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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。
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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Interpolation over Triangulations
Triangulations give a way of dividing a region up into triangles in two dimensions, or tetrahedra in three dimensions, or simplices in higher dimensions. If we can interpolate using polynomials over each triangle, then we can create a piecewise polynomial interpolant over the entire region. However, we want the interpolant on each triangle to be consistent with the interpolant on the neighboring triangles so that the combined interpolant is at least continuous over the triangulated region (Figure 4.3.4).
A triangulation is not simply a union of non-overlapping triangles. The triangles must meet each other in a specific way: if $T_1$ and $T_2$ are two triangles then $T_1 \cap T_2$ is either
- empty,
- a common vertex of $T_1$ and $T_2$, or
- a common edge of $T_1$ and $T_2$.
Note that the common edge must be an entire edge, not a partial edge, as shown in Figure 4.3.5.
Simply interpolating in each triangle does not guarantee that the interpolant is continuous on each common edge. We want the interpolant on each side of a common edge to be the same so that the overall interpolant is continuous.
Consider piecewise linear interpolation; if the two values on a common edge are identical, then the interpolants on each triangles sharing the edge will match on that edge. For a pair of triangles that meet at a vertex, the values of the interpolants on the different triangles must also match.
Since the values at interpolation points can be treated as independent quantities, these matching conditions imply that each vertex must be an interpolation point, and each edge must have two interpolation points. Piecewise linear interpolation on a triangulation then requires three interpolation points on each triangle, which must therefore be the vertices of each triangle.
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Creating Interpolants with Continuous First Derivatives
Creating interpolation systems that guarantee continuous first derivatives across triangles in a triangulation is a surprisingly tricky thing to do. Unlike in one dimension, increasing the degree of the polynomial inside the triangle also increases the number of conditions needed to match first derivatives across the boundary. The simplest is the Argyris element illustrated in Figure 4.3.7.
In Figure 4.3.7, the dot means interpolation of the value at that point, the small circle around a point means interpolating the first derivatives at that point, and the larger circle means interpolating the second derivatives at that point. The short perpendicular line segments indicate interpolation of the normal derivative to the edge at the intersection point of the edge and the line segment. The interpolating polynomials have degree 5 . The dimension of the space of degree 5 polynomials of two variables is $\left(\begin{array}{c}5+2 \ 2\end{array}\right)=21$. This exactly matches the number of independent values to be interpolated. At each vertex we interpolate the function value, two first derivatives $(\partial f / \partial x, \partial f / \partial y)$, and three second derivatives $\left(\partial^2 f / \partial x^2, \partial^2 f / \partial x \partial y\right.$, $\partial^2 f / \partial y^2$ ) giving six values interpolated for each vertex. This gives 18 interpolated values for the vertices, plus three more the normal derivative values at the midpoints of each edge gives a total of 21 values to interpolate.
To see that Argyris element interpolants are continuous across edges, we note that on an edge the interpolating polynomial must have matching values, first and second derivatives, at the ends of the edge. The derivatives are, of course, scalar derivatives as along the edge we should consider tangential derivatives. This gives six values interpolated by a degree 5 polynomial in one variable. These six values are sufficient to uniquely specify the degree 5 polynomial on the edge. Since these six interpolated values are the same on both sides of the edge in question, the values of the interpolant must match across a common edge of two Argyris triangles.
But to have continuous first derivatives across the boundary, we also need the normal derivatives to match on each sides of the edge. Each edge is straight, so if $p(\boldsymbol{x})$ is degree 5 polynomial in two variables, on each edge $\partial p / \partial n(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{n}^T \nabla p(\boldsymbol{x})$ is a polynomial of degree $5-1=4$, since $\boldsymbol{n}$ is constant on each edge. The normal derivative $\partial p / \partial n$ is interpolated at each end of an edge, as is the first tangential derivative of $\partial p / \partial n$ at each end. Furthermore, since the Argyris element interpolates the normal derivative at the midpoint of each edge, we have five values to interpolate on the edge for $\partial p / \partial n$. This means that $\partial p / \partial n$ is a uniquely specified polynomial of degree 4 . Tangential derivatives of $p(\boldsymbol{x})$ along the edge are uniquely specified as the values of $p(\boldsymbol{x})$ on the edge are uniquely specified by the values and derivatives interpolated on that edge. Thus, the gradient $\nabla p(\boldsymbol{x})$ is uniquely specified on an edge by the values and derivatives interpolated on that edge.
数值分析代考
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Interpolation over Triangulations
三角剖分提供了一种将区域划分为二维三角形、三维四面体或更高维度单纯形的方法。如果我们可以在每 个三角形上使用多项式进行揷值，那么我们就可以在整个区域上创建分段多项式揷值。但是，我们希望每 个三角形上的揷值与相邻三角形上的揷值一致，以便组合的揷值至少在三角化区域上是连续的（图 $4.3 .4) \circ$
三角剖分不仅仅是非重學三角形的并集。三角形必须以特定方式彼此相交：如果 $T_1$ 和 $T_2$ 那么是两个三角 形 $T_1 \cap T_2$ 或者是
- 空的，
- 的一个公共顶点 $T_1$ 和 $T_2$ ，或者
- 的共同边缘 $T_1$ 和 $T_2$.
注意公共边必须是整条边，不能是部分边，如图4.3.5所示。
简单地在每个三角形中揷值并不能保证揷值在每个公共边上都是连续的。我们莃望公共边每一侧的揷值相 同，以便整体揷值是连续的。
考虑分段线性揷值；如果公共边上的两个值相同，则共享该边的每个三角形上的揷值将在该边上匹配。对 于在顶点相交的一对三角形，不同三角形上的揷值值也必须匹配。
由于揷值点处的值可以被视为独立的量，这些匹配条件意味着每个顶点必须是一个揷值点，并且每条边必 须有两个揷值点。三角剖分的分段线性揷值需要每个三角形上的三个揷值点，因此它们必须是每个三角形 的顶点。
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Creating Interpolants with Continuous First Derivatives
创建保证三角剖分中三角形连续一阶导数的揷值系统是一件非常棘手的事情。与一维不同，增加三角形内 多项式的次数也会增加跨越边界匹配一阶导数所需的条件数。最简单的是图 $4.3 .7$ 中所示的 Argyris 元 素。
图4.3.7中，圆点表示在该点揷值，小圆圈表示在该点揷值一阶导数，大圆圈表示在该点揷值二阶导数。 短垂直线段表示在边缘和线段的交点处对边缘的法线导数进行揷值。内揷多项式的次数为 5 。两个变量的 5次多项式空间的维数为 $(5+22)=21$. 这与要揷值的独立值的数量完全匹配。在每个顶点我们揷值函 数值，两个一阶导数 $(\partial f / \partial x, \partial f / \partial y)$, 和三个二阶导数 $\left(\partial^2 f / \partial x^2, \partial^2 f / \partial x \partial y, \partial^2 f / \partial y^2\right)$ 给每个顶 点揷值六个值。这为顶点提供了 18 个揷值，再加上每条边中点的三个法线导数值，总共提供了 21 个要 揷值的值。
为了看到 Argyris 元素揷值在边上是连续的，我们注意到在边上揷值多项式必须在边的末端具有匹配值， 一阶和二阶导数。导数当然是标量导数，因为沿着边缘我们应该考虑切向导数。这给出了由一个变量中的 5 次多项式揷值的六个值。这六个值足以唯一指定边上的 5 次多项式。由于这六个内揷值在相关边的两侧 相同，因此内揷值必须在两个 Argyris 三角形的公共边上匹配。
但是为了在边界上有连续的一阶导数，我们还需要法线导数在边缘的每一侧都匹配。每条边都是直的，所 以如果 $p(\boldsymbol{x})$ 是两个变量的 5 次多项式，在每条边上 $\partial p / \partial n(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{n}^T \nabla p(\boldsymbol{x})$ 是次数的多项式 $5-1=4$ ，自从 $\boldsymbol{n}$ 在每条边上都是常数。正常导数 $\partial p / \partial n$ 在边缘的每一端进行揷值，作为的一阶切向 导数 $\partial p / \partial n$ 在每一端。此外，由于 Argyris 元素在每条边的中点对法线导数进行揷值，因此我们有五个值 要在边上揷值 $\partial p / \partial n$. 这意味着 $\partial p / \partial n$ 是唯一指定的 4 次多项式。的切向导数 $p(\boldsymbol{x})$ 沿着边缘被唯一指定 为值 $p(\boldsymbol{x})$ 边上的值由揷值在该边上的值和导数唯一指定。因此，梯度 $\nabla p(\boldsymbol{x})$ 由在该边上揷值的值和导数 在边上唯一指定。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。