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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Span and Linear Independence
Let $V$ be a vector space over a field $F$.
Definitions:
A linear combination of the vectors $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k \in V$ is a sum of scalar multiples of these vectors; that is, $c_1 \mathbf{v}_1+c_2 \mathbf{v}_2+\cdots+c_k \mathbf{v}_k$, for some scalar coefficients $c_1, c_2, \ldots, c_k \in F$. If $S$ is a set of vectors in $V$, a linear combination of vectors in $S$ is a vector of the form $c_1 \mathbf{v}_1+c_2 \mathbf{v}_2+\cdots+c_k \mathbf{v}_k$ with $k \in \mathbb{N}, \mathbf{v}_i \in S, c_i \in F$. Note that $S$ may be finite or infinite, but a linear combination is, by definition, a finite sum. The zero vector is defined to be a linear combination of the empty set.
When all the scalar coefficients in a linear combination are 0 , it is a trivial linear combination. A sum over the empty set is also a trivial linear combination.
The span of the vectors $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k \in V$ is the set of all linear combinations of these vectors, denoted by $\operatorname{Span}\left(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\right)$. If $S$ is a (finite or infinite) set of vectors in $V$, then the span of $S$, denoted by $\operatorname{Span}(S)$, is the set of all linear combinations of vectors in $S$.
If $V=\operatorname{Span}(S)$, then $S$ spans the vector space $V$.
A (finite or infinite) set of vectors $S$ in $V$ is linearly independent if the only linear combination of distinct vectors in $S$ that produces the zero vector is a trivial linear combination. That is, if $\mathbf{v}_i$ are distinct vectors in $S$ and $c_1 \mathbf{v}_1+c_2 \mathbf{v}_2+\cdots+c_k \mathbf{v}_k=\mathbf{0}$, then $c_1=c_2=\cdots=c_k=0$. Vectors that are not linearly independent are linearly dependent. That is, there exist distinct vectors $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k \in S$ and $c_1, c_2, \ldots, c_k$ not all 0 such that $c_1 \mathbf{v}_1+c_2 \mathbf{v}_2+\cdots+c_k \mathbf{v}_k=\mathbf{0}$.
Facts: The following facts can be found in [Lay03, Sections 4.1 and 4.3].
- $\operatorname{Span}(\emptyset)={\mathbf{0}}$.
- A linear combination of a single vector $\mathbf{v}$ is simply a scalar multiple of $\mathbf{v}$.
- In a vector space $V, \operatorname{Span}\left(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\right)$ is a subspace of $V$.
- Suppose the set of vectors $S=\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\right}$ spans the vector space $V$. If one of the vectors, say $\mathbf{v}_i$, is a linear combination of the remaining vectors, then the set formed from $S$ by removing $\mathbf{v}_i$ still spans $V$.
- Any single nonzero vector is linearly independent.
- Two nonzero vectors are linearly independent if and only if neither is a scalar multiple of the other.
- If $S$ spans $V$ and $S \subseteq T$, then $T$ spans $V$.
- If $T$ is a linearly independent subset of $V$ and $S \subseteq T$, then $S$ is linearly independent.
- Vectors $\mathbf{v}1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ are linearly dependent if and only if $\mathbf{v}_i=c_1 \mathbf{v}_1+\cdots+c{i-1} \mathbf{v}{i-1}+c{i+1} \mathbf{v}{i+1}$ $+\cdots+c_k \mathbf{v}_k$, for some $1 \leq i \leq k$ and some scalars $c_1, \ldots, c{i-1}, c_{i+1}, \ldots, c_k$. A set $S$ of vectors in $V$ is linearly dependent if and only if there exists $\mathbf{v} \in S$ such that $\mathbf{v}$ is a linear combination of other vectors in $S$.
- Any set of vectors that includes the zero vector is linearly dependent.
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Basis and Dimension of a Vector Space
Let $V$ be a vector space over a field $F$.
Definitions:
A set of vectors $\mathcal{B}$ in a vector space $V$ is a basis for $V$ if
- $\mathcal{B}$ is a linearly independent set, and
- $\operatorname{Span}(\mathcal{B})=V$.
The set $\mathcal{E}_n=\left{\mathbf{e}_1=\left[\begin{array}{c}1 \ 0 \ 0 \ \vdots \ 0\end{array}\right], \mathbf{e}_2=\left[\begin{array}{c}0 \ 1 \ 0 \ \vdots \ 0\end{array}\right], \ldots, \mathbf{e}_n=\left[\begin{array}{c}0 \ 0 \ \vdots \ 0 \ 1\end{array}\right]\right}$ is the standard basis for $F^n$.
The number of vectors in a basis for a vector space $V$ is the dimension of $V$, denoted by $\operatorname{dim}(V)$. If a basis for $V$ contains a finite number of vectors, then $V$ is finite dimensional. Otherwise, $V$ is infinite dimensional, and we write $\operatorname{dim}(V)=\infty$.
Facts: All the following facts, except those with a specific reference, can be found in [Lay03, Sections 4.3 and 4.5 ].
- Every vector space has a basis.
- The standard basis for $F^n$ is a basis for $F^n$, and so $\operatorname{dim} F^n=n$.
- A basis $\mathcal{B}$ in a vector space $V$ is the largest set of linearly independent vectors in $V$ that contains $\mathcal{B}$, and it is the smallest set of vectors in $V$ that contains $\mathcal{B}$ and spans $V$.
- The empty set is a basis for the trivial vector space ${0}$, and $\operatorname{dim}({0})=0$.
- If the set $S=\left{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_p\right}$ spans a vector space $V$, then some subset of $S$ forms a basis for $V$. In particular, if one of the vectors, say $\mathbf{v}_i$, is a linear combination of the remaining vectors, then the set formed from $S$ by removing $\mathbf{v}_i$ will be “closer” to a basis for $V$. This process can be continued until the remaining vectors form a basis for $V$.
- If $S$ is a linearly independent set in a vector space $V$, then $S$ can be expanded, if necessary, to a basis for $V$.
- No nontrivial vector space over a field with more than two elements has a unique basis.
- If a vector space $V$ has a basis containing $n$ vectors, then every basis of $V$ must contain $n$ vectors. Similarly, if $V$ has an infinite basis, then every basis of $V$ must be infinite. So the dimension of $V$ is unique.
- Let $\operatorname{dim}(V)=n$ and let $S$ be a set containing $n$ vectors. The following are equivalent:
$S$ is a basis for $V$.
$S$ spans $V$.
$S$ is linearly independent.
- If $\operatorname{dim}(V)=n$, then any subset of $V$ containing more than $n$ vectors is linearly dependent.
- If $\operatorname{dim}(V)=n$, then any subset of $V$ containing fewer than $n$ vectors does not span $V$.
- [Lay03, Section 4.4] If $\mathcal{B}=\left{\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_p\right}$ is a basis for a vector space $V$, then each $\mathbf{x} \in V$ can be expressed as a unique linear combination of the vectors in $\mathcal{B}$. That is, for each $\mathbf{x} \in V$ there is a unique set of scalars $c_1, c_2, \ldots, c_p$ such that $\mathbf{x}=c_1 \mathbf{b}_1+c_2 \mathbf{b}_2+\cdots+c_p \mathbf{b}_p$.
线性代数代考
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Span and Linear Independence
设$V$是场$F$上的向量空间。
定义:
向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k \in V$的线性组合是这些向量的标量倍数的和;也就是$c_1 \mathbf{v}_1+c_2 \mathbf{v}_2+\cdots+c_k \mathbf{v}_k$，对于某些标量系数$c_1, c_2, \ldots, c_k \in F$。如果$S$是$V$中的向量集合，那么$S$中向量的线性组合就是$c_1 \mathbf{v}_1+c_2 \mathbf{v}_2+\cdots+c_k \mathbf{v}_k$与$k \in \mathbb{N}, \mathbf{v}_i \in S, c_i \in F$的形式的向量。注意$S$可能是有限的，也可能是无限的，但是根据定义，线性组合是一个有限的和。零向量被定义为空集合的线性组合。
当一个线性组合中所有的标量系数都为0时，它是一个平凡线性组合。空集合上的和也是平凡线性组合。
向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k \in V$张成的空间是这些向量的所有线性组合的集合，用$\operatorname{Span}\left(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\right)$表示。如果$S$是$V$中向量的(有限或无限)集合，那么$S$的张成空间(用$\operatorname{Span}(S)$表示)就是$S$中所有向量的线性组合的集合。
如果$V=\operatorname{Span}(S)$，那么$S$张成向量空间$V$。
如果$S$中产生零向量的不同向量的唯一线性组合是平凡线性组合，则$V$中的(有限或无限)向量集$S$是线性无关的。也就是说，如果$\mathbf{v}_i$在$S$和$c_1 \mathbf{v}_1+c_2 \mathbf{v}_2+\cdots+c_k \mathbf{v}_k=\mathbf{0}$中是不同的向量，那么$c_1=c_2=\cdots=c_k=0$。不是线性无关的向量是线性相关的。也就是说，存在不同的向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k \in S$和$c_1, c_2, \ldots, c_k$，不都是0，使得$c_1 \mathbf{v}_1+c_2 \mathbf{v}_2+\cdots+c_k \mathbf{v}_k=\mathbf{0}$。
事实:以下事实可在[Lay03，章节4.1和4.3]中找到。
$\operatorname{Span}(\emptyset)={\mathbf{0}}$．
单个向量$\mathbf{v}$的线性组合就是$\mathbf{v}$的标量倍。
在向量空间中$V, \operatorname{Span}\left(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\right)$是$V$的子空间。
假设向量集合$S=\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k\right}$张成向量空间$V$。如果其中一个向量，比如说$\mathbf{v}_i$，是其他向量的线性组合，那么由$S$通过除去$\mathbf{v}_i$而形成的集合仍然张成$V$。
任何一个非零向量都是线性无关的。
两个非零向量是线性无关的当且仅当两者都不是另一个的标量倍。
如果$S$张成$V$和$S \subseteq T$，那么$T$张成$V$。
如果$T$是$V$和$S \subseteq T$的线性独立子集，则$S$是线性独立的。
向量$\mathbf{v}1, \mathbf{v}2, \ldots, \mathbf{v}_k$是线性相关的当且仅当$\mathbf{v}_i=c_1 \mathbf{v}_1+\cdots+c{i-1} \mathbf{v}{i-1}+c{i+1} \mathbf{v}{i+1}$$+\cdots+c_k \mathbf{v}_k$，对于一些$1 \leq i \leq k$和一些标量$c_1, \ldots, c{i-1}, c{i+1}, \ldots, c_k$。当且仅当存在$\mathbf{v} \in S$使得$\mathbf{v}$是$S$中其他向量的线性组合时，$V$中的向量集合$S$是线性相关的。
任何包含零向量的向量集合都是线性相关的。
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Basis and Dimension of a Vector Space
设$V$是场$F$上的向量空间。
定义:
向量空间$V$中的一组向量$\mathcal{B}$是$V$ if的基
$\mathcal{B}$ 是一个线性无关的集合，那么
$\operatorname{Span}(\mathcal{B})=V$．
集合$\mathcal{E}_n=\left{\mathbf{e}_1=\left[\begin{array}{c}1 \ 0 \ 0 \ \vdots \ 0\end{array}\right], \mathbf{e}_2=\left[\begin{array}{c}0 \ 1 \ 0 \ \vdots \ 0\end{array}\right], \ldots, \mathbf{e}_n=\left[\begin{array}{c}0 \ 0 \ \vdots \ 0 \ 1\end{array}\right]\right}$是$F^n$的标准基础。
向量空间$V$的基中向量的个数是$V$的维数，用$\operatorname{dim}(V)$表示。如果$V$的一组基包含有限个向量，那么$V$是有限维的。否则，$V$是无限大的维度，写成$\operatorname{dim}(V)=\infty$。
事实:以下所有事实，除了有具体参考的，都可以在[Lay03，章节4.3和4.5]中找到。
每个向量空间都有一组基。
$F^n$的标准基是$F^n$的基，因此$\operatorname{dim} F^n=n$也是如此。
向量空间$V$中的基$\mathcal{B}$是$V$中包含$\mathcal{B}$的最大的线性无关向量集，它是$V$中包含$\mathcal{B}$并张成$V$的最小向量集。
空集是平凡向量空间${0}$和$\operatorname{dim}({0})=0$的一组基。
如果设置为 $S=\left{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_p\right}$ 张成一个向量空间 $V$的某个子集 $S$ 构成…的基础 $V$． 特别地，如果其中一个向量，比如说 $\mathbf{v}_i$，是剩余向量的线性组合，则由 $S$ 通过移除 $\mathbf{v}_i$ 会不会“更接近”一个基础 $V$． 这个过程可以继续，直到剩下的向量形成一个基础 $V$．
如果$S$是一个向量空间$V$中的线性无关的集合，那么$S$可以展开，如果必要的话，成为$V$的一组基。
具有两个以上元素的域上的非平凡向量空间没有唯一基。
如果一个向量空间$V$有一个包含$n$向量的基，那么$V$的每个基都必须包含$n$向量。类似地，如果$V$有无限基，那么$V$的每个基都必须是无限的。所以$V$的维数是唯一的。
设$\operatorname{dim}(V)=n$和$S$是包含$n$个向量的集合。以下是等价的:
$S$ 是$V$的基础。
$S$横跨$V$。
$S$是线性无关的。
如果$\operatorname{dim}(V)=n$，那么包含超过$n$个向量的$V$的任何子集是线性相关的。
如果是$\operatorname{dim}(V)=n$，那么包含少于$n$向量的$V$的任何子集都不会张成$V$。
[Lay03, Section 4.4]如果$\mathcal{B}=\left{\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_p\right}$是一个向量空间$V$的基，那么每个$\mathbf{x} \in V$可以表示为$\mathcal{B}$中向量的唯一线性组合。也就是说，对于每个$\mathbf{x} \in V$，都有一组唯一的标量$c_1, c_2, \ldots, c_p$，使得$\mathbf{x}=c_1 \mathbf{b}_1+c_2 \mathbf{b}_2+\cdots+c_p \mathbf{b}_p$。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。