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数论Number theory是一门有着极其悠久和丰富历史的学科。研究数论，并适当关注它的历史提醒我们，这门学科一直是一个激烈的竞争人类活动。许多其他的数学学科，例如微积分，毫无疑问会像今天这样发展，完全独立于参与实际发展的个人，但数论的发展却奇妙而离奇，这在很大程度上取决于多年来发展这门学科的人的特殊兴趣。
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数学代写|数论作业代写number theory代考|Euler’s Phi Function Revisited
In this Section we prove a property that allows us to compute $\phi(n)$ (A.V.1) whenever a full prime factorization of $n$ is known. The CRT plays a decisive role in the proof. The following Lemma reformulates an earlier observation:
B.II.1 Lemma. Suppose the integers $n_1, n_2>0$ are relatively prime. Let $0 \leq a_1<n_1, 0 \leq a_2<n_2$ and let $0 \leq x<n_1 \cdot n_2$ be the unique solution to the congruence pair
$$
\begin{array}{ll}
x \equiv a_1 & \left(\bmod n_1\right) \
x \equiv a_2 & \left(\bmod n_2\right)
\end{array}
$$
Then the class $x+\left(n_1 n_2\right)$ is invertible if and only if the classes $a_1+\left(n_1\right)$ and $a_2+\left(n_2\right)$ are.
Proof. As $a_1+\left(n_1\right)=x+\left(n_1\right)$, and $a_2+\left(n_2\right)=x+\left(n_2\right)$ we are stating that the class $x+\left(n_1 n_2\right)$ is invertible if and only if $x+\left(n_1\right)$ and $x+\left(n_2\right)$ are, or equivalently:
$$
\left(x, n_1 n_2\right)=1 \Longleftrightarrow\left(x, n_1\right)=\left(x, n_2\right)=1 .
$$
We proved the left arrow in the course of proving the CRT, B.I.5.
The right arrow is trivial.
An immediate consequence of the Lemma is that we have a bijection between invertible classes $x+\left(n_1 n_2\right)$ and pairs of invertible classes $\left(a_1+\left(n_1\right), a_2+\left(n_2\right)\right)$, whenever $\left(n_1, n_2\right)=1$. As there are $\phi\left(n_1 n_2\right)$ of the former, and $\phi\left(n_1\right) \phi\left(n_2\right)$ of the latter, we have proved the following Theorem:
B.II.2 Theorem (Multiplicativity of $\phi$ ). Let $n_1, n_2$ be positive integers satisfying $\left(n_1, n_2\right)=1$. Then:
$$
\phi\left(n_1 n_2\right)=\phi\left(n_1\right) \phi\left(n_2\right) .
$$
数学代写|数论作业代写number theory代考|General CRT
We now proceed to proving the CRT in its full generality. We prepare the proof by generalizing the $\mathrm{lcm}$ and gcd to include the case of more than two numbers, and by formally introducing multiplicities of prime factors. For non-zero numbers $m_1, m_2, \ldots, m_n$ we naturally let $\left(m_1, m_2, \ldots, m_n\right)$ denote the greatest (positive) number dividing all the $m_j$. Obviously,
$$
\left(m_1, m_2, \ldots, m_n\right)=\left(m_1,\left(m_2, \ldots, m_n\right)\right) .
$$
And for non-zero numbers $m_1, m_2, \ldots, m_n$ we let $\left[m_1, m_2, \ldots, m_n\right]$ denote the least number divisible by all the $m_j$. Obviously,
$$
\left[m_1, m_2, \ldots, m_n\right]=\left[m_1,\left[m_2, \ldots, m_n\right]\right] .
$$
We now turn our attention to multiplicities.
B.III.1 Definition. For any non-zero integer $n$, and any prime number $p$, we denote by $v_p(n)$ the largest exponent $e \geq 0$ such that $p^e$ divides $n$. It is called the multiplicity of $p$ in (the factorization of) $n$.
We record a few elementary observations:
B.III.2 Lemma.
a) The positive integers $m, n$ are equal if and only if $v_p(m)=v_p(n)$ for all prime numbers $p$.
b) $m$ divides $n$ if and only if $v_p(m) \leq v_p(n)$ for all prime numbers $p$.
c) For non-zero integers $m, n$, and all primes $p, v_p(m n)=v_p(m)+v_p(n)$.
We will be concerned with the multiplicities of primes entering the gcd and lcm of two numbers.
B.III.3 Lemma. Let $m, n$ be non-zero integers. Then, for all prime numbers $p$ :
a) $v_p((m, n))=\min \left(v_p(m), v_p(n)\right)$,
b) $v_p([m, n])=\max \left(v_p(m), v_p(n)\right)$.
Proof. For the first part, note that $p^e$ divides $(m, n)$ if and only if $p^e$ divides both $m$ and $n$, i.e., if and only if $e \leq$ both $v_p(m)$ and $v_p(n)$. This proves that $v_p((m, n))$ must equal the smaller of these two numbers.
For the second part, note that $p^e$ is divisible by $[m, n]$ if and only if $p^e$ is divisible by both $m$ and $n$, i.e., if and only if $e \geq \operatorname{both} v_p(m)$ and $v_p(n)$. This proves that $v_p([m, n])$ must equal the greater of these two numbers.
数论作业代写
数学代写|数论作业代写number theory代考|Euler’s Phi Function Revisited
在本节中，我们证明了一个性质，该性质允许我们在已知$n$的完全质因数分解时计算$\phi(n)$ (A.V.1)。CRT在证明中起着决定性的作用。下面的引理重新表述了先前的观察:
b.ii.1引理。假设整数$n_1, n_2>0$是相对素数。设$0 \leq a_1<n_1, 0 \leq a_2<n_2$和$0 \leq x<n_1 \cdot n_2$是同余对的唯一解
$$
\begin{array}{ll}
x \equiv a_1 & \left(\bmod n_1\right) \
x \equiv a_2 & \left(\bmod n_2\right)
\end{array}
$$
那么类$x+\left(n_1 n_2\right)$是可逆的当且仅当类$a_1+\left(n_1\right)$和$a_2+\left(n_2\right)$是可逆的。
证明。作为$a_1+\left(n_1\right)=x+\left(n_1\right)$和$a_2+\left(n_2\right)=x+\left(n_2\right)$，我们声明类$x+\left(n_1 n_2\right)$是可逆的当且仅当$x+\left(n_1\right)$和$x+\left(n_2\right)$是，或者等价地:
$$
\left(x, n_1 n_2\right)=1 \Longleftrightarrow\left(x, n_1\right)=\left(x, n_2\right)=1 .
$$
我们在证明CRT的过程中证明了左箭头，B.I.5。
右箭头是微不足道的。
引理的一个直接推论是，我们有可逆类$x+\left(n_1 n_2\right)$和可逆类对$\left(a_1+\left(n_1\right), a_2+\left(n_2\right)\right)$之间的双射，只要$\left(n_1, n_2\right)=1$。由于前者为$\phi\left(n_1 n_2\right)$，后者为$\phi\left(n_1\right) \phi\left(n_2\right)$，我们证明了以下定理:
b.ii.2定理($\phi$的乘法性)。设$n_1, n_2$是满足$\left(n_1, n_2\right)=1$的正整数。然后:
$$
\phi\left(n_1 n_2\right)=\phi\left(n_1\right) \phi\left(n_2\right) .
$$
数学代写|数论作业代写number theory代考|General CRT
我们现在开始全面证明CRT的普遍性。我们将$\mathrm{lcm}$和gcd推广到包含两个以上数的情况，并通过正式引入质因数的多重性来准备证明。对于非零数$m_1, m_2, \ldots, m_n$，我们自然地让$\left(m_1, m_2, \ldots, m_n\right)$表示除所有$m_j$的最大(正数)数。显然，
$$
\left(m_1, m_2, \ldots, m_n\right)=\left(m_1,\left(m_2, \ldots, m_n\right)\right) .
$$
对于非零数$m_1, m_2, \ldots, m_n$，我们让$\left[m_1, m_2, \ldots, m_n\right]$表示能被所有$m_j$整除的最小数。显然，
$$
\left[m_1, m_2, \ldots, m_n\right]=\left[m_1,\left[m_2, \ldots, m_n\right]\right] .
$$
现在我们把注意力转向多样性。
b.iii.1定义。对于任何非零整数$n$和任何质数$p$，我们用$v_p(n)$表示最大的指数$e \geq 0$，使$p^e$除$n$。它被称为$n$(分解)中$p$的多重性。
我们记录了一些基本的观察结果:
b.iii.2引理。
a)对于所有质数$p$，正整数$m, n$当且仅当$v_p(m)=v_p(n)$相等。
B) $m$除$n$当且仅当$v_p(m) \leq v_p(n)$对于所有质数$p$。
c)对于非零整数$m, n$和所有质数$p, v_p(m n)=v_p(m)+v_p(n)$。
我们将关注进入两个数的gcd和lcm的质数的多重性。
b.iii.3引理。设$m, n$为非零整数。然后，对于所有质数$p$:
A) $v_p((m, n))=\min \left(v_p(m), v_p(n)\right)$;
B) $v_p([m, n])=\max \left(v_p(m), v_p(n)\right)$。
证明。对于第一部分，请注意$p^e$除$(m, n)$当且仅当$p^e$除$m$和$n$，即当且仅当$e \leq$同时除$v_p(m)$和$v_p(n)$。这证明$v_p((m, n))$一定等于这两个数中较小的那个。
对于第二部分，请注意$p^e$能被$[m, n]$整除当且仅当$p^e$能被$m$和$n$整除，即当且仅当$e \geq \operatorname{both} v_p(m)$和$v_p(n)$。这证明$v_p([m, n])$一定等于这两个数中较大的那个。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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