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数学代写|数学建模代写math modelling代考|Bifurcation Analysis and Open-Loop Stability
To find suitable operational regions of the $\mathrm{ABE}$ process, a bifurcation analysis was performed. Figures 2(a-c) show the bifurcation diagrams (at steady state) for biomass, glycerol and butanol, employing the dilution rate and the glycerol inlet concentration as bifurcation parameters. The figures show that when a glycerol inlet concentration close to $60 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1}$ and a dilution rate value of $0.062 \mathrm{~h}^{-1}$, it is possible to obtain a glycerol consumption of $97.5 \%$. It can be noted that under these conditions, biomass concentrations close to $30 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1}$ and a production of butanol of 9.4 $\mathrm{g} \mathrm{L}^{-1}$ can be obtained, this is a natural response of the fermentation, such that with an increase of the corresponding substrate the biomass growth is also increased, improving the butanol generation, under the restrictiction of the inhibitory substrate concentration value. From this analysis, it was observed that the butanol concentration can be increased up to $62 \%$. Similar operating conditions near to this operational region can be selected as suitable operating set points for controlling purposes. For our case study, $8 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1}$ and $9.4 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1}$ of butanol were selected as reference points. Can be noticed that with the bifurcation analysis the rank of the dilituin rate can also be determinated, is observed that higher values of the dilution rate, the residence time of the reactives in the bioreactor is diminished together with the glycerol conversion.
Moreover, it is widely known that an equilibrium point of the dynamic system is stable if all the eigenvalues $(\lambda)$ have negative real parts of their linear representation by the Jacobian matrix of the system. An equilibrium point is unstable if at least one of the eigenvalues has a positive real part [31]. The eigenvalues corresponding to the equilibrium points of biomass, glycerol and butanol presented in Figures 1(a-c), resulted for all cases with negative real values (data not shown), which indicates that the equilibrium points presented from this analysis are stable, under the selected operation conditions. However, under small changes of process parameters the corresponding equilibrium points can be altered, leading the bioreactor production to undesirable process conditions, such as washout regimen, low conversion regimen, input multiplicity and so on.
数学代写|数学建模代写math modelling代考|Closed Loop Analysis
Numerical experiments were carried out to show the closed-loop behavior of the bioreactor. The initial conditions were $x_l=0.05 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1}, x_2=40 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1}$, $x_3=0.0 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1}$ and $x_{2 i n}=60 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1}$. The proposed controller is based on a single input-single output (SISO) structure, where the butanol concentration is considered as the controlled variable, while the input flow defined by the dilution rate $(D)$, is considered as the control input. The controller parameters were estimated as $k_l=300 \mathrm{~g}^3 \mathrm{~L}^{-3}$ and $k_2=0.016 \mathrm{~h}^{-1}$ in accordance with the previous theoretical results. The parameter $n$ obeys the theoretical property given by the inequality of Eq. (11), but for practical application $n=3$ is proposed, resulting in a cubic controller. The $n$ value was selected considering the best output control response and the corresponding control effort. Furthermore, numerical experiments were programmed so that after $60 \mathrm{~h}$ the control law is activated with a first set point of $x_{3 s p}=8 \mathrm{gL}^{-1}$. Subsequently, after $100 \mathrm{~h}$, a second set point, $x_{3 s p}=$ $9.4 \mathrm{gL}^{-1}$ is activated. It is important to note that the selected set points are in accordance with the results from the bifurcation analysis, in order to select operating points with a high butanol production and avoid the inhibition effect. As mentioned, the control task is the increase of the butanol concentration via the dilution rate manipulation via the proposed control law. However, as can be observed in the mathematical model structure of the bioreactor, the dilution rate affect to all the state equations and then their corresponding dynamic response, for this is necessary to analyse the dynamic response of the properly uncontrolled variables under variation of the dilution rate to prevent undesirable effects or unstabilities of this uncontrolled mass concentrations. The above mentioned undesirable effects can include inhibitory glycerol concentrations and biomass washout in the bioreactor.
数学建模代写
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为了找到$\ mathm {ABE}$过程的合适操作区域，进行了分岔分析。图2(a-c)显示了生物质、甘油和丁醇的分岔图(稳态)，分岔参数为稀释率和甘油进口浓度。由图可知，当甘油进口浓度接近$60 \ mathm {~g} \ mathm {~L}^{-1}$，稀释率值为$0.062 \ mathm {~h}^{-1}$时，甘油消耗量可达$ 97.5% $。可以注意到，在这些条件下，可以获得接近$30 \ mathm {~g} \ mathm {~L}^{-1}$的生物量浓度和9.4 $\ mathm {g} \ mathm {L}^{-1}$的丁醇产量，这是发酵的自然反应，在抑制底物浓度值的限制下，随着相应底物的增加，生物量的增长也随之增加，提高了丁醇的生成。从这个分析中可以看出，丁醇的浓度可以提高到62%。在该操作区域附近，可以选择类似的操作条件作为合适的操作设定点进行控制。选取$8 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1}$和$9.4 \mathrm{~g} \mathrm{~L}^{-1}$作为丁醇的参考点。可以注意到，通过分岔分析，还可以确定稀释率的等级，观察到稀释率值越高，反应物在生物反应器中的停留时间越短，甘油转化率也越低。
此外，众所周知，如果系统的雅可比矩阵表示的所有特征值$(\ λ)$的线性表示具有负实部，则动态系统的平衡点是稳定的。如果至少有一个特征值具有正实部，则平衡点是不稳定的[31]。图1(a-c)所示的生物质、甘油和丁醇的平衡点对应的特征值在所有实值为负的情况下(数据未显示)都得到，这表明在所选的操作条件下，本分析给出的平衡点是稳定的。然而，在工艺参数的微小变化下，相应的平衡点可能发生改变，导致生物反应器生产出现不良的工艺条件，如冲洗工况、低转化率工况、输入多重性等。
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通过数值实验验证了生物反应器的闭环特性。初始条件x_l = 0.05美元\ mathrm {~ g} \ mathrm {~ L} ^ {1}, x_2 = 40 \ mathrm {~ g} \ mathrm {~ L} ^ {1} $, x_3 = 0.0美元\ mathrm {~ g} \ mathrm {~ L} ^{1}和美元间的{2 i n} = 60 \ mathrm {~ g} \ mathrm {~ L} ^{1} $。所提出的控制器基于单输入-单输出(SISO)结构，其中丁醇浓度被认为是受控变量，而稀释率$(D)$定义的输入流量被认为是控制输入。根据前人的理论结果，估计控制器参数为$k_l=300 \ mathm {~g}^3 \ mathm {~L}^{-3}$和$k_2=0.016 \ mathm {~h}^{-1}$。参数$n$符合公式(11)不等式的理论性质，但在实际应用中，我们提出$n=3$，从而得到一个三次控制器。考虑最佳输出控制响应和相应的控制努力，选择$n$值。在$60 \ mathm {~h}$后，以$x_{3 s p}=8 \ mathm {gL}^{-1}$为第一个设定点激活控制律。随后，在$100 \mathrm{~h}$之后，第二个设定点$x_{3 s p}=$ $9.4 \mathrm{gL}^{-1}$被激活。重要的是要注意，所选择的设定值与分岔分析的结果一致，以便选择具有高丁醇产量的操作点并避免抑制效应。如前所述，控制任务是通过提出的控制律通过稀释率操作来增加丁醇浓度。然而，从生物反应器的数学模型结构中可以看出，稀释率会影响所有状态方程，进而影响它们相应的动态响应，因此有必要分析适当的不受控制变量在稀释率变化下的动态响应，以防止这种不受控制的质量浓度产生不良影响或不稳定。上述不良影响可包括生物反应器中的抑制甘油浓度和生物质冲洗。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。