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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Standardform und grundlegende analytische Konzepte
Die bei linearen Optimierungsproblemen auftretenden geometrischen Sachverhalte erlauben weitreichende Aussagen ïber optimale Punkte und Werte, die sich auch algorithmisch sehr gut umsetzen lassen. Um diese zu untersuchen, empfiehlt es sich, lineare Optimierungsprobleme zunächst in eine standardisierte Form zu bringen.
Wir haben bereits in den einführenden Beispielen gesehen, dass das lineare Optimierungsproblem in natürlicher Weise als Maximierungs- oder Minimierungsproblem auftritt, und dass auch die Nebenbedingungen in unterschiedlicher Form ( $\leq$ – Ungleichungen, Gleichungen, $\geq$ – Ungleichungen) vorkommen.
Unter einem linearen Optimierungsproblem in Standardform verstehen wir das Problem
$$
P \leq: \quad \max c^{\top} x \quad \text { s.t. } \quad A x \leq b, \quad x \geq 0 .
$$
Dabei bezeichnet $n$ die Anzahl der Entscheidungsvariablen, $m$ die Anzahl der Nebenbedingungen, $c=\left(c_1, \ldots, c_n\right)^{\top}$ den Vektor der Zielfunktionskoeffizienten, $x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)^{\top}$ den Vektor der Entscheidungsvariablen, $b=\left(b_1, \ldots, b_m\right)^{\top}$ den Vektor der Werte der rechten Seite, und die $(m, n)$-Matrix $A=\left(a_{i j}\right)$ ist die Koeffizientenmatrix. Die zulässige Menge hat damit die Darstellung
$$
\mathbb{M}=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid A x \leq b, x \geq 0\right} .
$$
Jedes lineare Optimierungsproblem $P$ in allgemeiner Form lässt sich durch folgende Operationen in Standardform $P_{\leq}$bringen:
- Falls die Zielfunktion $f(x)=c^{\boldsymbol{\top}} x$ zu minimieren ist, ersetze $f$ durch $-f$. Dadurch ändern sich die optimalen Punkte nicht, allerdings wechselt der optimale Wert sein Vorzeichen: $\max (-f(x))=-\min f(x)$ (vgl. auch Abb. 7.7).
- Jede Gleichungsrestriktion $a_{i 1} x_1+a_{i 2} x_2+\ldots+a_{i n} x_n=b_i$ kann durch die beiden Ungleichungen $a_{i 1} x_1+a_{i 2} x_2+\ldots+a_{i n} x_n \leq b_i$ und $a_{i 1} x_1+a_{i 2} x_2+\ldots+a_{i n} x_n \geq b_i$ ersetzt werden.
- Jede $\geq$-Restriktion kann durch Multiplikation mit $-1$ in eine $\leq$-Restriktion umgewandelt werden.
- Jede Entscheidungsvariable $x_i \in \mathbb{R}$, die keiner Nichtnegativitätsbedingung unterworfen ist, kann durch $x_i=x_i^{+}-x_i^{-}$mit $x_i^{+}, x_i^{-} \geq 0$ ersetzt werden.
Wir befassen uns zunächst mit der Lösbarkeit von linearen Optimierungsproblemen in Standardform. Unter sehr viel allgemeineren Voraussetzungen gibt der Satz von Weierstrał eine hinreichende Bedingung für Lösbarkeit an. Ein Beweis findet sich in $[49]$.
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Zulässige Basislösung, Basis- und Nichtbasisvariablen
Eine Lösung $x=\left(x_1, \ldots, x_{n+m}\right)^{\top}$ der Restriktionen $\widetilde{A} x=b$ eines linearen Optimierungsproblems in Normalform heißt Basislösung, wenn $n$ der Einträge $x_i$ von $x$ den Wert null haben und wenn die zu den restlichen $m$ Einträgen gehörenden Spalten $a^i$ von $\tilde{A}$ linear unabhängig sind. Die Bezeichnung als Basislösung liegt darin begründet, dass diese linear unabhängigen Spalten eine Basis des $\mathbb{R}^m$ bilden. Wenn die von null verschiedenen Einträge von $x$ außerdem nichtnegativ sind, sprechen wir von einer zulässigen Basislösung. Die $m$ linear unabhängigen Vektoren $a^i$ einer Basislösung nennt man Basisvektoren und die $m$ zugehörigen $x_i$ Basisvariablen oder kurz BV. Die $n$ verschwindenden Einträge $x_i$ von $x$ heißen entsprechend Nichtbasisvariablen oder kurz NBV, und die zugehörigen Vektoren $a^i$ Nichtbasisvektoren.
Im Folgenden fassen wir die Basisvektoren $a^i$ einer Basislösung $x$ zu der $(m, m)$ Matrix $B$ zusammen und die Nichtbasisvektoren zu der $(m, n)$-Matrix $N$. Mit der$x_B$ und den Vektor der Nichtbasisvariablen $x_N$ auf. Das Gleichungssystem $\widetilde{A} x=b$ lässt sich damit als
$$
B x_B+N x_N=b
$$
schreiben.
Da $B$ als quadratische Matrix mit linear unabhängigen Spalten invertierbar ist, lässt sich dieses System äquivalent zu
$$
x_B+B^{-1} N x_N=B^{-1} b
$$
umformen, also zu einem System mit Koeffizientenmatrix $\left(I_m, B^{-1} N\right)$ anstelle von $\widetilde{A}$ und rechter Seite $B^{-1} b$ anstelle von $b$. Durch diese Äquivalenzumformung kann man immer erreichen, dass jede der $m$ Basisvariablen in genau einer der $m$ Gleichungen vorkommt, und dies sogar mit dem Koeffizienten eins. Ferner liest man sofort ab, dass die Basislösung durch $x_N=0$ und $x_B=B^{-1} b$ gegeben ist.
Der Simplex-Algorithmus zeichnet sich unter anderem dadurch aus, dass die aufwändige Berechnung von $B^{-1}$ zur Bestimmung einer Basislösung dadurch umgangen wird, dass $B^{-1}$ als effizient auszuführender Update der entsprechenden inversen Basismatrix der vorhergehenden Basislösung ermittelt wird.
运筹学代考
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Standardform und grundlegende analytische Konzepte
线性优化问题中出现的几何事实允许对最优点和值进行深远的陈述，这也可以通过算法很好地实现。为了研究这 些，建议首先将线性优化问题转化为标准化形式。
我们已经在介绍性示例中看到线性优化问题作为最大化或最小化问题自然发生，并且约束也采用不同的形式 $(\leq$ – 不等式，方程式， $\geq$ – 不平等) 发生。
我们将问题理解为标准形式的线性优化问题
$$
P \leq: \quad \max c^{\top} x \quad \text { s.t. } \quad A x \leq b, \quad x \geq 0 .
$$
指定的 $n$ 决策变量的数量， $m$ 约束的数量， $c=\left(c_1, \ldots, c_n\right)^{\top}$ 目标函数系数的向量， $x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)^{\top}$ 决 策变量的向量， $b=\left(b_1, \ldots, b_m\right)^{\top}$ 右侧值的向量，以及 $(m, n)$-矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是系数矩阵。允许数量有表示 $\backslash m a t h b b{M}=\backslash l$ eft $\left{x \backslash\right.$ in $\backslash m a t h b b{R}^{\wedge} n \backslash m i d ~ A x \backslash l$ leq b, $x \backslash g$ geq $\left.0 \backslash r i g h t\right}$.
任何线性优化问题 $P$ 一般形式可以通过标准形式的以下操作获得 $P_{\leq}$带来:
- 如果目标函数 $f(x)=c^{\top} x$ 是要最小化，替换 $f$ 通过 $-f$. 这不会改变最优点，但最优值会改变其符号: $\max (-f(x))=-\min f(x)$ (另请参见图 7.7) 。
- 任意方程约束 $a_{i 1} x_1+a_{i 2} x_2+\ldots+a_{i n} x_n=b_i$ 可以由两个不等式给出 $a_{i 1} x_1+a_{i 2} x_2+\ldots+a_{i n} x_n \leq b_i$ 和 $a_{i 1} x_1+a_{i 2} x_2+\ldots+a_{i n} x_n \geq b_i$ 被更换。
- 每一个 $\geq$-限制可以乘以 $-1$ 在一个 $\leq$-要转换的限制。
- 任意决策变量 $x_i \in \mathbb{R}$ 不受任何非负性约束，可由下式给出 $x_i=x_i^{+}-x_i^{-}$和 $x_i^{+}, x_i^{-} \geq 0$ 被更换。 我们首先考虑标准形式的线性优化问题的可解性。在更一般的假设下，魏尔斯特拉定理给出了可解性的充 分条件。证明可以在 $[49]$.
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Zulässige Basislösung, Basis- und Nichtbasisvariablen
一个解法 $x=\left(x_1, \ldots, x_{n+m}\right)^{\top}$ 限制 $\tilde{A} x=b$ 范式形式的线性优化问题的解称为基本解，如果 $n$ 条目数 $x_i$ 从 $x$ 值为零，如果是其余的 $m$ 属于条目的列 $a^i$ 从 $\tilde{A}$ 是线性独立的。指定为基本解决方案是因为这些线性独立的列构成 了 $\mathbb{R}^m$ 形式。如果非零条目 $x$ 也是非负的，我们说的是一个基本可行的解决方案。这 $m$ 线性无关向量 $a^i$ 的基本解 决方案称为基向量和 $m$ 有关的 $x_i$ 基本变量或简称 $\mathrm{BV}$ 。这 $n$ 消失的条目 $x_i$ 从 $x$ 称为非基本变量或简称 $\mathrm{NBV}$ ，相关 向量 $a^i$ 非基向量。
下面我们总结基向量 $a^i$ 一个基本的解决方案 $x$ 到 $(m, m)$ 矩阵 $B$ 一起和非基向量到 $(m, n)$-矩阵 $N$. 随着 $x_B$ 和非 基本变量的向量 $x_N$ 上。方程组 $\widetilde{A} x=b$ 可以用作
$$
B x_B+N x_N=b
$$
写。
那里 $B$ 可逆为具有线性独立列的方阵，该系统可以等效地使用
$$
x_B+B^{-1} N x_N=B^{-1} b
$$
进入具有系数矩阵的系统 $\left(I_m, B^{-1} N\right)$ 代替 $\widetilde{A}$ 和右侧 $B^{-1} b$ 代替 $b$. 通过这种等价变换，我们总能实现 $m$ 基本变 量怙好在其中一个 $m$ 即使系数为 1 ，也佘出现方程式。此外，人们会立即读到基本解决方案是通过 $x_N=0$ 和 $x_B=B^{-1} b$ 给出的是。
单纯形算法的特点之一是，复杂的计算 $B^{-1}$ 用于确定基本解决方案的事实是 $B^{-1}$ 被确定为对先前基解的相应逆 基矩阵有效执行的更新。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。