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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Equilibrium and Stationary Probabilities
We observed in Example 7.6 that $\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)}$ converged to a limit that does not depend on the initial state $i$. Now suppose that this limit exists for all $i, j \in I$ and is independent of the initial state $i$, and denote the limit by $\pi_j$, i.e.,
$$
\pi_j=\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)} \quad \text { for all } i, j \in I
$$
and moreover assume that the state space $I$ is finite, then
$$
\pi_j=\sum_{k \in I} \pi_k p_{k j} \quad \text { for all } j \in I .
$$
This immediately follows by taking $n \rightarrow \infty$ in $p_{i j}^{(n+1)}=\sum_{k \in I} p_{i k}^{(n)} p_{k j}$, the ChapmanKolmogorov equations (7.2) for $m=1$, and reversing the order of the limit and sum. This brings us to calling the $\left{\pi_j\right}$ the equilibrium distribution. We may also consider a stationary distribution.
Definition 7.2. A probability distribution $\left{\eta_j, j \in I\right}$ is called a stationary distribution of the Markov chain if
$$
\eta_j=\sum_{k \in I} \eta_k p_{k j} \quad \text { for all } j \in I .
$$
The reason behind this name is as follows. Suppose that the initial state $X_0$ is determined by drawing lots with probabilities
$$
\mathbb{P}\left(X_0=j\right)=\eta_j \quad \text { for all } j \in I
$$
From the point of view of an outsider who has this as only information and does not know which state has emerged from the draw, the state of the process at any future time $n$ will be $j$ with probability
$$
\mathbb{P}\left(X_n=j\right)=\eta_j \quad \text { for all } j \in I \text {. }
$$
It is easy to show this using induction. Suppose that for $k=0, \ldots, m$, we know that $\mathbb{P}\left(X_k=j\right)=\eta_j$ for all $j$; then
$$
\begin{aligned}
\mathbb{P}\left(X_{m+1}=j\right) & =\sum_{k \in I} \mathbb{P}\left(X_{m+1}=j \mid X_m=k\right) \mathbb{P}\left(X_m=k\right) \
& =\sum_{k \in I} \mathbb{P}\left(X_m=k\right) p_{k j}=\sum_{k \in I} \eta_k p_{k j}=\eta_j
\end{aligned}
$$
The next sections consider the limiting behavior and investigate in more detail when the equilibrium distribution $\left{\pi_j\right}$ from $(7.4)$ is a stationary distribution.
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Limiting Behavior
Natural questions are whether the $n$-step transition probabilities $p_{i j}^{(n)}$ always have a limit as $n \rightarrow \infty$ and, if so, whether the limit is also independent of the initial state $i$. The answer to these questions is not always “yes.” The easiest way to see this is through counterexamples. Suppose that a Markov chain has state space $I={1,2}$ with one-step transition probabilities $p_{12}=p_{21}=1$ and $p_{11}=p_{22}=0$. Then $p_{i j}^{(n)}$ alternates between 0 and 1 for $n=1,2, \ldots$ and therefore has no limit as $n \rightarrow \infty$. The reason this limit does not exist lies in the periodicity of the state transitions.
Definition 7.3 (Periodic Markov chain). A Markov chain is called periodic if there exist at least two disjoint subsets $R_1, \ldots, R_d$ of the state space such that a state in $R_k$ always transitions to a state in $R_{k+1}$ for $k=1, \ldots, d$ (with $R_{d+1}=R_1$ ). If this is not the case, then the Markov chain is called aperiodic.
The random walk of Example 7.7 may return to state 0 after an even number of steps, only. Here $R_1$ contains the even numbers and $R_2$ the odd numbers.
Even if the limit of the $p_{i j}^{(n)}$ exists, it is not necessarily independent of the initial state. Consider the Markov chain with state space $I={1,2}$ and one-step transition probabilities $p_{11}=p_{22}=1$ and $p_{12}=p_{21}=0$. Then $p_{11}^{(n)}=1$ and $p_{21}^{(n)}=0$ for all $n \geq 1$, so that $\lim {n \rightarrow \infty} p{i 1}^{(n)}$ depends on the initial state $i$. This dependence occurs when the Markov chain has two or more disjoint closed sets. Recall that a set $I^{\prime} \subset I$ is closed if $p_{i j}=0$ for $i \in I^{\prime}$ and $j \notin I^{\prime}$. The set $I^{\prime}$ is an irreducible set if it is closed and all its states communicate. Two irreducible sets must be disjoint (verify!). The state space may therefore be decomposed into disjoint irreducible sets $I_1, I_2, \ldots$, and a non-irreducible set $I^*$.
Definition 7.4 (Irreducible Markov chain). A Markov chain is called irreducible if every state $k$ is reachable from every other state $j$; that is, for all $j, k \in I$, there is an $n \geq 1$ such that $p_{j k}^{(n)}>0$.
A Markov chain is irreducible if its state space is an irreducible set.
The examples above show that conditions must be imposed on the Markov chain when the limiting behavior of the Markov chain is studied. For a Markov chain with a finite state space $I$, one can show that $\lim {n \rightarrow \infty} p{i j}^{(n)}$ exists for all $i, j$ if the Markov chain is aperiodic, where the limit is moreover independent of the initial state $i$ if the Markov chain does not contain two or more disjoint closed sets. In the case of Example 7.6, these conditions hold and therefore, as $n \rightarrow \infty$, the matrix $\mathbf{P}^n$ converges to a limiting matrix in which all rows are the same. In applications, however, the aperiodicity does not always hold. For instance, in Example 7.2 , the Markov chain is periodic with period 2 (from an even state, the process always goes to an odd state, and vice versa). In applications of Markov chains in operations research, whether or not a Markov chain is aperiodic is rarely relevant. In these applications, the important concept is that of the so-called Cesàro limit ${ }^4$
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum{t=1}^n p_{i j}^{(t)}
$$
运筹学代考
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Equilibrium and Stationary Probabilities
我们在例 7.6 中观察到 $\lim n \rightarrow \infty p i j^{(n)}$ 收敛到一个不依赖于初始状态的极限 $i$. 现在假设这个限制对所 有人都存在 $i, j \in I$ 并且独立于初始状态 $i$ ，并表示极限 $\pi_j$ ，那是，
$$
\pi_j=\lim n \rightarrow \infty p i j^{(n)} \quad \text { for all } i, j \in I
$$
而且假设状态空间 $I$ 是有限的，那么
$$
\pi_j=\sum_{k \in I} \pi_k p_{k j} \quad \text { for all } j \in I
$$
这紧随其后 $n \rightarrow \infty$ 在 $p_{i j}^{(n+1)}=\sum_{k \in I} p_{i k}^{(n)} p_{k j}$, ChapmanKolmogorov 方程 (7.2) 为 $m=1$ ，并颠倒极
定义 7.2。概率分布 《eft{teta_j, j \in Iright} 称为马尔可夫链的平稳分布，如果
$$
\eta_j=\sum_{k \in I} \eta_k p_{k j} \quad \text { for all } j \in I
$$
这个名字背后的原因如下。假设初始状态 $X_0$ 由抽签决定
$$
\mathbb{P}\left(X_0=j\right)=\eta_j \quad \text { for all } j \in I
$$
从仅将此作为信息并且不知道从平局中出现哪种状态的局外人的角度来看，末来任何时候的过程状态 $n$ 将 $j$ 有概率
$$
\mathbb{P}\left(X_n=j\right)=\eta_j \quad \text { for all } j \in I .
$$
使用归纳法很容易证明这一点。假设对于 $k=0, \ldots, m$ ，我们知道 $\mathbb{P}\left(X_k=j\right)=\eta_j$ 对全部 $j$; 然后
$$
\mathbb{P}\left(X_{m+1}=j\right)=\sum_{k \in I} \mathbb{P}\left(X_{m+1}=j \mid X_m=k\right) \mathbb{P}\left(X_m=k\right) \quad=\sum_{k \in I} \mathbb{P}\left(X_m=k\right) p_{k j}=\sum_{k \in I}
$$
下一节考虑限制行为，并在平衡分布时更详细地研究 $\mid$ 左{ipi_j右} 从 (7.4)是平稳分布。
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Limiting Behavior
自然的问题是 $n$-步转移概率 $p_{i j}^{(n)}$ 总是有一个限制 $n \rightarrow \infty$ 并且，如果是，极限是否也独立于初始状态 $i$. 这 些问题的答案并不总是“是”。看到这一点的最简单方法是通过反例。假设马尔可夫链有状态空间 $I=1,2$ 一步转移概率 $p_{12}=p_{21}=1$ 和 $p_{11}=p_{22}=0$. 然后 $p_{i j}^{(n)}$ 在 0 和 1 之间交替 $n=1,2, \ldots$. 因此没有限 制 $n \rightarrow \infty$. 这个限制不存在的原因在于状态转换的周期性。
定义 7.3 (周期马尔可夫链) 。如果存在至少两个不相交的子集，则马尔可夫链称为周期性的 $R_1, \ldots, R_d$ 状态空间使得状态在 $R_k$ 总是转换到一个状态 $R_{k+1}$ 为了 $k=1, \ldots, d$ (和 $R_{d+1}=R_1$ ). 如 果不是这种情况，则称马尔可夫链是非周期性的。
示例 7.7 的随机游走可能仅在偶数步后返回到状态 0 。这里 $R_1$ 包含偶数和 $R_2$ 奇数。
即使限制了 $p_{i j}^{(n)}$ 存在，它不一定独立于初始状态。考虑具有状态空间的马尔可夫链 $I=1,2$ 和一步转移概 率 $p_{11}=p_{22}=1$ 和 $p_{12}=p_{21}=0$. 然后 $p_{11}^{(n)}=1$ 和 $p_{21}^{(n)}=0$ 对全部 $n \geq 1$ ，以便
$\lim n \rightarrow \infty p i 1^{(n)}$ 取决于初始状态 $i$. 当马尔可夫链有两个或多个不相交的闭集时，就会出现这种依赖 性。回想一下，一组 $I^{\prime} \subset I$ 关闭如果 $p_{i j}=0$ 为了 $i \in I^{\prime}$ 和 $j \notin I^{\prime}$. 庡装 $I^{\prime}$ 是一个不可约集，如果它是封 闭的并且它的所有状态都通信。两个不可约集必须不相交 (验证!)）。因此，状态空间可以分解为不相交 的不可约集 $I_1, I_2, \ldots$, 和一个不可约集 $I^*$.
定义 7.4 (不可约马尔可夫链) 。如果每个状态 $k$ 可以从其他所有州到达 $j$; 也就是说，对于所有 $j, k \in I$ 有一个 $n \geq 1$ 这样 $p_{j k}^{(n)}>0$.
如果状态空间是不可约集，则马尔可夫链是不可约的。
上面的例子表明，在研究马尔可夫链的极限行为时，必须对马尔可夫链施加条件。对于具有有限状态空间 的马尔可夫链 $I$, 可以证明 $\lim n \rightarrow \infty p i j^{(n)}$ 存在于所有人 $i, j$ 如果马尔可夫链是非周期性的，并且极限 独立于初始状态 $i$ 如果马尔可夫链不包含两个或多个不相交的闭集。在示例 7.6 的情况下，这些条件成 立，因此， $n \rightarrow \infty$ ，矩阵 $\mathbf{P}^n$ 收敛到一个限制矩阵，其中所有行都相同。然而，在应用中，非周期性并 不总是成立。例如，在示例 7.2 中，马尔可夫链是周期性的，周期为 2 (从偶数状态，过程总是进入奇数 状态，反之亦然) 。在马尔可夫链在运筹学中的应用中，马尔可夫链是否非周期性几乎无关紧要。在这些 应用中，重要的概念是所谓的切萨罗极限 4
$$
\lim n \rightarrow \infty \frac{1}{n} \sum t=1^n p_{i j}^{(t)}
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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