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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Balance Equations
In this subsection, we make the following assumption for the Markov chain.
Assumption 7.1. There is a state $r$ that can ultimately be reached from every initial state $i$ with probability 1 , and the expected value of the number of steps needed to return from state $r$ to itself is finite.
This assumption is satisfied in almost every practical application concerning the equilibrium of the Markov chain. For a Markov chain with a finite state space $I$, the assumption is automatically satisfied when the Markov chain has no two disjoint closed sets. Under Assumption 7.1, one can prove that for all $i, j \in I$,
$$
\pi_j=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum{t=1}^n p_{i j}^{(t)}
$$
is independent of the initial state $i$, and moreover $\sum_{j \in I} \pi_j=1$. Thus, $\pi_j$ is the expected fraction of time $\lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum{t=1}^n p_{i j}^{(t)}$ that the process is in state $j$. The fraction $\pi_j$ is related to the mean first passage time to reach state $j$ from state $j$, $m_{j j}$, as
$$
\pi_j=\frac{1}{m_{j j}}
$$
The interpretation of $\lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum{t=1}^n p_{i j}^{(t)}$ as the expected fraction of the time that the process is in state $j$ can be extended to the stronger interpretation:
the actual long-run fraction of the time the process is in state $j$ $=\pi_j \quad$ with probability 1
independently of the initial state $X_0=i$. We do not prove this extremely important interpretation, nor the result that $\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)}$ exists and $\pi_j$ is also given by $\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)}$ if the Markov chain satisfies Assumption 7.1 and is aperiodic.
Definition 7.5 (Ergodic Markov chain). An irreducible, aperiodic, positive recurrent Markov chain with stationary distribution is called ergodic.
A Markov chain is ergodic if Assumption 7.1 is satisfied and the state space $I$ is a single irreducible set. We prove the weaker interpretation of $\pi_j$ as the expected fraction of time that the process is in state $j$.
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Markov Chains with a Cost Structure
Many practical problems concern Markov chains with a cost or revenue structure. Suppose that every time the Markov chain makes a transition to state $j$, a cost of $c(j)$ is incurred. What is the long-run average cost per unit of time? Intuitively, it should be clear that this cost is equal to $\sum_{j \in I} c(j) \pi_j$ because $\pi_j$ can be interpreted as the average number of transitions to state $j$ per unit of time. To give a mathematical proof that this cost formula is correct, we need a technical assumption in addition to the earlier assumption that there is a state $r$ that is ultimately reached from the initial state $i$ with probability 1 . The additional assumption is that $\sum_{j \in I}|c(j)| \pi_j<$ $\infty$ and that for every initial state $i \in I$, the total cost made until the first return to state $r$ has a finite expected value. This assumption is automatically satisfied if the Markov chain has a finite state space and no two disjoint closed sets. The following main theorem holds.
Theorem 7.5. The actual long-run average cost per unit of time is given by
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum{t=1}^n c\left(X_t\right)=\sum_{j \in I} c(j) \pi_j \quad \text { with probability } 1
$$
independently of the initial state $X_0=i$.
We do not give the proof of this so-called ergodic theorem. It relies on the famous renewal-reward theorem from the theory of regenerative stochastic processes. The proof moreover shows that the theorem also applies to the case of continuous costs between the state transitions rather than direct costs $c(j)$. If, in the continuous case, we define the cost function $c(j)$ by
$$
c(j)=\mathrm{E}\left[\text { cost between the times } t=n-1 \text { and } t=n \mid X_{n-1}=j\right] \text {, }
$$ then it is also true that the actual long-run average cost per unit of time is equal to $\sum_{j \in I} c(j) \pi_j$ with probability 1. This is an extremely useful observation for real-world applications. In applications, it can also be helpful to interpret certain performance measures as average costs per unit of time.
运筹学代考
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Balance Equations
在本小节中，我们对马尔可夫链做出以下假设。
假设 7.1。有一个状态 $r$ 最终可以从每个初始状态达到 $i$ 概率为 1 ，以及从状态返回所需的步数的期望值 $r$ 对自身是有限的。
几乎所有涉及马尔可夫链平衡的实际应用都满足该假设。对于具有有限状态空间的马尔可夫链 $I$ ，当马尔 可夫链没有两个不相交的闭集时，假设自动满足。在假设 7.1 下，可以证明对于所有 $i, j \in I$ ，
$$
\pi_j=\lim n \rightarrow \infty \frac{1}{n} \sum t=1^n p_{i j}^{(t)}
$$
独立于初始状态 $i$ ，而且 $\sum_{j \in I} \pi_j=1$. 因此， $\pi_j$ 是预期的时间分数 $\lim n \rightarrow \infty \frac{1}{n} \sum t=1^n p_{i j}^{(t)}$ 该过 程处于状态 $j$. 分数 $\pi_j$ 与到达状态的平均首次通过时间有关 $j$ 来自州 $j, m_{j j}$ ， 作为
$$
\pi_j=\frac{1}{m_{j j}}
$$
的解释 $\lim n \rightarrow \infty \frac{1}{n} \sum t=1^n p_{i j}^{(t)}$ 作为进程处于状态的时间的预期分数 $j$ 可以扩展到更强的解释:
过程处于状态的时间的实际长期分数 $j=\pi_j$
与初始状态无关的概率为 $1 X_0=i$. 我们不证明这个极其重要的解释，也不证明那个结果
$\lim n \rightarrow \infty p i j^{(n)}$ 存在并且 $\pi_j$ 也由 $\lim n \rightarrow \infty p i j^{(n)}$ 如果马尔可夫链满足假设 7.1 并且是非周期性 的。
定义 7.5 (遍历马尔可夫链) 。具有平稳分布的不可约、非周期、正循环马尔可夫链称为遍历。
如果满足假设 7.1 并且状态空间，则马尔可夫链是遍历的 $I$ 是单个不可约集。我们证明了较弱的解释 $\pi_j$ 作 为进程处于状态的预期时间分数 $j$.
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Markov Chains with a Cost Structure
许多实际问题都与具有成本或收入结构的马尔可夫链有关。假设每次马尔可夫链转换到状态 $j$, 的成本 $c(j)$ 被招致。单位时间的长期平均成本是多少? 直觉上，应该清楚这个成本等于 $\sum_{j \in I} c(j) \pi_j$ 因为 $\pi_j$ 可以解 释为状态转换的平均次数 $j$ 每单位时间。为了给出这个成本公式正确的数学证明，除了早先假设存在状态 之外，我们还需要一个技术假设 $r$ 从初始状态最终达到 $i$ 概率为 1 。额外的假设是 $\sum_{j \in I}|c(j)| \pi_j<\infty$ 并 且对于每个初始状态 $i \in I$ ，直到第一次返回状态的总成本 $r$ 有一个有限的期望值。如果马尔可夫链具有有 限状态空间并且没有两个不相交的闭集，则自动满足此假设。下面的主要定理成立。
定理 7.5。每单位时间的实际长期平均成本为
$$
\lim n \rightarrow \infty \frac{1}{n} \sum t=1^n c\left(X_t\right)=\sum_{j \in I} c(j) \pi_j \quad \text { with probability } 1
$$
独立于初始状态 $X_0=i$.
我们不给出这个所谓的遍历定理的证明。它依赖于再生随机过程理论中著名的更新奖励定理。证明还表 明，该定理也适用于状态转换之间的连续成本而不是直接成本的情况 $c(j)$. 如果在连续情况下，我们定义 成本函数 $c(j)$ 经过
$$
c(j)=\mathrm{E}\left[\text { cost between the times } t=n-1 \text { and } t=n \mid X_{n-1}=j\right],
$$
那么每单位时间的实际长期平均成本也等于 $\sum_{j \in I} c(j) \pi_j$ 概率为 1 。这对于实际应用来说是一个非常有用 的观察结果。在应用程序中，将某些性能度量解释为每单位时间的平均成本也很有帮助。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。