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数学代写|数论作业代写number theory代考|A Brief Account of RSA
In this Section we briefly discribe the RSA public key cryptographic scheme. As there are many excellent comprehensive accounts in the literature (Buchmann, Trappe-Washington) we dwell on the number theory involved, leaving most of the practical issues aside.
The mathematics behind RSA is summed up in the following two Lemmas. The first is a special case of a general Theorem to be proved in the next Chapter.
A.VI.1 Lemma. Let $n=p q$ be the product of two different prime numbers. Then $\phi(n)=(p-1)(q-1)$.
Proof. We can prove this the same way we did in the special case $n=$ $15=3 \cdot 5$. There are $n=p q$ classes modulo $p q$, represented by the numbers $m$ with $0 \leq m \leq n-1$. The non-invertible classes are represented by those $m$ with $(m, p q)>1$, i.e., those divisible by $p$ or $q$. There are $q$ and $p$ of these, respectively. Only $m=0$ is divisible by both $p$ and $q$ : by our Second Divisibility Theorem (A.II.2) a number divisible by both must be divisible by their product, as $(p, q)=1$.
So we subtract $q$ and $p$ classes and put back the zero class, which we subtracted twice. Therefore:
$$
\phi(p q)=p q-q-p+1=(p-1)(q-1) .
$$
The second Lemma is sometimes overlooked in the literature, probably because the probability of randomly choosing an $a$ with $(a, p q)>1$ is very small when $p, q$ are large.
A.VI.2 Lemma. Still assuming $n=p q$. For all integers $a$, and positive integers $k$, we have
$$
a^{k \phi(n)+1} \equiv a \quad(\bmod n),
$$
whether $(a, n)=1$ or not.
Proof. If $(a, n)=1$, Euler’s Theorem (A.V.12) states that $a^{\phi(n)} \equiv 1$ $(\bmod n)$, so the result follows on raising both members to the power $k$, and multiplying them by $a$.
Next consider the case where $(a, n)>1$. This means that $a$ is divisible by $p$ or $q$. If $a$ is divisible by both, it is divisible by their product $n$, and the result is trivial in this case. So we can assume that $p \mid a$ and $q \nmid a$.
Consider the difference
$$
b=a^{k \phi(n)+1}-a .
$$
数学代写|数论作业代写number theory代考|The Chinese Remainder Theorem
This is as good a place as any to introduce the least common multiple of two integers.
B.I.1 Definition. Let $m, n$ be non-zero integers. The least common multiple of $m$ and $n$, denoted $[m, n]$, or $\operatorname{lcm}(m, n)$, is the smallest (positive) integer divisible by both $m$ and $n$.
B.I.2 Example. $[3,4]=[3,-4]=[4,6]=12$.
The example shows that the lcm of two positive numbers may be their product or not. The following Theorem gives the full story.
B.I.3 Theorem. The lcm of two positive integers is given by
$$
[m, n]=\frac{m \cdot n}{(m, n)} .
$$
It therefore equals their product if and only if $m$ and $n$ are relatively prime, $(m, n)=1$. Furthermore, any common multiple of $m$ and $n$ is divisible by their least common multiple.
Proof. Let $e$ be any common multiple, $m|e, n| e$. This is clearly equivalent to
$$
\frac{m}{(m, n)}\left|\frac{e}{(m, n)}, \quad \frac{n}{(m, n)}\right| \frac{e}{(m, n)} .
$$
As $m /(m, n)$ and $n /(m, n)$ are relatively prime (Lemma A.V.16), the two conditions are equivalent to $e /(m, n)$ being divisible by their product, according to the Second Divisibility Theorem, (A.II.2). That is, to:
$$
\frac{m}{(m, n)} \cdot \frac{n}{(m, n)} \mid \frac{e}{(m, n)} .
$$
Multiplying by $(m, n)$ we therefore see that $e$ is a common multiple of $m, n$ if and only if
$$
\frac{m \cdot n}{(m, n)} \mid e
$$
which proves both parts of the Theorem.
数论作业代写
数学代写|数论作业代写number theory代考|A Brief Account of RSA
在本节中，我们简要描述RSA公钥加密方案。由于文献中有许多优秀的综合描述(Buchmann, trap – washington)，我们专注于所涉及的数论，将大多数实际问题放在一边。
RSA背后的数学可以总结为以下两个引理。第一个是下一章将要证明的一般定理的一个特例。
a.vi.1引理。设$n=p q$是两个不同质数的乘积。然后$\phi(n)=(p-1)(q-1)$。
证明。我们可以用和特殊情况$n=$$15=3 \cdot 5$一样的方法来证明它。对$p q$取模有$n=p q$类，用数字$m$和$0 \leq m \leq n-1$表示。不可逆类由$m$和$(m, p q)>1$表示，即可被$p$或$q$整除的类。分别有$q$和$p$。只有$m=0$能被$p$和$q$整除:根据我们的第二可整除定理(A.II.2)，一个能被两者整除的数必须能被它们的乘积整除，如$(p, q)=1$。
因此，我们减去$q$和$p$类，并放回0类，我们减去两次。因此:
$$
\phi(p q)=p q-q-p+1=(p-1)(q-1) .
$$
第二个引理有时在文献中被忽略了，可能是因为当$p, q$很大时，用$(a, p q)>1$随机选择$a$的概率非常小。
a.vi.2引理。还是假设$n=p q$。对于所有整数$a$和正整数$k$，我们有
$$
a^{k \phi(n)+1} \equiv a \quad(\bmod n),
$$
不管$(a, n)=1$与否。
证明。如果$(a, n)=1$，欧拉定理(A.V.12)表明$a^{\phi(n)} \equiv 1$$(\bmod n)$，那么结果是将两个元素都取$k$次方，并将它们乘以$a$。
接下来考虑$(a, n)>1$。这意味着$a$可以被$p$或$q$整除。如果$a$能被两者整除，那么它就能被它们的乘积$n$整除，在这种情况下，结果是微不足道的。我们可以假设$p \mid a$和$q \nmid a$。
考虑一下两者的区别
$$
b=a^{k \phi(n)+1}-a .
$$
数学代写|数论作业代写number theory代考|The Chinese Remainder Theorem
这里是介绍两个整数的最小公倍数的好地方。
b.i.1定义。设$m, n$为非零整数。$m$和$n$的最小公倍数，记为$[m, n]$或$\operatorname{lcm}(m, n)$，是能被$m$和$n$整除的最小(正)整数。
b.i.2示例:$[3,4]=[3,-4]=[4,6]=12$。
这个例子说明了两个正数的lcm可以是它们的乘积，也可以不是。下面的定理给出了完整的解释。
b.i.3定理。两个正整数的lcm由
$$
[m, n]=\frac{m \cdot n}{(m, n)} .
$$
因此它等于它们的乘积当且仅当$m$和$n$是相对素数$(m, n)=1$。此外，$m$和$n$的任何公倍数都能被它们的最小公倍数整除。
证明。设$e$为任意公倍数$m|e, n| e$。这显然等于
$$
\frac{m}{(m, n)}\left|\frac{e}{(m, n)}, \quad \frac{n}{(m, n)}\right| \frac{e}{(m, n)} .
$$
由于$m /(m, n)$和$n /(m, n)$是相对素数(引理A.V.16)，根据第二可整除定理(A.II.2)，这两个条件等价于$e /(m, n)$可以被它们的乘积整除。即:
$$
\frac{m}{(m, n)} \cdot \frac{n}{(m, n)} \mid \frac{e}{(m, n)} .
$$
因此乘以$(m, n)$我们看到$e$是$m, n$的公倍数当且仅当
$$
\frac{m \cdot n}{(m, n)} \mid e
$$
证明了定理的两个部分。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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