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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Direct Sum Decompositions

Throughout this section, $V$ will be a vector space over a field $F$, and $W_i$, for $i=1, \ldots, k$, will be subspaces of $V$. For facts and general reading for this section, see [HK71].

Definitions:
The sum of subspaces $W_i$, for $i=1, \ldots, k$, is $\sum_{i=1}^k W_i=W_1+\cdots+W_k=\left{\mathbf{w}1+\cdots+\mathbf{w}_k \mid \mathbf{w}_i \in W_i\right}$. The sum $W_1+\cdots+W_k$ is a direct sum if for all $i=1, \ldots, k$, we have $W_i \cap \sum{j \neq i} W_j={0}$. $W=W_1 \oplus \cdots \oplus W_k$ denotes that $W=W_1+\cdots+W_k$ and the sum is direct. The subspaces $W_i$, for $i=i, \ldots, k$, are independent if for $\mathbf{w}_i \in W_i, \mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_k=\mathbf{0}$ implies $\mathbf{w}_i=\mathbf{0}$ for all $i=1, \ldots, k$. Let $V_i$, for $i=1, \ldots, k$, be vector spaces over $F$. The external direct sum of the $V_i$, denoted $V_1 \times \cdots \times V_k$, is the cartesian product of $V_i$, for $i=1, \ldots, k$, with coordinate-wise operations. Let $W$ be a subspace of $V$. An additive coset of $W$ is a subset of the form $v+W={v+w \mid w \in W}$ with $v \in V$. The quotient of $V$ by $W$, denoted $V / W$, is the set of additive cosets of $W$ with operations $\left(v_1+W\right)+\left(v_2+W\right)=\left(v_1+v_2\right)+W$ and $c(v+W)=(c v)+W$, for any $c \in F$. Let $V=W \oplus U$, let $\mathcal{B}_W$ and $\mathcal{B}_U$ be bases for $W$ and $U$ respectively, and let $\mathcal{B}=\mathcal{B}_W \cup \mathcal{B}_U$. The induced basis of $\mathcal{B}$ in $V / W$ is the set of vectors $\left{u+W \mid u \in \mathcal{B}_U\right}$.

Facts:

$W=W_1 \oplus W_2$ if and only if $W=W_1+W_2$ and $W_1 \cap W_2={0}$.
If $W$ is a subspace of $V$, then there exists a subspace $U$ of $V$ such that $V=W \oplus U$. Note that $U$ is not usually unique.
Let $W=W_1+\cdots+W_k$. The following are equivalent:

$W=W_1 \oplus \cdots \oplus W_k$. That is, for all $i=1, \ldots, k$, we have $W_i \cap \sum_{j \neq i} W_j={0}$.
$W_i \cap \sum_{j=1}^{i-1} W_j={0}$, for all $i=2, \ldots, k$.
For each $\mathbf{w} \in W, \mathbf{w}$ can be expressed in exactly one way as a sum of vectors in $W_1, \ldots, W_k$. That is, there exist unique $\mathbf{w}_i \in W_i$, such that $\mathbf{w}=\mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_k$.
The subspaces $W_i$, for $i=1, \ldots, k$, are independent.
If $\mathcal{B}i$ is an (ordered) basis for $W_i$, then $\mathcal{B}=\bigcup{i=1}^k \mathcal{B}_i$ is an (ordered) basis for $W$.

If $\mathcal{B}$ is a basis for $V$ and $\mathcal{B}$ is partitioned into disjoint subsets $\mathcal{B}_i$, for $i=1, \ldots, k$, then $V=\operatorname{Span}\left(\mathcal{B}_1\right) \oplus \cdots \oplus \operatorname{Span}\left(\mathcal{B}_k\right)$.
If $S$ is a linearly independent subset of $V$ and $S$ is partitioned into disjoint subsets $S_i$, for $i=1, \ldots, k$, then the subspaces $\operatorname{Span}\left(S_1\right), \ldots, \operatorname{Span}\left(S_k\right)$ are independent.
If $V$ is finite dimensional and $V=W_1+\cdots+W_k$, then $\operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}\left(W_1\right)+\cdots+\operatorname{dim}\left(W_k\right)$ if and only if $V=W_1 \oplus \cdots \oplus W_k$.
Let $V_i$, for $i=1, \ldots, k$, be vector spaces over $F$.

$V_1 \times \cdots \times V_k$ is a vector space over $F$.
$\widehat{V}_i=\left{\left(0, \ldots, 0, v_i, 0, \ldots, 0\right) \mid v_i \in V_i\right}$ (where $v_i$ is the $i$ th coordinate) is a subspace of $V_1 \times \cdots \times V_k$.
$V_1 \times \cdots \times V_k=\widehat{V}_1 \oplus \cdots \oplus \widehat{V}_k$.
If $V_i$, for $i=1, \ldots, k$, are finite dimensional, then $\operatorname{dim} \widehat{V}_i=\operatorname{dim} V_i$ and $\operatorname{dim}\left(V_1 \times \cdots \times V_k\right)=$ $\operatorname{dim} V_1+\cdots+\operatorname{dim} V_k$.

If $W$ is a subspace of $V$, then the quotient $V / W$ is a vector space over $F$.
Let $V=W \oplus U$, let $\mathcal{B}_W$ and $\mathcal{B}_U$ be bases for $W$ and $U$ respectively, and let $\mathcal{B}=\mathcal{B}_W \cup \mathcal{B}_U$. The induced basis of $\mathcal{B}$ in $V / W$ is a basis for $V / W$ and $\operatorname{dim}(V / W)=\operatorname{dim} U$.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Matrix Range, Null Space, Rank, and the Dimension Theorem

Definitions:
For any matrix $A \in F^{m \times n}$, the range of $A$, denoted by range $(A)$, is the set of all linear combinations of the columns of $A$. If $A=\left[\mathbf{m}_1 \mathbf{m}_2 \ldots \mathbf{m}_n\right]$, then $\operatorname{range}(A)=\operatorname{Span}\left(\mathbf{m}_1, \mathbf{m}_2, \ldots, \mathbf{m}_n\right)$. The $\operatorname{range}$ of $A$ is also called the column space of $A$.

The row space of $A$, denoted by $\operatorname{RS}(A)$, is the set of all linear combinations of the rows of $A$. If $A=\left[\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_2 \ldots \mathbf{v}_m\right]^T$, then $\operatorname{RS}(A)=\operatorname{Span}\left(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m\right)$.

The kernel of $A$, denoted by $\operatorname{ker}(A)$, is the set of all solutions to the homogeneous equation $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$. The kernel of $A$ is also called the null space of $A$, and its dimension is called the nullity of $A$, denoted by $\operatorname{null}(A)$.

The rank of $A$, denoted by $\operatorname{rank}(A)$, is the number of leading entries in the reduced row echelon form of $A$ (or any row echelon form of $A$ ). (See Section 1.3 for more information.)

$A, B \in F^{m \times n}$ are equivalent if $B=C_1^{-1} A C_2$ for some invertible matrices $C_1 \in F^{m \times m}$ and $C_2 \in F^{n \times n}$. $A, B \in F^{n \times n}$ are similar if $B=C^{-1} A C$ for some invertible matrix $C \in F^{n \times n}$. For square matrices $A_1 \in F^{n_1 \times n_1}, \ldots, A_k \in F^{n_k \times n_k}$, the matrix direct sum $A=A_1 \oplus \cdots \oplus A_k$ is the block diagonal matrix with the matrices $A_i$ down the diagonal. That is, $A=\left[\begin{array}{ccc}A_1 & & \ & \ddots & \ & & \ \mathbf{0} & & A_k\end{array}\right]$, where $A \in F^{n \times n}$ with $n=\sum_{i=1}^k n_i$.

线性代数代考

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Direct Sum Decompositions

在本节中，$V$将是域$F$上的向量空间，对于$i=1, \ldots, k$, $W_i$将是$V$的子空间。有关本节的资料及一般阅读资料，请参阅[HK71]。

定义:
对于$i=1, \ldots, k$，子空间$W_i$的和是$\sum_{i=1}^k W_i=W_1+\cdots+W_k=\left{\mathbf{w}1+\cdots+\mathbf{w}_k \mid \mathbf{w}_i \in W_i\right}$。和$W_1+\cdots+W_k$是一个直接和如果对所有$i=1, \ldots, k$，我们有$W_i \cap \sum{j \neq i} W_j={0}$。$W=W_1 \oplus \cdots \oplus W_k$表示$W=W_1+\cdots+W_k$，和是直接的。对于$i=i, \ldots, k$的子空间$W_i$是独立的，如果对于$\mathbf{w}_i \in W_i, \mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_k=\mathbf{0}$意味着对于所有$i=1, \ldots, k$的子空间$\mathbf{w}_i=\mathbf{0}$。对于$i=1, \ldots, k$，设$V_i$是$F$上的向量空间。$V_i$的外部直接和，记为$V_1 \times \cdots \times V_k$，是$V_i$的笛卡尔积，对于$i=1, \ldots, k$，通过坐标操作。设$W$是$V$的一个子空间。$W$的加性协集是带有$v \in V$的形式$v+W={v+w \mid w \in W}$的子集。对于任意$c \in F$, $V$除以$W$的商，记为$V / W$，是$W$具有$\left(v_1+W\right)+\left(v_2+W\right)=\left(v_1+v_2\right)+W$和$c(v+W)=(c v)+W$操作的可加性协集的集合。设$V=W \oplus U$、$\mathcal{B}_W$和$\mathcal{B}_U$分别为$W$和$U$的基，设$\mathcal{B}=\mathcal{B}_W \cup \mathcal{B}_U$。$V / W$中$\mathcal{B}$的诱导基是一组向量$\left{u+W \mid u \in \mathcal{B}_U\right}$。

事实:

$W=W_1 \oplus W_2$ 当且仅当$W=W_1+W_2$和$W_1 \cap W_2={0}$。

如果$W$是$V$的一个子空间，则存在$V$的一个子空间$U$，使得$V=W \oplus U$。请注意，$U$通常不是唯一的。

让$W=W_1+\cdots+W_k$。以下是等价的:

$W=W_1 \oplus \cdots \oplus W_k$．也就是说，对于所有$i=1, \ldots, k$，我们有$W_i \cap \sum_{j \neq i} W_j={0}$。

$W_i \cap \sum_{j=1}^{i-1} W_j={0}$，为所有$i=2, \ldots, k$。

对于每个$\mathbf{w} \in W, \mathbf{w}$，都可以用一种方式表示为$W_1, \ldots, W_k$中向量的和。也就是说，存在唯一的$\mathbf{w}_i \in W_i$，使得$\mathbf{w}=\mathbf{w}_1+\cdots+\mathbf{w}_k$。

对于$i=1, \ldots, k$，子空间$W_i$是独立的。

如果$\mathcal{B}i$是$W_i$的(有序)基，那么$\mathcal{B}=\bigcup{i=1}^k \mathcal{B}_i$就是$W$的(有序)基。

如果$\mathcal{B}$是$V$的基，并且$\mathcal{B}$被划分为不相交的子集$\mathcal{B}_i$，那么对于$i=1, \ldots, k$，则$V=\operatorname{Span}\left(\mathcal{B}_1\right) \oplus \cdots \oplus \operatorname{Span}\left(\mathcal{B}_k\right)$。

如果$S$是$V$的线性无关子集，并且$S$被划分为不相交的子集$S_i$，对于$i=1, \ldots, k$，则子空间$\operatorname{Span}\left(S_1\right), \ldots, \operatorname{Span}\left(S_k\right)$是独立的。

如果$V$是有限维的并且$V=W_1+\cdots+W_k$，那么$\operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}\left(W_1\right)+\cdots+\operatorname{dim}\left(W_k\right)$当且仅当$V=W_1 \oplus \cdots \oplus W_k$。

对于$i=1, \ldots, k$，设$V_i$是$F$上的向量空间。

$V_1 \times \cdots \times V_k$ 是$F$上的向量空间。

$\widehat{V}_i=\left{\left(0, \ldots, 0, v_i, 0, \ldots, 0\right) \mid v_i \in V_i\right}$ (其中$v_i$是$i$的第一个坐标)是$V_1 \times \cdots \times V_k$的子空间。

$V_1 \times \cdots \times V_k=\widehat{V}_1 \oplus \cdots \oplus \widehat{V}_k$．

如果$V_i$，对于$i=1, \ldots, k$，是有限维的，那么$\operatorname{dim} \widehat{V}_i=\operatorname{dim} V_i$和$\operatorname{dim}\left(V_1 \times \cdots \times V_k\right)=$$\operatorname{dim} V_1+\cdots+\operatorname{dim} V_k$。

如果$W$是$V$的子空间，那么商$V / W$是$F$上的向量空间。

设$V=W \oplus U$、$\mathcal{B}_W$和$\mathcal{B}_U$分别为$W$和$U$的基，设$\mathcal{B}=\mathcal{B}_W \cup \mathcal{B}_U$。$V / W$中$\mathcal{B}$的归纳基础是$V / W$和$\operatorname{dim}(V / W)=\operatorname{dim} U$的基础。

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Matrix Range, Null Space, Rank, and the Dimension Theorem

定义:
对于任意矩阵$A \in F^{m \times n}$, $A$的值域，用range $(A)$表示，是$A$列的所有线性组合的集合。如果是$A=\left[\mathbf{m}_1 \mathbf{m}_2 \ldots \mathbf{m}_n\right]$，那么就是$\operatorname{range}(A)=\operatorname{Span}\left(\mathbf{m}_1, \mathbf{m}_2, \ldots, \mathbf{m}_n\right)$。$A$的$\operatorname{range}$也称为$A$的列空间。

$A$的行空间，用$\operatorname{RS}(A)$表示，是$A$的所有行线性组合的集合。如果是$A=\left[\mathbf{v}_1 \mathbf{v}_2 \ldots \mathbf{v}_m\right]^T$，那么就是$\operatorname{RS}(A)=\operatorname{Span}\left(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m\right)$。

$A$的核，用$\operatorname{ker}(A)$表示，是齐次方程$A \mathbf{x}=\mathbf{0}$的所有解的集合。$A$的核也称为$A$的零空间，其维数称为$A$的零，用$\operatorname{null}(A)$表示。

$A$的秩，用$\operatorname{rank}(A)$表示，是$A$的行简化阶梯形(或$A$的任何行阶梯形)中前导项的个数。(更多信息见1.3节。)

$A, B \in F^{m \times n}$ 是相等的 $B=C_1^{-1} A C_2$ 对于一些可逆矩阵 $C_1 \in F^{m \times m}$ 和 $C_2 \in F^{n \times n}$． $A, B \in F^{n \times n}$ 是相似的 $B=C^{-1} A C$ 对于某个可逆矩阵 $C \in F^{n \times n}$．对于方阵 $A_1 \in F^{n_1 \times n_1}, \ldots, A_k \in F^{n_k \times n_k}$，矩阵的直和 $A=A_1 \oplus \cdots \oplus A_k$ 方块矩阵和矩阵对角吗 $A_i$ 沿着对角线。也就是说， $A=\left[\begin{array}{ccc}A_1 & & \ & \ddots & \ & & \ \mathbf{0} & & A_k\end{array}\right]$，其中 $A \in F^{n \times n}$ 有 $n=\sum_{i=1}^k n_i$．

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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