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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Matrix Inverses and Elementary Matrices
Invertibility is a strong and useful property. For example, when a linear system $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ has an invertible coefficient matrix $A$, it has a unique solution. The various characterizations of invertibility in Fact 10 below are also quite useful. Throughout this section, $F$ will denote a field.
Definitions:
An $n \times n$ matrix $A$ is invertible, or nonsingular, if there exists another $n \times n$ matrix $B$, called the inverse of $A$, such that $A B=B A=I_n$. The inverse of $A$ is denoted $A^{-1}$ (cf. Fact 1). If no such $B$ exists, $A$ is not invertible, or singular.
For an $n \times n$ matrix and a positive integer $m$, the $\boldsymbol{m}$ th power of $A$ is $A^m=\underbrace{A A \ldots A}_{m \text { copies of } A}$. It is also convenient to define $A^0=I_n$. If $A$ is invertible, then $A^{-m}=\left(A^{-1}\right)^m$.
An elementary matrix is a square matrix obtained by doing one elementary row operation to an identity matrix. Thus, there are three types:
- A multiple of one row of $I_n$ has been added to a different row.
- Two different rows of $I_n$ have been exchanged.
- One row of $I_n$ has been multiplied by a nonzero scalar.
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|LU Factorization
This section discusses the $L U$ and $P L U$ factorizations of a matrix that arise naturally when Gaussian Elimination is done. Several other factorizations are widely used for real and complex matrices, such as the QR, Singular Value, and Cholesky Factorizations. (See Chapter 5 and Chapter 38.) Throughout this section, $F$ will denote a field and $A$ will denote a matrix over $F$. The material in this section and additional background can be found in [GV96, Sec. 3.2].
Definitions:
Let $A$ be a matrix of any shape.
An $L U$ factorization, or triangular factorization, of $A$ is a factorization $A=L U$ where $L$ is a square unit lower triangular matrix and $U$ is upper triangular. A PLU factorization of $A$ is a factorization of the form $P A=L U$ where $P$ is a permutation matrix, $L$ is square unit lower triangular, and $U$ is upper triangular. An $L D U$ factorization of $A$ is a factorization $A=L D U$ where $L$ is a square unit lower triangular matrix, $D$ is a square diagonal matrix, and $U$ is a unit upper triangular matrix.
A $P L D U$ factorization of $A$ is a factorization $P A=L D U$ where $P$ is a permutation matrix, $L$ is a square unit lower triangular matrix, $D$ is a square diagonal matrix, and $U$ is a unit upper triangular matrix.
Facts: [GV96, Sec. 3.2]
- Let $A$ be square. If each leading principal submatrix of $A$, except possibly $A$ itself, is invertible, then $A$ has an $L U$ factorization. When $A$ is invertible, $A$ has an $L U$ factorization if and only if each leading principal submatrix of $A$ is invertible; in this case, the $L U$ factorization is unique and there is also a unique $L D U$ factorization of $A$.
- Any matrix $A$ has a PLU factorization. Algorithm 1 (Section 1.3) performs the addition of multiples of pivot rows to lower rows and perhaps row exchanges to obtain an REF matrix $U$. If instead, the same series of row exchanges are done to $A$ before any pivoting, this creates $P A$ where $P$ is a permutation matrix, and then $P A$ can be reduced to $U$ without row exchanges. That is, there exist unit lower triangular matrices $E_j$ such that $E_k \ldots E_1(P A)=U$. It follows that $P A=L U$, where $L=\left(E_k \ldots E_1\right)^{-1}$ is unit lower triangular and $U$ is upper triangular.
- In most professional software packages, the standard method for solving a square linear system $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$, for which $A$ is invertible, is to reduce $A$ to an REF matrix $U$ as in Fact 2 above, choosing row exchanges by a strategy to reduce pivot size. By keeping track of the exchanges and pivot operations done, this produces a $P L U$ factorization of $A$. Then $A=P^T L U$ and $P^T L U \mathbf{x}=\mathbf{b}$ is the equation to be solved. Using forward substitution, $P^{\mathrm{T}} L \mathbf{y}=\mathbf{b}$ can be solved quickly for $\mathbf{y}$, and then $U \mathbf{x}=\mathbf{y}$ can either be solved quickly for $\mathbf{x}$ by back substitutution, or be seen to be inconsistent. This method gives accurate results for most problems. There are other types of solution methods that can work more accurately or efficiently for special types of matrices.
线性代数代考
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Matrix Inverses and Elementary Matrices
可逆性是一个强大而有用的性质。例如，当一个线性系统$ a \mathbf{x}=\mathbf{b}$有一个可逆系数矩阵$ a $时，它有一个唯一解。下面事实10中对可逆性的各种描述也非常有用。在本节中，$F$将表示一个字段。
定义:
一个$n \乘以n$矩阵$A$是可逆的，或者是非奇异的，如果存在另一个$n \乘以n$矩阵$B$，称为$A$的逆矩阵$B$，使得$A B=B A=I_n$。$A$的逆记为$A^{-1}$(参见事实1)。如果不存在这样的$B$，则$A$不是可逆的或奇异的。
对于一个n * n矩阵和一个正整数m$， $ a $的$ $黑体符号{m}$幂是$ a ^m=\underbrace{a a \ldots a}_{m \text{拷贝}a}$。定义$A^0=I_n$也很方便。如果一个美元是可逆的,然后$ ^ {- m} = \离开(^{1}\右)^ m美元。
初等矩阵是对单位矩阵做一次初等行运算得到的方阵。因此，有三种类型:
$I_n$的一行的倍数被添加到另一行。
交换了两行不同的$I_n$。
$I_n$的一行被一个非零标量乘以。
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|LU Factorization
本节讨论高斯消去时自然产生的矩阵的L U分解和P L U分解。其他一些分解被广泛用于实矩阵和复杂矩阵，如QR、奇异值和Cholesky分解。(参见第5章和第38章。)在本节中，$F$将表示一个字段，$ a $将表示$F$上的矩阵。本节的资料和其他背景资料可在[GV96，第3.2节]中找到。
定义:
设A是任意形状的矩阵。
A$的L$分解或三角分解是A=L $的分解，其中$L$是方形单位下三角矩阵，$U$是上三角矩阵。$A$的PLU分解是$P$ =L U$的形式的分解，其中$P$是一个排列矩阵，$L$是平方单位下三角形，$U$是上三角形。A$的L D U$因式分解是A=L D U$因式分解，其中L$是一个正方形单位下三角矩阵，D$是一个正方形对角线矩阵，U$是一个单位上三角矩阵。
A$的A$ P L D U$因式分解是A$ P =L D U$因式分解，其中$P$是一个置换矩阵，$L$是一个正方形单位下三角矩阵，$D$是一个正方形对角线矩阵，$U$是一个单位上三角矩阵。
事实:[GV96，第3.2节]
设A是平方的。如果$A$的每个前导主子矩阵(可能除了$A$本身)是可逆的，则$A$具有$L U$因数分解。当$A$可逆时，$A$有一个$L U$分解当且仅当$A$的每个主子矩阵可逆;在这种情况下，$L U$分解是唯一的，并且$ a $也有一个唯一的$L D U$分解。
任何矩阵$A$都有PLU分解。算法1(章节1.3)将主行的倍数加到较低的行上，可能还会进行行交换，以获得REF矩阵$U$。相反，如果在任何旋转之前对$A$进行相同的行交换，则会创建$P$，其中$P$是一个排列矩阵，然后$P A$可以减少为$U$，而不需要行交换。即存在单位下三角矩阵E_j使得E_k \ldots E_1(P A)=U$。可得$P A=L U$，其中$L=\left(E_k \ldots E_1\right)^{-1}$为单位下三角形，$U$为上三角形。
在大多数专业软件包中，求解平方线性系统$ a \mathbf{x}=\mathbf{b}$(其中$ a $是可逆的)的标准方法是将$ a $约简为REF矩阵$U$，如上述事实2所示，通过减少枢轴大小的策略选择行交换。通过跟踪交换和所做的枢轴操作，这产生了$P $ L $ $的$ a $因式分解。则$A=P^T L U$和$P^T L U \mathbf{x}=\mathbf{b}$为待解方程。使用前向代换，$P^{\ mathm {T}} L \mathbf{y}=\mathbf{b}$可以快速求解$\mathbf{y}$，然后$U \mathbf{x}=\mathbf{y}$可以通过反向代换快速求解$\mathbf{x}$，或者被视为不一致。这种方法对大多数问题都能给出准确的结果。对于特殊类型的矩阵，还有其他类型的求解方法可以更准确或更有效地工作。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。