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课程介绍：
Many phenomena in engineering and the physical and biological sciences can be described
using mathematical models. Frequently the resulting models cannot be solved analytically,
in which case a common approach is to use a numerical method to find an approximate
solution. The aim of this course is to introduce the basic ideas underpinning computational mathematics, study a series of numerical methods to solve different problems, and
carry out a rigorous mathematical analysis of their accuracy and stability
Numerical Methods 数值方法作业案例
we derived the an equation to describe a mass that is attached to a spring that would break when its elongation reached $0.03 \mathrm{~m}$ during resonant vibration of the springmass system. We need to determine the time $\mathrm{t}_{\mathrm{f}}$ at which the spring breaks from Equation (a):
$$
\left(0.05-\frac{t_f}{20}\right) \cos 10 t_f+\frac{1}{200} \sin 10 t_f-0.03=0
$$
We will use the Newton-Raphson’s method to solve the unknown quantity $t_f$ in Equation (a) by first assuming a solution on $t_f=0.75$. We made this assumed solution based on a crude approximated value of $\mathrm{t}{\mathrm{f}}=0.7$ in Example 8.9. Again, let us replace the unknown quantity $t_f$ in Equation (a) by conventional unknown symbol $\mathrm{x}$ in the following alternative form: $$ \begin{gathered} \left(0.05-\frac{x}{20}\right) \cos 10 x+\frac{1}{200} \sin 10 x-0.03=0 \ f(x)=\left(0.05-\frac{x}{20}\right) \cos 10 x+\frac{1}{200} \sin 10 x-0.03 \ f^{\prime}(x)=-(0.05-0.5 x) \sin 10 x \end{gathered} $$ Thus, the estimated root $x{i+1}$ after the previously estimated root $x_i$ may be computed by using the expression, as will be shown in the next slide.
Solution $\mathrm{x}$ from the equation: $\left(0.05-\frac{x}{20}\right) \cos 10 x+\frac{1}{200} \sin 10 x-0.03=0$
Evaluate the following integral by using the Gaussian quadrature $$
I=\int_0^\pi \cos x d x
$$
We have the function $y(x)=\cos x$ over the integration limits $x_a=0$ and $x_b=\pi$. The transformation of coordinates makes use of the relationship $x=\frac{\pi}{2} \xi+\frac{\pi}{2}$ from Equation (10.13), from which we get:
$$
y(x)=\cos x=F(\xi)=\cos \left(\frac{\pi}{2} \xi+\frac{\pi}{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2} \xi\right)
$$
Also, from Equation (10.14) with the use of the trigonometric relationships such as:
$$
\sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos \theta \text { and } \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\sin \theta
$$
We may arrive at the following expression for integrating I in Equation (a) using Gaussian quadrature:
$$
I=\int_0^\pi \cos x d x=\int_{-1}^1\left[\sin \left(\frac{\pi}{2} \xi\right)\left(\frac{\pi}{2} d \xi\right)\right]=\frac{\pi}{2} \int_{-1}^1 \sin \frac{\pi}{2} \xi d \xi=\frac{\pi}{2} \sum_{i=1}^n H_i \sin \left(\frac{\pi}{2} a_i\right)
$$
Let us take, for example, 3 sampling points, i.e., $\mathrm{n}=3$ from Table 10.3 on P.357 with:
$$
\begin{array}{lll}
\mathrm{a}_1=0 & \mathrm{a}_2=+0.77459 & \mathrm{a}_3=-0.77459 \
\mathrm{H}_1=0.88888 & \mathrm{H}_2=0.55555 & \mathrm{H}_3=0.55555
\end{array}
$$
Substituting the above numbers into Equation (b) will lead to the solution:
$$
\begin{aligned}
I & =\frac{\pi}{2}\left[0.88888 \sin (0)+0.55555 \sin \left(\frac{\pi}{2} \times 0.77459\right)+0.55555 \sin \left(-\frac{\pi}{2} \times 0.77459\right)\right] \
& =\frac{\pi}{2}[0.55555 \sin (1.2167)-0.55555 \sin (1.2167)]=0
\end{aligned}
$$
25
Evaluate the following integral in Example 10.8 using Gaussian quadrature method
Solution:
$$
I=\int_{0.5}^{3.5} y(x) d x=\int_{0.5}^{3.5} x \sqrt{\left(16-x^2\right)^3} d x
$$
We notice the function $y(x)$ in the integral in Equation (a) is identical to what we had in previous Examples 10.5 (p.349), 6 (p.350) and 8 (p.355).
We will first derive the expression of the function $F(\xi)$ for the function $y(x)$ in Equation (a) from the integration limits of 0.5 and 3.5 to the limit -1 and +1 , as required in Gaussian quadrature.
The transformation of coordinate systems as illustrated in Figure 10.15 begins with the transformation of variable from $x$ to $\xi$ using the relationship in Equation (10.13), leading to the following relationship between the variables $x$ and $\xi$ as shown below:
$x=\frac{1}{2}\left(x_b-x_a\right) \xi+\frac{1}{2}\left(x_b+x_a\right)=1.5 \xi+2$, from which we obtain: $\mathrm{dx}=1.5 \mathrm{~d} \xi$
The integral in Equation (a) in the $y(x)$ vs. $x$ coordinates can thus be transformed to the $F(\xi)$ vs. $\xi$ coordinates by using Equation (10.14), yielding the following expression:
$$
\begin{aligned}
I=\int_{0.5}^{3.5} y(x) d x=\int_{0.5}^{3.5} x \sqrt{\left(16-x^2\right)^3} d x & =\frac{x_b-x_a}{2} \int_{-1}^1 F(\xi) d \xi \
& =\left.\frac{3.5-0.5}{2} \int_{-1}^1 y(x)\right|{x=1.5 \xi+2} d \xi \end{aligned} $$ We may thus evaluate the integral with the expression in Equation (d) as: $$ I=1.5 \int{-1}^1(1.5 \xi+2) \sqrt{\left[16-(1.5 \xi+2)^2\right]^3} d \xi=1.5 \int_{-1}^1(1.5 \xi+2) \sqrt{\left(-2.25 \xi^2-6 \xi+12\right)^3} d \xi
We have arrived at the following integral:
$$
I=1.5 \int^1(1.5 \xi+2) \sqrt{\left[16-(1.5 \xi+2)^2\right]^3} d \xi=1.5 \int^1(1.5 \xi+2) \sqrt{\left(-2.25 \xi^2-6 \xi+12\right)^3} d \xi
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。