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图论Graph Theory通过熟悉许多过去和现在对图论的发展负责的人，可以增强对图论的欣赏。因此，我们收录了一些关于“图论人士”的有趣评论。因为我们相信这些人是图论故事的一部分，所以我们在文中讨论了他们，而不仅仅是作为脚注。我们常常没有认识到数学是一门有生命的学科。图论是人类创造的，是一门仍在不断发展的学科。

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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Ramsey numbers

Ramsey’s theorem may be rephrased as follows: if $H=K^r$ and $G$ is a graph with sufficiently many vertices, then either $G$ itself or its complement $\bar{G}$ contains a copy of $H$ as a subgraph. Clearly, the same is true for any graph $H$, simply because $H \subseteq K^h$ for $h:=|H|$.

However, if we ask for the least $n$ such that every graph $G$ of order $n$ has the above property – this is the Ramsey number $R(H)$ of $H$-then the above question makes sense: if $H$ has only few edges, it should embed more easily in $G$ or $\bar{G}$, and we would expect $R(H)$ to be smaller than the Ramsey number $R(h)=R\left(K^h\right)$.

A little more generally, let $R\left(H_1, H_2\right)$ denote the least $n \in \mathbb{N}$ such that $H_1 \subseteq G$ or $H_2 \subseteq \bar{G}$ for every graph $G$ of order $n$. For most graphs $H_1, H_2$, only very rough estimates are known for $R\left(H_1, H_2\right)$. Interestingly, lower bounds given by random graphs (as in Theorem 11.1.3) are often sharper than even the best bounds provided by explicit constructions.

The following proposition describes one of the few cases where exact Ramsey numbers are known for a relatively large class of graphs:

Proposition 9.2.1. Let $s, t$ be positive integers, and let $T$ be a tree of order $t$. Then $R\left(T, K^s\right)=(s-1)(t-1)+1$.

Proof. The disjoint union of $s-1$ graphs $K^{t-1}$ contains no copy of $T$, while the complement of this graph, the complete $(s-1)$-partite graph $K_{t-1}^{s-1}$, does not contain $K^s$. This proves $R\left(T, K^s\right) \geqslant(s-1)(t-1)+1$.
Conversely, let $G$ be any graph of order $n=(s-1)(t-1)+1$ whose complement contains no $K^s$. Then $s>1$, and in any vertex colouring of $G$ (in the sense of Chapter 5) at most $s-1$ vertices can have the same colour. Hence, $\chi(G) \geqslant\lceil n /(s-1)\rceil=t$. By Corollary $5.2 .3, G$ has a subgraph $H$ with $\delta(H) \geqslant t-1$, which by Corollary 1.5 .4 contains a copy of $T$.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Induced Ramsey theorems

Ramsey’s theorem can be rephrased as follows. For every graph $H=K^r$ there exists a graph $G$ such that every 2-colouring of the edges of $G$ yields a monochromatic $H \subseteq G$; as it turns out, this is witnessed by any large enough complete graph as $G$. Let us now change the problem slightly and ask for a graph $G$ in which every 2-edge-colouring yields a monochromatic induced $H \subseteq G$, where $H$ is now an arbitrary given graph.

This slight modification changes the character of the problem dramatically. What is needed now is no longer a simple proof that $G$ is ‘big enough’ (as for Theorem 9.1.1), but a careful construction: the construction of a graph that, however we bipartition its edges, contains an induced copy of $H$ with all edges in one partition class. We shall call such a graph a Ramsey graph for $H$.

The fact that such a Ramsey graph exists for every choice of $H$ is one of the fundamental results of graph Ramsey theory. It was proved around 1973 , independently by Deuber, by Erdős, Hajnal \& Pósa, and by Rödl.

Theorem 9.3.1. Every graph has a Ramsey graph. In other words, for every graph $H$ there exists a graph $G$ that, for every partition $\left{E_1, E_2\right}$ of $E(G)$, has an induced subgraph $H$ with $E(H) \subseteq E_1$ or $E(H) \subseteq E_2$.

We give two proofs. Each of these is highly individual, yet each offers a glimpse of true Ramsey theory: the graphs involved are used as hardly more than bricks in the construction, but the edifice is impressive.

图论代考

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Ramsey numbers

拉姆齐定理可以重新表述如下:如果$H=K^r$和$G$是一个具有足够多顶点的图，那么$G$本身或它的补$\bar{G}$包含一个$H$的副本作为子图。显然，对于任何图形$H$都是一样的，因为$H \subseteq K^h$对于$h:=|H|$。

然而，如果我们要求最小的$n$，使得$n$的每个图$G$都具有上述属性——这是$H$的拉姆齐数$R(H)$——那么上面的问题就有意义了:如果$H$只有几个边，它应该更容易嵌入到$G$或$\bar{G}$中，我们会期望$R(H)$比拉姆齐数$R(h)=R\left(K^h\right)$小。

更一般地说，让$R\left(H_1, H_2\right)$表示最小的$n \in \mathbb{N}$，使得$H_1 \subseteq G$或$H_2 \subseteq \bar{G}$对于每个顺序为$n$的图$G$。对于大多数图形$H_1, H_2$，对于$R\left(H_1, H_2\right)$只有非常粗略的估计。有趣的是，随机图给出的下界(如定理11.1.3)往往比显式构造提供的最佳边界更清晰。

下面的命题描述了为数不多的情况之一，其中确切的拉姆齐数是已知的相对较大的一类图:

提案9.2.1设$s, t$为正整数，设$T$为$t$阶的树。然后$R\left(T, K^s\right)=(s-1)(t-1)+1$。

证明。$s-1$图的不相交并$K^{t-1}$不包含$T$的副本，而这个图的补图，完整的$(s-1)$ -部图$K_{t-1}^{s-1}$，不包含$K^s$。这证明了$R\left(T, K^s\right) \geqslant(s-1)(t-1)+1$。
反之，设$G$为任意阶为$n=(s-1)(t-1)+1$的图，其补不包含$K^s$。然后$s>1$，在$G$的任何顶点着色中(在第5章的意义上)，最多$s-1$个顶点可以具有相同的颜色。因此，$\chi(G) \geqslant\lceil n /(s-1)\rceil=t$。根据推论$5.2 .3, G$与$\delta(H) \geqslant t-1$有一个子图$H$，根据推论1.5 .4,包含一个$T$的副本。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Induced Ramsey theorems

拉姆齐定理可以改写如下。对于每个图$H=K^r$，存在一个图$G$，使得$G$的每条边的2种颜色产生一个单色的$H \subseteq G$;事实证明，任何足够大的完全图都可以证明这一点，如$G$。现在让我们稍微改变一下问题，并要求一个图$G$，其中每个2边着色产生一个单色诱导$H \subseteq G$，其中$H$现在是一个任意给定的图。

这个微小的修改戏剧性地改变了问题的性质。现在需要的不再是一个简单的证明$G$“足够大”(如定理9.1.1)，而是一个仔细的构造:一个图的构造，无论我们如何划分它的边，都包含一个$H$的诱导副本，所有的边都在一个划分类中。我们称这种图为$H$的拉姆齐图。

对于每一个$H$的选择都存在这样的Ramsey图，这是图Ramsey理论的基本结果之一。大约在1973年，Deuber, Erdős, Hajnal ＆ Pósa和Rödl分别独立地证明了这一点。

定理9.3.1。每个图都有一个拉姆齐图。换句话说，对于每个图$H$，存在一个图$G$，对于$E(G)$的每个分区$\left{E_1, E_2\right}$，都有一个与$E(H) \subseteq E_1$或$E(H) \subseteq E_2$的诱导子图$H$。

我们给出了两个证明。每一个都是高度独立的，但每一个都提供了真正的拉姆齐理论的一瞥:所涉及的图表几乎与建筑中的砖块差不多，但这座大厦令人印象深刻。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。