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图论Graph Theory通过熟悉许多过去和现在对图论的发展负责的人，可以增强对图论的欣赏。因此，我们收录了一些关于“图论人士”的有趣评论。因为我们相信这些人是图论故事的一部分，所以我们在文中讨论了他们，而不仅仅是作为脚注。我们常常没有认识到数学是一门有生命的学科。图论是人类创造的，是一门仍在不断发展的学科。

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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Euler’s Formula

There is a simple formula relating the numbers of vertices, edges, and faces in a connected plane graph. It is known as Euler’s Formula because Euler established it for those plane graphs defined by the vertices and edges of polyhedra. In this section, we discuss Euler’s Formula and its immediate consequences.

Theorem 6.3.2 (Euler 1750) Let $G$ be a connected plane graph, and let n, m, and $f$ denote, respectively, the numbers of vertices, edges, and faces of $G$. Then $n-m+f=2$.

Proof We employ an induction on $m$, the result being obvious for $m=0$ or 1 . Assume that $m \geq 2$ and the result is true for all connected plane graphs having fewer than $m$ edges, and suppose that $G$ has $m$ edges. Consider first the case $G$ is a tree. Then $G$ has a vertex $v$ of degree one. The connected plane graph $G-v$ has $n-1$ vertices, $m-1$ edges and $f(=1)$ faces, so by the inductive hypothesis, $(n-1)-(m-1)+f=2$, which implies that $n-m+f=2$. Consider next the case when $G$ is not a tree. Then $G$ has an edge $e$ on a cycle. In this case, the connected plane graph $G-e$ has $n$ vertices, $m-1$ edges, and $f-1$ faces, so that the desired formula immediately follows from the inductive hypothesis.

A maximal planar graph is one to which no edge can be added without losing planarity. Thus in any embedding of a maximal planar graph $G$ with $n \geq 3$, the boundary of every face of $G$ is a triangle, and hence the embedding is often called a triangulated plane graph. Although a general graph may have up to $n(n-1) / 2$ edges, it is not true for planar graphs.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Dual Graph

For a plane graph $G$, we often construct another graph $G^$ called the (geometric) dual of $G$ as follows. A vertex $v_i^$ is placed in each face $F_i$ of $G$; these are the vertices of $G^$. Corresponding to each edge $e$ of $G$, we draw an edge $e^$ which crosses $e$ (but no other edge of $G$ ) and joins the vertices $v_i^$ which lie in the faces $F_i$ adjoining $e$; these are the edges of $G^$. The edge $e^$ of $G^$ is called the dual edge of $e$ of $G$. The construction is illustrated in Fig. 6.9; the vertices $v_i^$ are represented by small white circles, and the edges $e^$ of $G^$ by dotted lines. $G^$ is not necessarily a simple graph even if $G$ is simple. Clearly, the dual $G^*$ of a plane graph $G$ is also a plane graph. One can easily observe the following lemma.

Lemma 6.3.6 Let $G$ be a connected plane graph with $n$ vertices, $m$ edges, and $f$ faces, and let the dual $G^$ have $n^$ vertices, $m^$ edges, and $f^$ faces, then $n^=f$, $m^=m$, and $f^*=n$.

Clearly, the dual of the dual of a connected plane graph $G$ is the original graph $G$. However, a planar graph may give rise to two or more geometric duals since the plane embedding is not necessarily unique.

A connected plane graph $G$ is called self-dual if it is isomorphic to its dual $G^$. The graph $G$ in Fig. 6.10 drawn with black vertices and solid edges is a self-dual graph where $G^$ is drawn with white vertices and dotted edges.

A weak dual of a plane graph $G$ is the subgraph of the dual graph of $G$ whose vertices correspond to the inner faces of $G$.

图论代考

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Euler’s Formula

有一个简单的公式可以表示连通平面图中顶点、边和面的数量。它被称为欧拉公式，因为欧拉为那些由多面体的顶点和边定义的平面图形建立了它。在本节中，我们将讨论欧拉公式及其直接结果。

定理6.3.2 (Euler 1750)设$G$为连通平面图，设n、m、$f$分别表示$G$的顶点数、边数和面数。然后$n-m+f=2$。

我们对$m$进行归纳，结果对$m=0$或1是明显的。假设$m \geq 2$和结果对所有边数少于$m$的连通平面图都成立，并假设$G$有$m$条边。首先考虑$G$是一棵树的情况。那么$G$有一个1度的顶点$v$。连通的平面图$G-v$有$n-1$个顶点，$m-1$条边和$f(=1)$个面，所以根据归纳假设$(n-1)-(m-1)+f=2$，这意味着$n-m+f=2$。下面考虑$G$不是树的情况。那么$G$在一个循环上有一条边$e$。在这种情况下，连通的平面图形$G-e$有$n$个顶点、$m-1$条边和$f-1$个面，因此从归纳假设中可以立即得出所需的公式。

最大的平面图是指在不失去平面性的情况下不能添加任何边的图。因此，在极大平面图$G$与$n \geq 3$的任何嵌入中，$G$的每个面的边界都是三角形，因此这种嵌入通常被称为三角化平面图。虽然一般图可能有多达$n(n-1) / 2$条边，但对于平面图来说并非如此。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Dual Graph

对于平面图$G$，我们通常构造另一个图$G^$，称为$G$的(几何)对偶，如下所示。在$G$的每个面$F_i$上放置一个顶点$v_i^$;这些是$G^$的顶点。对应于$G$的每条边$e$，我们画一条边$e^$，它穿过$e$(但没有$G$的其他边)，并连接位于靠近$e$的$F_i$面的顶点$v_i^$;这些是$G^$的边。$G^$的边$e^$称为$G$的边$e$的双边。其结构如图6.9所示;顶点$v_i^$用白色的小圆圈表示，$G^$的边$e^$用虚线表示。$G^$不一定是一个简单的图形，即使$G$很简单。显然，平面图形$G$的对偶$G^*$也是一个平面图形。我们可以很容易地观察到以下引理。

引理6.3.6设$G$为具有$n$顶点、$m$边和$f$面的连通平面图，设对偶$G^$有$n^$顶点、$m^$边和$f^$面，则设$n^=f$、$m^=m$、$f^*=n$。

显然，连通平面图形$G$的对偶的对偶是原始图形$G$。然而，平面图可以产生两个或多个几何对偶，因为平面嵌入不一定是唯一的。

连通平面图$G$如果与其对偶$G^$同构，则称为自对偶。图6.10中以黑色顶点和实边绘制的图形$G$是一个自对偶图形，其中以白色顶点和虚线绘制$G^$。

平面图$G$的弱对偶是$G$对偶图的子图，其顶点对应于$G$的内面。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。