代表真实系统的网络中经常出现。
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cs代写|复杂网络代写complex network代考|Multiple Lyapunov functions
To proceed, the notion of time dependent switching is introduced.
As a special kind of hybrid dynamic system, switched system has been studied for quite some time by researchers from applied mathematics, systems and control fields. Roughly speaking, a switched system is a dynamic system that consists of a number of subsystems and a switching rule that determines switches among these subsystems. Suppose the switched system is generated by the following family of subsystems
$$
\dot{x}(t)=f_{p}(t, x(t)), x(t) \in \mathbb{R}^{n}, p \in{1, \ldots, \kappa},
$$
together with a switching signal $\sigma(t):\left[t_{0},+\infty\right) \mapsto{1, \ldots, \kappa}$. Note that $\sigma(t)$ is a piecewise constant function that switches at the switching time instants $t_{1}, t_{2}, \ldots$, and is constant on the time interval $\left[t_{k}, t_{k+1}\right), k=0,1, \ldots$. In this book, we assume $\sigma(t)$ is right continuous, i.e., $\sigma(t)=\lim {\iota} t \sigma(\iota)$, and $\inf {k \in \mathbb{N}}\left(t_{k+1}-t_{k}\right) \geq \tau_{m}$ for some given positive scalar $\tau_{m}$ where inf represents the infimum. Please see Figure $2.2$ for an example. Thus the switched systems with time-dependent switching signal $\sigma(t)$ can be described by the equation
$$
\dot{x}(t)=f_{\sigma(t)}(t, x(t)) .
$$
According to Theorem 2.1, each subsystem has a unique solution over arbitrary interval $\left[t_{k}, t_{k+1}\right), k=0,1, \ldots$, with arbitrary initial value $x\left(t_{k}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ if the function $f_{p}$, for each $p=1, \ldots, \kappa$, is globally Lipschitz in $x(t)$ uniformly over $t$. Thus the switched system (2.10) is well defined for arbitrary switching signal $\sigma(t)$ defined above and any given initial value $x\left(t_{0}\right) \in \mathbb{R}^{n}$. Throughout this chapter, we assume that such a globally Lipschitz condition holds for the subsystems, and thus the well-definedness of the switched system is guaranteed. We further assume that $f_{p}\left(t, \mathbf{0}{n}\right)=\mathbf{0}{n}$ for each $p=1, \ldots, \kappa$. Thus, the zero vector is an equilibrium point of the switched system (2.10). Next, some stability notions for the zero equilibrium point of switched systems are introduced.
cs代写|复杂网络代写complex network代考|CONSENSUS OF LINEAR CNSS WITH DIRECTED SWITCHING TOPOLOGIES
In the past decade, the consensus problem of general linear CNSs has received a lot of attention $[76,146,162,185,186,224]$. Specifically, the consensus problem of linear CNSs under a directed fixed communication topology has been addressed in $[76,224]$. In [162], the robust consensus of linear CNSs with additive perturbations of the transfer matrices of the nominal dynamics was studied. In [163] and a number of subsequent papers, the robust consensus was analyzed from the viewpoint of the $\mathcal{H}_{\infty}$ control theory. Among other relevant references, we mention [146] where, while assuming that the open loop systems are Lyapunov stable, the consensus problem of linear CNSs with undirected switching topologies has been investigated. In the situation where the CNS is equipped with a leader and the topology of the system belongs to the class of directed switching topologies, the consensus tracking problem has been studied in $[185,186]$. One feature of the results in these references is that the open loop agents’ dynamics do not have to be Lyapunov stable. Note that the presence of the leader in the CNSs considered in these references facilitate the derivations and the direct analyses of the consensus error system. However, when the open loop systems are not Lyapunov stable and/or there is no designated leader in the group, the consensus problem for linear CNSs with directed switching topologies remains challenging.
Motivated by the above discussion, this section aims to study the consensus problem for linear CNSs with directed switching topologies. Several aspects of the current study are worth mentioning. Firstly, some of the assumptions in the existing works are dismissed, e.g., the open loop dynamics of the agents do not have to be Lyapunov stable in this chapter. Furthermore, the CNSs under consideration are not required to have a leader. Compared with the consensus problems for linear CNSs with a designated leader, the point of difference here concerns the assumption on the system’s communication topology. In the previous work on the consensus tracking of linear CNSs such as [185], each possible augmented system graph was required to contain a directed spanning tree rooted at the leader. Compared with that work, the switching topologies in this section are allowed to have spanning trees rooted at different nodes. This is a significant relaxation of the previous conditions since it enables the system to be reconfigured if necessary (e.g., to allow different nodes to serve as the formation leader). This also has a potential to make the system more reliable.
复杂网络代写
cs代写|复杂网络代写complex network代考|Multiple Lyapunov functions
为了继续，引入时间相关切换的概念。
切换系统作为一种特殊的混合动力系统，已经被应用数学、系统和控制领域的研究人员研究了很长时间。粗略地 说，切换系统是一个动态系统，由若干子系统和决定这些子系统之间切换的切换规则组成。假设切换系统由以下子 系统族生成
$$
\dot{x}(t)=f_{p}(t, x(t)), x(t) \in \mathbb{R}^{n}, p \in 1, \ldots, \kappa
$$
连同一个开关信号 $\sigma(t):\left[t_{0},+\infty\right) \mapsto 1, \ldots, \kappa$. 注意 $\sigma(t)$ 是在切换时刻切换的分段常数函数 $t_{1}, t_{2}, \ldots$, 并且在 时间间隔上是常数 $\left[t_{k}, t_{k+1}\right), k=0,1, \ldots$ 在本书中，我们假设 $\sigma(t)$ 是右连续的，即， $\sigma(t)=\lim \iota \sigma(\iota)$ ，和 $\inf k \in \mathbb{N}\left(t_{k+1}-t_{k}\right) \geq \tau_{m}$ 对于一些给定的正标量 $\tau_{m}$ 其中 $\inf$ 表示下确界。请看图 $2.2$ 例如。因此具有时间相 关开关信号的开关系统 $\sigma(t)$ 可以用方程来描述
$$
\dot{x}(t)=f_{\sigma(t)}(t, x(t)) .
$$
根据定理 2.1，每个子系统在任意区间上都有唯一解 $\left[t_{k}, t_{k+1}\right), k=0,1, \ldots$, 具有任意初始值 $x\left(t_{k}\right) \in \mathbb{R}^{n}$ 如果 号是很好定义的 $\sigma(t)$ 上面定义的和任何给定的初始值 $x\left(t_{0}\right) \in \mathbb{R}^{n}$. 在本章中，我们假设这样的全局 Lipschitz 条件 适用于子系统，从而保证了切换系统的良好定义。我们进一步假设 $f_{p}(t, \mathbf{0} n)=\mathbf{0} n$ 对于每个 $p=1, \ldots, \kappa$. 因 此，零向量是切换系统 (2.10) 的平衡点。接下来，介绍了切换系统零平衡点的一些稳定性概念。
cs代写|复杂网络代写complex network代考|CONSENSUS OF LINEAR CNSS WITH DIRECTED SWITCHING TOPOLOGIES
在过去十年中，一般线性中枢神经系统的共识问题受到了很多关注[76,146,162,185,186,224]. 具体来说，在有向固定通信拓扑下的线性 CNS 的共识问题已在[76,224]. 在 [162] 中，研究了线性 CNS 与标称动力学的传递矩阵的加性扰动的稳健共识。在 [163] 和随后的一些论文中，稳健的共识是从H∞控制理论。在其他相关参考文献中，我们提到了[146]，其中假设开环系统是 Lyapunov 稳定的，研究了具有无向切换拓扑的线性 CNS 的共识问题。在CNS配备leader且系统拓扑属于有向交换拓扑类的情况下，研究了共识跟踪问题[185,186]. 这些参考文献中结果的一个特点是开环代理的动力学不必是李雅普诺夫稳定的。请注意，在这些参考文献中考虑的 CNS 中领导者的存在促进了对共识错误系统的推导和直接分析。然而，当开环系统不是李雅普诺夫稳定和/或组中没有指定的领导者时，具有定向切换拓扑的线性 CNS 的共识问题仍然具有挑战性。
受上述讨论的启发，本节旨在研究具有定向切换拓扑的线性 CNS 的共识问题。当前研究的几个方面值得一提。首先，现有工作中的一些假设被驳回，例如，在本章中，代理的开环动力学不必是 Lyapunov 稳定的。此外，正在考虑的 CNS 不需要有领导者。与具有指定领导者的线性 CNS 的共识问题相比，这里的不同之处在于对系统通信拓扑的假设。在之前关于线性 CNS 一致性跟踪的工作（如 [185]）中，每个可能的增强系统图都需要包含一个以领导者为根的有向生成树。与那部作品相比，本节中的交换拓扑允许具有植根于不同节点的生成树。这是对先前条件的显着放宽，因为它使系统能够在必要时重新配置（例如，允许不同的节点充当编队领导者）。这也有可能使系统更可靠。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。