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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Necessary Conditions for Local Minimizers
What we have been calling the minimizer is also called the global minimizer or absolute minimizer. This distinguishes it from a local minimizer: $\widehat{\boldsymbol{x}}$ is a local minimizer of $f$ if there is a $\delta>0$ where $|\boldsymbol{x}-\hat{\boldsymbol{x}}|<\delta$ implies $f(\hat{\boldsymbol{x}}) \leq f(\boldsymbol{x})$. We also say that $f(\widehat{\boldsymbol{x}})$ is a local minimum. We say $\widehat{\boldsymbol{x}}$ is a strict local minimizer if there is a $\delta>0$ where $0<|\boldsymbol{x}-\widehat{\boldsymbol{x}}|<\delta$ implies $f(\widehat{\boldsymbol{x}})<f(\boldsymbol{x})$. In this case, we say $f(\widehat{\boldsymbol{x}})$ is a strict local minimum.
We use tools from calculus to find local minimizers. But telling if a local minimizer is also a global minimizer takes extra information. We can look for all local minimizers. As long as a global minimizer exists, one of the local minimizers will also be a global minimizer. We simply need to look at the function values at each local minimizer: the minimum of these local minima is the global minimum, again, provided a global minimizer exists.
The usual rule from calculus is that if $x^$ is a local minimizer of a function $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, then $f^{\prime}\left(x^\right)=0$. We can extend this to the multivariate case.
Theorem 8.4 (Fermat’s principle) If $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ has continuous first derivatives and a local mimimzer $\boldsymbol{x}^$ then $\nabla f\left(\boldsymbol{x}^\right)=\mathbf{0}$.
To be clear, Fermat enunciated his principle for a single variable in 1636 [73], before either Newton or Leibniz had developed calculus.
Proof Let $\boldsymbol{d} \in \mathbb{R}^n$ and take $s>0$. Assume that $\delta>0$ where $\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^\right|<\delta$ implies that $f(\boldsymbol{x}) \geq f\left(\boldsymbol{x}^\right)$. Then provided $|s||\boldsymbol{d}|<\delta$ we have $f\left(\boldsymbol{x}^+s \boldsymbol{d}\right) \geq f\left(\boldsymbol{x}^\right)$. For $s>0$, subtracting $f\left(x^\right)$ and dividing by $s$ gives $$ \frac{f\left(x^+s d\right)-f\left(x^*\right)}{s} \geq 0
$$
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Lagrange Multipliers and Equality-Constrained
In equality constrained optimization, we look to minimize a function $f(\boldsymbol{x})$ subject to equality constraints $g_j(\boldsymbol{x})=0$ for $j=1,2, \ldots, m$. That is, the feasible set is
$$
\Omega=\left{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \mid g_j(\boldsymbol{x})=0 \text { for } j=1,2, \ldots, m\right}=\left{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \mid \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}\right} .
$$
We will show how we can use Lagrange multipliers to give necessary conditions for constrained local minimizers. Lagrange multipliers were developed by Lagrange in his Mécanique Analytique (1788-89) [43, 151] in dealing with a mechanical system with constraints.
To be precise, $\boldsymbol{x}^$ is a constrained local minimizer means that there is a $\delta>0$ where (8.1.1) $\boldsymbol{x}^ \in \Omega$ and $\left[\left|x-\boldsymbol{x}^\right|<\delta\right.$ and $\left.\boldsymbol{x} \in \Omega\right]$ implies $f(x) \geq f\left(\boldsymbol{x}^\right)$.
We make an assumption about the functions $g_j(\boldsymbol{x})$ :
(8.1.2) if $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{x})=\mathbf{0}$ then $\left{\nabla g_j(\boldsymbol{x}) \mid j=1,2, \ldots, m\right}$ is linearly independent.
The condition (8.1.2) is known as the linearly independent constraint qualification (LICQ). The LICQ condition is sufficient to ensure that the feasible set $\mathcal{A}$ is a manifold of dimension $n-m$. In general, the solution set of even a single equation ${\boldsymbol{x} \mid g(\boldsymbol{x})=0}$ can be extremely complex; in fact, every closed subset of $\mathbb{R}^n$ is ${\boldsymbol{x} \mid g(\boldsymbol{x})=0}$ for some $C^{\infty}$ function $g$ (this is an easy consequence of the results in [260]). The LICQ ensures that the feasible set has a suitable structure.
The Lagrange multiplier theorem we prove uses some results involving orthogonal complements (2.2.1). Recall that the orthogonal complement of a vector space $V \subseteq$ $\mathbb{R}^n$ is
$$
V^{\perp}=\left{u \in \mathbb{R}^n \mid u^T v=0 \text { for all } v \in V\right} .
$$
The orthogonal complement of a vector subspace is another vector subspace, and the dimension of $V^{\perp}$ is $n-\operatorname{dim} V$. We use this for a useful piece of linear algebra:
Theorem 8.6 If $B$ is an $m \times n$ real matrix, then range $(B)=\left{B \boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n\right}$ and $\operatorname{null}(B)=\left{u \in \mathbb{R}^n \mid B u=\mathbf{0}\right}$ are related through
数值分析代考
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Necessary Conditions for Local Minimizers
我们一直所说的最小化器也称为全局最小化器或绝对最小化器。这将它与局部最小化器区分开来： $\widehat{x}$ 是局 部最小值 $f$ 如果有 $\delta>0$ 在哪里 $|\boldsymbol{x}-\hat{\boldsymbol{x}}|<\delta$ 暗示 $f(\hat{\boldsymbol{x}}) \leq f(\boldsymbol{x})$. 我们还说 $f(\widehat{\boldsymbol{x}})$ 是局部最小值。我们说 $\widehat{\boldsymbol{x}}$ 是一个严格的局部最小化器，如果有 $\delta>0$ 在哪里 $0<|\boldsymbol{x}-\widehat{\boldsymbol{x}}|<\delta$ 暗示 $f(\widehat{\boldsymbol{x}})0$. 假使，假设 $\delta>0$ 在哪里 \left } | \text { |boldsymbol } { x } \text { –boldsymbol } { x } \wedge | \text { right } | < | d e l t a 暗示 $\mathrm{f}(\backslash b o l d s y m b o l{x}) \backslash g e q$ flleft(boldsymbol ${x} \wedge \backslash r i g h t)$. 然后提供 $|s | \boldsymbol{d}|<\delta$ 我们有 $\mathrm{fic}$ 左( $\mathrm{x}^{\wedge} \backslash$ 右) 并除以 $s$ 给
$$
\frac{f\left(x^{+} s d\right)-f\left(x^*\right)}{s} \geq 0
$$
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Lagrange Multipliers and Equality-Constrained
在等式约束优化中，我们㹷望最小化一个函数 $f(\boldsymbol{x})$ 受平等约束 $g_j(\boldsymbol{x})=0$ 为了 $j=1,2, \ldots, m$. 也就是 说，可行集是
我们将展示如何使用拉格朗日乘数为受约束的局部最小值提供必要条件。拉格朗日乘子是由拉格朗日在他 的《机械分析》 (Mécanique Analytique) (1788-89) $[43,151]$ 中开发的，用于处理具有约束的机械系统。
准确地说， \boldsymbol{x}^ 是受约束的局部最小化器意味着有 $\delta>0$ 其中 (8.1.1) $\boldsymbol{x} \in \Omega$ 和
我们对函数做一个假设 $g_j(\boldsymbol{x})$ : 条件 (8.1.2) 称为线性独立约束条件 (LICQ)。LICQ 条件足以确保可行集 $\mathcal{A}$ 是维度的流形 $n-m$. 一般来 说，即使是单个方程的解集 $\boldsymbol{x} \mid g(\boldsymbol{x})=0$ 可能非常复杂；事实上，每个闭子集 $\mathbb{R}^n$ 是 $\boldsymbol{x} \mid g(\boldsymbol{x})=0$ 对于 一些 $C^{\infty}$ 功能 $g$ (这是 [260] 中结果的一个简单结果)。LICQ 确保可行集具有合适的结构。
我们证明的拉格朗日乘子定理使用了一些涉及正交补集的结果 (2.2.1)。回想一下向量空间的正交补集 $V \subseteq \mathbb{R}^n$ 是
$\vee^{\wedge}{\backslash$ perp $}=\backslash$ left $\left{u \backslash\right.$ in $\backslash m a t h b b{R}^{\wedge} n \backslash m i d u^{\wedge} T v=0 \backslash$ text ${$ for all $} \vee$ lin $\left.\backslash r i g h t\right}$ 。
一个向量子空间的正交补集是另一个向量子空间，维数为 $V^{\perp}$ 是 $n-\operatorname{dim} V$. 我们将其用于一段有用的线 性代数:
定理 8.6 如果 $B$ 是一个 $m \times n$ 实数矩阵，然后是范围
$(B)=\backslash$ left $\left{B \backslash b o l d s y m b o l{x} \backslash m i d \backslash b o l d s y m b o l{x} \backslash\right.$ in $\left.\left.\backslash m a t h b b{R}^{\wedge} \backslash \backslash r i g h t\right}\right}$ 和
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。